1、第二讲空间点、直线、平面的位置关系1点、线、面的位置关系(1)公理1A，B，AB.(2)公理2A，B，C三点不共线，A，B，C确定一个平面(3)公理3P，且P，l，且Pl.三个推论：过两条相交直线有且只有一个平面过两条平行直线有且只有一个平面过一条直线和直线外一点有且只有一个平面(4)公理4ac，bc，ab.(5)等角定理OAO1A1，OBO1B1，AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180.2直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理a，b，ab，a.(2)线面平行的性质定理a，a，b，ab.(3)面面平行的判定定理a，b，abP，a，b，.(4)面面平行的性质定理，a，b，ab
2、.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理m，n，mnP，lm，ln，l.(2)线面垂直的性质定理a，b，ab.(3)面面垂直的判定定理a，a，.(4)面面垂直的性质定理，l，a，al，a.4异面直线所成的角(1)定义(2)范围：(0，(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角5直线与平面所成的角(1)定义(2)范围：0，(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得6二面角(1)定
3、义(2)范围：0，(3)找二面角平面角的方法定义法垂面法垂线法特殊图形法垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：弄清该二面角及它的棱考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小1 (2013安徽)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们
4、有且只有一条过该点的公共直线答案A解析B、C、D选项是公理2 (2013广东)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若，仍然满足mn，m，n，故C错误；故D正确3 (2013山东)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.答案B解析如图所示：SABCsin 60.VABCA1B1C1SABCO
5、POP，OP.又OA1，tanOAP，又0OAP，OAP.4 (2012安徽)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当时，由于m，b，bm，由面面垂直的性质定理知，b.又a，ba.“”是“ab”的充分条件而当a且am时，bm，ba.而此时平面与平面不一定垂直，“”不是“ab”的必要条件，故选A.5 (2013浙江)在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B，记Bf(A)设、是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1ff(P)，Q2ff(P)，恒有PQ1PQ2，则()A平
6、面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为45C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为60答案A解析本题关键是理解Bf(A)的含义若平面与平面不垂直在其中一个平面上取一点P.则PQ1PQ2.所以平面与平面垂直，故选A.题型一空间点、线、面的位置关系例1对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点审题破题可以画出四面体ABCD
7、的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系答案解析若AB与CD共面，ABCD就成了平面图形，故对；若垂足为BCD高线的交点，必推出对棱垂直，故错；只有当以AB为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合，故错；设垂足为O，过O作OECD于E，连接AE，则OEAE.SCODCDOESBOD，SABCSBOC，SACDSABCSABDSBCD.故对如图，点E、F、G、H、M、N为各边中点，这样可得到EFGH和ENGM它们的对角线EG和FH互相平分，EG和MN也互相平分因此，三条线段EG，FH，MN交于一点，故对反思归纳准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假若判定一个命题为假，只需举一反例
8、(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可有时用反证法来判断也可以变式训练1(1)给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面、的四个命题：m，lA，Am，则l与m不共面；l、m是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，lmA，l，m，则；若l，m，则lm.其中假命题的序号是_答案解析命题可用反证法证明成立；命题利用线面平行的性质，过l、m分别作平面、交平面于l，n，易知nl，nm且m，n相交，故n；命题即为面面平行的判定定理；命题中l，m可以平行、相交，也可以异面(2)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是_过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；过点P有且仅有一条直
9、线与l，m都垂直；过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案解析可以利用模型进行判断题型二平行关系与垂直关系例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PMA；(2)求证：平面EFG平面PDC；(3)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比审题破题(1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解(1)证明E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，EGPM，GFBC.又四
10、边形ABCD是正方形，BCAD，GFAD.EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，EG平面PMA，GF平面PMA.又EG、GF都在平面EFG内且相交，平面EFG平面PMA.(2)证明由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD.又BC平面ABCD，PDBC.四边形ABCD为正方形，BCDC.又PDDCD，BC平面PDC.在PBC中，G、F分别为PB、PC的中点，GFBC，GF平面PDC.又GF平面EFG，平面EFG平面PDC.(3)解PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2.DA平面MAB，且PDMA，DA即为点P到平面MAB的距离，VPMABVP
11、ABCDSMABDAS正方形ABCDPDSMABS正方形ABCD(22)14.反思归纳垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l，ala.变式训练2(2013北京)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面A
12、BCD，PAAD.E和F分别为CD、PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.ABED为平行四边形BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，且四边形ABED为平行四边形BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，则PACD，CD平面PAD，从而CDPD，又E、F分别为CD、CP的中点，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，CD
13、平面BEF.平面BEF平面PCD.题型三空间线面关系的综合问题例3如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.审题破题(1)通过线面垂直证明线线垂直(2)这是一道探索性问题，先确定点N的位置，再进行证明要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN平面DAE成立(1)证明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，AE平面ABE，AEBC.又BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF，BCBFB，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE
14、.(2)解在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点反思归纳解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形变式训练3(2013浙江)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，
15、PA，ABC120.G为线段PC上的点(1)证明：BD平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；(3)若G满足PC平面BGD，求的值(1)证明设点O为AC、BD的交点由ABBC，ADCD，得BD是线段AC的中垂线所以O为AC的中点，BDAC.又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，且ACPAA.所以BD平面APC.(2)解连接OG.由(1)可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以OGD是DG与平面APC所成的角由题意得OGPA.在ABC中，AC2.所以OCAC.在RtOCD中，OD2.在RtOGD中，tanOGD.所以DG与平面AP
16、C所成角的正切值为.(3)解连接OG.因为PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.在RtPAC中，得PC.所以GC.从而PG，所以.典例(14分)如图，在ABC中，B，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长(2)若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.规范解答(1)解令PAx(0x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减7分所以当x时，f(x)取得最大值故当VAPBCD最大时，PA.8分(2)证明设F为AB的中点，如图所示，连接PF，FE，则
17、有EF綊BC，PD綊BC.11分所以EF綊PD.所以四边形EFPD为平行四边形所以DEPF.又APPB，所以PFAB，故DEAB.14分评分细则(1)从已知条件得到AP平面PBCD，得2分；(2)f(x)的单调区间写成闭区间不扣分；少一个区间扣1分；(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分阅卷老师提醒(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决1 关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：若a
18、M，bM，则ab；若aM，bM，则ab；若ab，bM，则aM；若aM，aN，则MN.其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析中a与b可以相交或平行或异面，故错中a可能在平面M内，故错，故选C.2 下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面若m，n，则mn；若，则；若m，n，则mn；若，m，则m.正确的命题是()A B C D答案C解析平面与可能相交，中m与n可以是相交直线或异面直线故错，选C.3 (2012四川)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行
19、于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，ABC的三个顶点中，A、B在的同侧，而点C在的另一侧，且AB平行于，此时可有A、B、C三点到平面距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.4 如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面A
20、BC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由题意知，在四边形ABCD中，CDBD.在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD平面ABD，因此有ABCD.又因为ABAD，ADDCD，所以AB平面ADC，于是得到平面ADC平面ABC.5 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直答案C解析易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直，进而可证得ONAM.6 若l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：，；，；l，l.
21、其中正确的有_答案解析正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直，但这两个面不垂直，故命题不正确；若，在平面内作平面与平面的交线的垂线m，根据面面垂直的性质定理，m，又，故m，这样平面过平面的一条垂直，故，命题正确；过直线l作平面交平面于直线n，根据线面平行的性质定理，ln，又l，故n，这样平面就过平面的一条垂线，故，故命题正确专题限时规范训练一、选择题1 若平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线答案D解析由直线a与B确定的平面与有唯一交线故存在唯一与a平行的直线2 设m，n为两条直
22、线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是()A若m，n，且m，n，则B若m，mn，则nC若m，n，则mnD若m，n为两条异面直线，且m，n，m，n，则答案D解析选项A中的直线m、n可能不相交；选项B中直线n可能在平面内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面故选D.3 下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案D解析两个平面，垂直时，设交线为l，则在平面内与l平行的直线都平行于平面，故A正确；如果平面内存在
23、直线垂直于平面，那么由面面垂直的判定定理知，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面，垂直时，平面内与交线平行的直线与平行，故D错误4 正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于()A60 B90C30 D随点E的位置而变化答案B解析在正方体中，显然有A1DAB，A1DAD1，所以A1D面AD1C1B，又C1E面AD1C1B，故A1DC1E.故选B.5 如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于
24、B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是 ()AEHFG B四边形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱台答案D解析A中，EHA1D1，EHBC，EH平面BCC1B1.又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，EHFG.故A成立B中，易得四边形EFGH为平行四边形，BC平面ABB1A1，BCEF，即FGEF.四边形EFGH为矩形故B正确C中可将看作以A1EFBA和D1DCGH为上下底面，以AD为高的棱柱故C正确6 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，ACEFG.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体PAE
25、F中必有()AAPPEF所在平面 BAGPEF所在平面CEPAEF所在平面 DPGAEF所在平面答案A解析在折叠过程中，ABBE，ADDF保持不变AP面PEF.7 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面内的一条直线，m，则，反过来则不一定所以“”是“m”的必要不充分条件8 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列命题：若m，n，则mn；若m，m，则；若m，mn，则n；若m，m，则.其中真命题的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个
26、答案A解析不成立，故选A.二、填空题9 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_答案解析由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD的中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC的中点，EFAC.10如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF(点A、B、C重合后记为P)，则四面体中异面直线PG与DH所成角的余弦值为_答案解析折成的正四面体如图所示，连接HE，取H
27、E的中点K，连接GK，PK，则GKDH，故PGK即为所求的异面直线所成角或其补角设这个正四面体的棱长为2，在PGK中，PG，GK，PK ，故cosPGK.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.11如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案解析错误，PA平面MOB；正确；错误，否则，有OCAC，这与BCAC矛盾；正确，因为BC平面PAC.12已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若
28、PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_答案解析如图，作PM面ABC，设PAa，则ABa，CMa，PMa.设球的半径为R，所以22R2，将R代入上式，解得a2，所以d.三、解答题13(2013江苏)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.证明(1)由ASAB，AFSB知F为SB的中点，则EFAB，FGBC，又EFFGF，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，且AFSB，知AF平面SBC，则AFBC.又BCAB，AFABA，则
29、BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.14如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC.(1)求证：平面AB1C1平面AC1；(2)若AB1A1C，求线段ACAA1长度之比；(3)若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由(1)证明由于ABCA1B1C1是直三棱柱，所以B1C1CC1.又因为ACBC，所以B1C1A1C1，又CC1A1C1C1，所以B1C1平面AC1.由于B1C1平面AB1C1，从而平面AB1C1平面AC1.(2)解由(1)知，B1C1A1C.所以，若AB1A1C，则可得：A1C平面AB1C1，从而A1CAC1.由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为11.(3)解点E位于AB的中点时，能使DE平面AB1C1.设F是BB1的中点，连接DF、EF、DE.则易证：平面DEF平面AB1C1，从而DE平面AB1C1.
