1、集宁一中西校区高二年级20182019学年第一学期期末考试 数学文科试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）1.已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.【此处有视频，请去附件查看】2.已知抛物线的焦点坐标是（0，-3），则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据焦点的坐标，确定抛物线的开口方向，同时求得的值，进而求得抛物线的方程.【详解】由于焦点坐标
2、为，故焦点在轴负半轴上，且，故抛物线方程为.【点睛】本小题主要考查已知抛物线的焦点坐标，求抛物线的方程，属于基础题.3.若，则下列不等式中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由不等式的性质可得选项B,C,D正确对于选项A，由于，所以，故因此A不正确选A4.数列的一个通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：原数列可变为：，根号下是首项为2，公差为3的等差数列，所以原数列的通项公式为.故选B.考点：数列的通项公式.5.下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用取负数或正数时，对四个选项进行排除，由此得出正确选项
3、.【详解】当都为负数时，A,C选项不正确.当为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，有，故选D.【点睛】本小题主要考查基本不等式应用的条件：一正二定三相等，属于基础题.6.在等比数列中，则=A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：等比数列中若则所以即考点：等比数列性质的应用7.设集合，则“”是“”的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】将两个条件“”和“”相互推导，根据推导的结论作出选项的判断.【详解】当“”时，,“”.当“”时，可以为，故不能推出“”.由此可知“”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要
4、考查充分、必要条件的判断，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.8.下列有关命题的叙述错误的是（ ）A. 对于命题p: ，则 .B. 命题“若”的逆否命题为“若”C. 若为假命题，则均为假命题.D. “”是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断A选项是否正确，根据逆否命题的知识判断B选项是否正确，根据含有简单逻辑联结词命题真假的知识判断C选项是否正确，根据充分必要条件的知识判断D选项是否正确.【详解】对于A选项，为特称命题，其否定为全称命题，叙述正确.对于B选项，逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定，叙述正确.对于C选项，为假命题，则中至
5、少有一个假命题，故C选项叙述错误.对于D选项.由解得或，故是的充分不必要条件.综上所述，本题选C.【点睛】本小题主要考查特称命题的否定、考查逆否命题，考查含有逻辑连接词命题真假性判断，考查充分、必要条件的判断以及考查一元二次不等式的解法等知识.全称命题和特称命题互为否定.逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定. 为假命题，则中至少有一个假命题. 为真，则都是真命题.9.若变量满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：画出可行域为一个三角形，再画出目标函数，通过平移可知，在点处取得最大值，最大值为3.考点：本小题主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值，考查
6、学生画图、用图的能力.点评：对于线性规划知识，关键是正确画出可行域和目标函数.10.已知正数，是方程的两个根，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据韦达定理可得，再根据基本不等式求得的最小值.【详解】根据题意可得，且为正数，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查韦达定理，考查利用基本不等式求和式的最小值.属于基础题.11.在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则 的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：抛物线的准线方程为x=-，由抛物线的定义知4+=5，解得P=2故选C考点：本题主要考查抛物线
7、的标准方程及几何性质。点评：简单题，运用抛物线焦半径公式。12.过抛物线的焦点作斜率为的直线，交抛物线于两点,若 ，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出的坐标，根据点斜式写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，解得两点的坐标，根据，求得的值.【详解】依题意可知，抛物线的焦点为，由点斜式得直线的方程为，代入抛物线方程得，解得，故,，由于，即，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查抛物线的焦点坐标，考查直线的点斜式方程，考查了求解直线和抛物线交点坐标的方法，考查向量共线的坐标表示，属于中档题.对于抛物线来说，其焦点坐标为.直线的点斜式方程为.二、
8、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东30处，则两灯塔A、B间的距离为_【答案】700米【解析】【分析】先求得的值，然后利用余弦定理求得两点间的距离.【详解】依题意可知，由于，根据余弦定理得，解得米.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题，要注意的是，填空题要写单位.14.过抛物线y2=2x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=3，则|PQ|=_【答案】4【解析】【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式，求得的值.【详解
9、】依题意，抛物线，由于过抛物线焦点的弦长公式为，故.【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，考查抛物线的几何性质，属于基础题.15.点P是双曲线上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|10，则|PF2|=_【答案】4或16【解析】【分析】根据双曲线的定义列方程，解方程求得的值.【详解】根据双曲线的定义可知，即，解得或.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查含有绝对值的方程的解法，属于基础题.16.椭圆的左焦点为，是两个顶点，如果到直线的距离等于，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】试题分析：设到的垂足为，因为为公共角，所以，所以，所以，因为，所以，化简得到，解得或（舍去），所
10、以.考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、三角形相似与相似比的应用，以及椭圆中等知识点的综合考查，本题的解答中利用左焦点到的距离建立等式是解得的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，17-21每题12分，22题10分，共70分）17.记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数
11、列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（1）求 ；（2）若,求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由角平分线定理可将BD=2DC转化为AB=2AC，在三角形ABC中利用正弦定理可求得的比值；
12、（2）由内角和定理可得，将用表示，代入（1）的结论中可得到关于的三角函数值，求得角试题解析：（1）由正弦定理得因为AD平分BAC，BD=2DC，所以（2）因为所以由（1）知，所以考点：1正弦定理解三角形；2同角间的三角函数公式19.已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是 .试题解析：解：（）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.（）设直线,把代入得故于是直线OM的斜率即,所以直线
13、OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.【此处有视频，请去附件查看】20.已知直线 ，抛物线， （1）当l与C有两个公共点时，求的取值范围；（2）l与C相交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为5，求m的值。【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）联立直线和抛物线的方程，消去，整理后利用判别式大于零，求得的取值范围.（2）由（1）写出的表达式，利用求得的值.【详解】（1）联立直线的方程和抛物线的方程得，消去得.由于直线和抛物线有两个公共点，故上述一元二次方程的判别式，解得.（2）设两点的横坐标分别为，由（1）知，依题意，即.【点睛
14、】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系，考查直线和抛物线相交所得弦的中点有关的问题.属于中档题.研究抛物线和直线交点的个数问题，需要将直线方程和抛物线方程联立，化简为一元二次方程的形式，然后根据判别式来判断交点的根数.21.已知焦距为的双曲线的焦点在x轴上，且过点P.（）求该双曲线方程 ；（）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.【答案】(1)；（2）|AB|=6 。【解析】试题分析：(1)设双曲线方程为（a,b0）左右焦点F1、F2的坐标分别为（-2，0）（2，0） 1分则|PF1|PF2|=2=2，所以=1， ,3分又c=2,b=
15、5分所以方程为6分（2）直线m方程为y=x2 7分联立双曲线及直线方程消y得2 x2+4x-7=0 9分设两交点，x1+x2=-2, x1x2=-3.5 10分由弦长公式得|AB|=6 12分考点：双曲线的定义、几何性质、标准方程，直线与双曲线的位置关系。点评：中档题，求圆锥曲线的标准方程，往往利用定义或曲线的几何性质，确定a,b,c,e等。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。本题直接利用弦长公式，计算较为简便。22.给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围【答案】.【解析】试题分析：根据已知求出两个简单命题中参数的取值范围，命题，命题；再根据复合命题的真假，判断简单命题的真假，分两种情况进行讨论，（1） 当真假时；（2）当假真时，从而得到实数的取值范围.试题解析：解：命题：ax2+ax+10恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意）当a0时，解得0a40a4命题：a2+8a200解得10a2为真命题，为假命题有且只有一个为真，当真假时得当假真时得所以10a0或2a4考点：复合命题的真假判断.
