1、天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题（含解析）一卷一、单项选择题（5*9=45分）1. 已知数列中，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数列递推公式逐项可计算出的值.【详解】在数列中，则，.故选：B.【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.2. 圆心为且过点的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案【详解】圆心为（3，2）且过点A（1，1），圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y2）225故选D【点睛】本题
2、考查圆的方程的求法，两点间距离，是基础的题型3. 焦点在轴上的椭圆的离心率是，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，则，再由离心率是，可得，从而可求出实数的值【详解】解：由题意可得，则，因为，所以，所以，解得，故选：A4. 等差数列中，则（ ）A. 54B. 56C. 58D. 61【答案】C【解析】【分析】设等差数列公差为，由题意列出和的方程组，解得和，最后写出即可.【详解】设等差数列的公差为，则有，解得：，故.故选：C【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.5. 已知抛物线的焦点为F，是C上一
3、点，则=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出【详解】由抛物线可得，准线方程，是上一点，解得故选：6. 直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，E为BB的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. -D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】直三棱柱中，为的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，0，0，2，0，设异面直线与所成角为，则异面直线与所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直
4、线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7. 等比数列的各项均为正实数，其前n项和为，若，则（ ）A. 32B. 64C. 64D. 63【答案】B【解析】【分析】设首项为，公比为，由，又，可得，再利用通项公式即可得出【详解】解：设首项为，公比为，由，所以，又，又因为，所以，所以，故选：8. 在递减等比数列中，是其前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接列方程组求出和公比，然后由前项和公式得结论【详解】则，解得或，是递减数列，则，（舍去），故选：A【点睛】本题考查求等比数列的前项和，解题方法是基本量法
5、，即求出首项和公比，然后直接直接由公式计算9. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出，两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出的值【详解】解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故，两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，故选：【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出，两点的坐标，考查离心
6、率公式和三角形的面积公式二卷二、填空题（5*6=30分）10. 在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数_【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，所以，故填：11. 若直线的方向向量为平面的法向量为，则直线与平面的关系为_【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.【详解】解：，因此.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.12. 在各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值是_.【答案】【解析】【分析】设等比数列
7、的公比为，利用，成等差数列求出的值，化简并代入求值即可【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得(负值舍)，则.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义，得出要求的比值为是解决问题的关键，属较易题13. 各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，已知S630，S970，则S3_.【答案】10【解析】【分析】利用等比数列前项和的性质列方程，解方程求得.【详解】根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍是等比数列，得到(S6S3)2S3(S9S6)，即.解得S310或S390(舍)故答案为：【点睛】本小题主要考查等比数列前项和性质，属于基础
8、题.14. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】【详解】过点作轴于点，如图所示：由是底角为的等腰三角形得，所以，所以，所以，即离心率，故答案为【 方法点睛】本题主要考椭圆的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出; 构造的齐次式，求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率15. 记为等差数列的前n项和，已知，的前n项和为，则_.【答案】5
9、0【解析】【分析】利用等差数列的求和公式可得，再利用通项公式即可求出的通项，即可得到，从而得出【详解】解：设等差数列的公差为，解得因为，所以所以故答案为：三.解答题（14+15+15+15+16）16. 已知直线过定点.（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】分析】（1）根据垂直关系，先确定直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果；（2）讨论直线过原点，和不过原点两种情况，根据题中条件，设出对应的方程，即可求出结果.【详解】（1）因为直线的斜率为，直线与直线垂直，直线的斜率为2，又直线经过点，直线的方程为，
10、即；（2）当直线过原点时，设直线的方程为，直线过定点，即；直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线的方程为，即，直线过定点，直线方程为，即，综上，直线方程为或.17. 已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆A的方程；(2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且,所以圆的方程为 . （2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且，在中由勾股定理易知，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得, 或 为所求方程.18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BA
11、C=45，PA=AD=2，AC=1.（）证明PCAD；（）求二面角A-PC-D正弦值；（）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长.【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】【详解】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.（1）证明：易得，于是,所以(2) ,设平面PCD的法向量，则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.所以二面角A-PC-D的正弦值为.（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.由，故所以，解得，即.解法二：（1）证明：由，可得，又由
12、,故.又,所以.(2)如图，作于点H，连接DH.由,可得.因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，因此所以二面角的正弦值为.（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BFCD，故.在中，故在中，由,可得.由余弦定理，,所以.【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特
13、殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好19. 已知数列的前n项和为，.（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，即可得到以为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）可知，再根据计算可得；【详解】解：（1）令，因为所以所以以为首项，1为公差的等差数列；所以 所以（2）由（1）可得，当时，当时综上所述时成立，所以【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式，解答的关键是的应用；20. 设椭圆的左右
14、焦点分别为，点P在椭圆上，O为原点.（1）若，求椭圆离心率；（2）若椭圆的右顶点为A，短轴长为2，且满足.求椭圆的方程；设直线与椭圆交与P，Q两点，若的面积为1，求k值.【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）由，得是直角三角形，又可得答案；（2）由、和可得椭圆的方程；利用韦达定理求得弦长，点到直线的距离求得高，可得的面积让其对于1，可求k的值.【详解】（1）因为，所以是直角三角形，又，所以，由椭圆定义得.（2）由得，即，整理得，又，所以，椭圆方程为.整理得，设，所以，所以或，由到直线的距离为，所以即，整理得，解得，符合或，所以.【点睛】方法点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，点到直线距离公式，第二问的关键点是利用韦达定理表示弦长、点到直线的距离公式表示高从而求得三角形的面积建立等式，本题考查了学生的运算求解能力.