1、巩固双基,提升能力一、选择题1(2012安徽)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C.D2解析：如图，设A(x0，y0)，不妨设y00，由抛物线方程y24x，可得抛物线焦点F(1,0)，抛物线准线方程为x1，故|AF|x0(1)3，可得x02，y02，故A(2，2)，直线AB的斜率为k2，直线AB的方程为y2x2，联立直线与抛物线方程，可得2x25x20，得x2或x，所以B点的横坐标为，可得|BF|(1)，|AB|AF|BF|3，O点到直线AB的距离为d，所以SAOB|AB|d.答案：C2(2012四川)已知抛物线关于x轴
2、对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2解析：由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则23，p2.y24x，y428，|OM|2.答案：B3 (2013青岛调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是()Ay3x2或y3x2 By3x2Cy29x或y3x2 Dy3x2或y29x解析：设抛物线方程为x2ay或y2ax(a0)，把圆心(1，3)代入方程得a或a9，抛物线方程是y3x2或y29x.答案：D4(2013泸州诊断)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A.
3、 B. C. D3解析：设与直线4x3y80平行且与抛物线相切的直线为4x3yt0，与抛物线yx2联立得3x24xt0，由1612t0，得t，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线的距离公式得所求距离为.答案：A5(2013广元考试)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x解析：由题意得|OF|，tanAFO2，|OA|，SAOF|OF|OA|4，a8.答案：D6(2013河南联考)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上
4、，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为()A(0，2) B(0,2) C(0，4) D(0,4)解析：在AOF中，点B为边AF的中点，故点B的横坐标为，因此，解得p，故抛物线方程为y22x，可得点B坐标为，故点A的坐标为(0，2)答案：A二、填空题7(2012重庆)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析：设|AF|x，|BF|y，由抛物线的性质知2，又xy，x，y，即|AF|.答案：8(2012辽宁)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析
5、：yx，y|x44，y|x22，P(4,8)，Q(2,2)，过P， Q的切线方程分别为：y4x8，y2x2，联立方程解得y4.答案：49(2013湖北联考)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为_解析：由抛物线的定义知15，p8，故m4，又左顶点A(a,0)，M(1,4)，因此直线AM的斜率为k，解得a.答案：三、解答题10(2013宁德检查)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.(1)求经过点F的与直线l相切，且圆心在直线xy10上的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直
6、线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M，求点M横坐标的取值范围解析：(1)设圆心为(a，b)，由抛物线y24x得其焦点坐标为(1,0)，准线l的方程为x1，根据题意得即解得所求圆的方程是(x1)2(y2)24.(2)依题意可设直线AB的方程为xmy1(m0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P.由消去x整理得y24my40，y1y24m，yP2m，xPmyP12m21，即线段AB的中点为P(2m21，2m)，线段AB的垂直平分线方程是y2mm(x2m21)，令y0，得xM32m23，点M横坐标的取值范围是(，3)11已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜
7、率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解析：(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21) 28(41)，即(21)241，解得0或2.12(2013岳阳联考)如图，倾斜
8、角为的直线经过抛物线y28x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点(1)求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；(2)若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|FP|cos2为定值，并求此定值. 解析：(1)由已知得2p8，2，抛物线的焦点坐标为F(2,0)，准线方程为x2.(2)证明：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，直线AB的斜率为ktan，则直线方程为yk(x2)，将此式代入y28x，得k2x24(k22)x4k20，故xAxB，记直线m与AB的交点为E(xE，yE)，则xE，yEk(xE2)，故直线m的方程为y，令y0，得点P的横坐标xP4，故|FP|xP2，|FP|FP|cos2(1cos2)8，为定值.
