1、1.1.2集合的基本关系学 习 任 务核 心 素 养1理解集合之间的包含与相等的含义(重点)2能识别给定集合的子集、真子集3了解维恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系.1通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培养数学抽象素养2借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养3利用维恩图，培养直观想象数学素养.草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B问题(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？知识点一子集与真子集1子集与真子集的定义概念定义符号表示图形表示子
2、集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集AB(或BA)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集AB(或BA)2.子集、真子集的性质(1)任意集合A都是它自身的子集，即AA(2)空集是任意一个集合A的子集，即A(3)对于集合A，B，C若AB，且BC，则AC；若AB，BC，则AC；3维恩图如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“”与“”有何不同？提示(1)不一定，如集合A0,1,2，B1,0,1，
3、这两个集合就没有包含关系(2)符号“”表示元素与集合间的关系；而“”表示集合与集合之间的关系1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何集合至少有两个子集()(2)0,1,22,0,1()(3)若AB，且AB，则AB()(4)集合0,1的子集是0，1，0,1()答案(1)(2)(3)(4)2.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A.其中正确的个数是()A0B1C2D3B在中，空集的子集是空集，故错误；在中，空集只有一个子集，还是空集，故错误；在中，空集是任何非空集合的真子集，故错误；在中，若A，则A，故正确故选B3.下列图形中，表示MN的是()
4、ABCDC由维恩图知，易选C知识点二集合相等与子集的关系1一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作AB，读作“A等于B”2由集合相等以及子集的定义可知：如果AB且BA，则AB；反之，如果AB，则AB且BA4.若Mx|(x1)(x2)0，N1，2，P(x，y)|y(x1)(x2)，则这三个集合中，具有相等关系的是_答案M和N5.设aR，若集合2,91a,9，则a_.答案1 类型1集合间关系的判断【例1】(1)下列各式中，正确的个数是()00,1,2；0,1,22,1,0；0,1,2；0；0,1(0,1)；00A1B2C3D4(2)指出下列各组集合之间的关系：A1,1
5、，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*(1)B对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2；对于，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于，空集是任何集合的子集；对于，0是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0；对于，0,1是含有两个元素0与1的集合，而(0,1)是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以0,1与(0,1)不相等；对于，0与0是“属于与否”的关系，所以00故是正确的，应选B(2)解集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数
6、对，故A与B之间无包含关系等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以N M.判断集合关系的方法有哪些？提示(1)观察法：一一列举观察(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系(3)数形结合法：利用数轴或维恩图1判断下列两个集合之间的关系：(1)A1,2,4，Bx|x是8的约数；(2)Ax|0x2，Bx|1x3；(3)Ax|x2k1，kZ，Bx|x2k1，kZ
7、解(1)A1,2,4，B1,2,4,8，如图，AB(AB亦可，但AB更准确)(2)Ax|0x2，Bx|1x3，用数轴表示如下：AB(3)法一：任取x0A，则x02k01，k0Z.又x02(k01)1，k0Z，k01Z，x0B，则AB同理可得，BA由AB，BA，得AB法二：集合A，5，3，1,1,3,5,7，集合B，7，5，3，1,1,3,5，根据规律可知集合A与B所含元素相同，所以AB 类型2集合的子集、真子集的个数问题【例2】(对接教材P11例1)(1)集合M1,2,3的真子集个数是()A6B7C8D9(2)若1,2A1,2,3,4,5，则集合A的个数是()A8B7C4D3(1)B(2)A(
8、1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为，含有1个有3个真子集1，2，3，含有2个元素有3个真子集1,2，1,3和2,3，共有7个真子集，故选B(2)法一：(列举法)：满足条件1,2A1,2,3,4,5的集合A有：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5，共8个法二：(计数法)：因为集合A满足1,2A1,2,3,4,5，所以，集合A一定含有元素1,2(可不考虑)，可能含有元素3,4,5，故集合A的个数即集合3,4,5的子集个数，即238(个)故选A1求集合子集、真子集个数的3个步骤2与子集、真子
9、集个数有关的3个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n个(2)A的真子集的个数为2n1个(3)A的非空真子集的个数为2n2个2(1)已知集合A1,0,1，则含有元素0的A的子集的个数为()A2B4C6D8(2)已知集合A(x，y)|xy2，x，yN，试写出A的所有子集及真子集(1)B(1)根据题意，含有元素0的A的子集为0，0,1，0，1，1,0,1，共4个(2)解A(x，y)|xy2，xN，yN，A(0,2)，(1,1)，(2,0)，A的子集有，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1
10、,1)，(2,0)A的真子集有，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0) 类型3利用集合关系求参数的值或取值范围1集合Am,2m1，集合A一定是非空集合吗？提示不一定当m2m1，即m1时集合A非空；当m1时，A.2已知区间A(，2和B(，a)，且BA，则实数a的取值范围是什么？提示借助数轴可知a2.由集合相等求参数【例3】已知集合A2，x，y，B2x,2，y2，且AB，求x，y的值解因为AB，所以集合A与集合B中的元素相同，所以或解得或或验证得，当x0，y0时，A2,0,0这与集合元素的互异性相矛盾，舍去所以x，y的取值为或3已
11、知集合Ax，xy，xy，B0，|x|，y且AB，求实数x与y的值解由已知AB0，|x|，y，所以0A若x0，则A0,0，y，不满足元素的互异性；若xy0，即y0，则B0，|x|,0，也不满足元素的互异性所以只有xy0，即yx.所以Ax，xy，xyx，x2,0，B0，|x|，x所以x2|x|，所以x0(舍)或x1或x1当x1时，AB1,1,0，不满足元素的互异性，故x1当x1时，AB1,1,0，满足题意所以xy1即为所求由集合间包含关系求参数【例4】已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)若AB，求实数m的取值范围思路点拨两个集合都是连续型的无限集，可考虑
12、用数轴来表示解(1)当B，如图所示或解这两个不等式组，得2m3.当B时，由m12m1，得m2.综上可得，m的取值范围m3.(2)当AB时，如图所示，此时B.即m不存在即不存在实数m使AB类似本题的设问，我们还可以得到下列的问题：(1)变条件若AB，求实数m的取值范围；(2)变条件若BA，求实数m的取值范围解(1)若AB，则集合B肯定不是空集，则有或无解，m不存在即不存在实数m使AB(2)由BA得，若B，则m12m1，即m2，此时满足BA；若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为m|m3利用集合间的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的
13、关系，需关注子集是否为空集一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到1(多选题)集合Px|x210，T1,0,1，则P与T的关系为()APTBTPCPTDPTABPx|x2101,1，则PT，也可表示为TP.故选AB2下列正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的维恩图是()ABCDB由Nx|x2x0，得N1,0M1,0,1，NM，故选B3已知集合A1，a，B1,2,3，那么()A若a3，则ABB若AB，则a3C若a3，则
14、ABD若AB，则a2A当a3时，A1,3，B1,2,3，AB成立当AB时，a2或3.4已知集合A(，3)，集合B(，m)且AB，则实数m的取值集合是_3，)将集合A在数轴上表示出来，如图所示，要满足AB，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m3.5若集合Ax|ax23x20的子集只有两个，则实数a_.0或因为集合Ax|ax23x20的子集只有两个，所以A中只含有一个元素当a0时，A；当a0时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式98a0得a.综上，当a0或a时，集合A的子集只有两个回顾本节知识，自我完成以下问题：1对子集、真子集有关概念你是怎样理解的？提示(1)集合A中的任何一个
15、元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素(3)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA2集合子集的个数问题的数学式子是什么？提示求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉30，之间有什么区别与联系？提示0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此0，而是含有一个元素的集合，因此作为一个元素时，有，作为一个集合时，有4子集的性质是怎样的？提示(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA；(2)对于集合A，B，C，如果AB且BC，那么AC，即集合间的子集关系具有传递性；(3)规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集
