1、天津市河东区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设点若，则点B的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量的起点坐标和终点坐标可得的坐标后即得的坐标，从而可求的坐标.【详解】设点B的坐标为，则，解得，故选：C【点睛】本题考查向量坐标计算，注意用终点的坐标减去起点的坐标，本题属于基础题.2. 抛物线的准线方程为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】抛物线的开口向左，从而可得抛物线的准线方程【详解】解：抛物线的开口向左，抛物线的准线方程为故选D【点睛】本题考查抛物
2、线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题3. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】直接利用双曲线的方程，求解渐近线方程即可.【详解】由，因此双曲线的渐近线方程是： .故选：B.4. 已知向量，并且，则实数x的值为（ ）A. 10B. -10C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可.【详解】解：，解得.故选：B.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于.5. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则（ ）A. 6B. 12C. 36D. 42【答案】C【解析】
3、【分析】根据抛物线的性质求出P点的横坐标，代入抛物线方程得出抛物线的纵坐标，从而解出向量的数量积.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.，.不妨设P在第一象限，则，.故选：C.6. 焦距是10，虚轴长是8，经过点的双曲线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的性质，由焦距是10，虚轴长是8分别求出半焦距c和半虚轴b，即可求出半实轴a的值，然后分两种情况写出双曲线的标准方程，又双曲线过点，把点的坐标代入求得的双曲线解析式得到符合题意的标准方程即可.【详解】解：根据题意可知，解得，根据双曲线的性质可得，双曲线标准方程为：或又因为双曲线过点，代入检验得到不合题意
4、，舍去，所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选：A.7. 设平面的法向量为（1，2，2），平面的法向量为（2，4，k），若，则k=（ ）A. 2B. 4C. 4D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据两平面平行得到两平面法向量平行，再根据向量平行坐标的关系建立等量关系，求出k即可解：，两平面的法向量平行则（2，4，k）=（1，2，2），2=，k=2，k=4故选C点评：本题主要考查了向量语言表述面面的垂直、平行关系，以及平面的法向量，属于基础题8. 过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为（ ）A. B.
5、C. D. 【答案】C【解析】【分析】联立方程解得M(3，)，根据MNl得|MN|MF|4，得到MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方得M(3，)，由MNl得|MN|MF|314又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选：C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.9. 设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用双
6、曲线的定义结合已知条件可得出，可求得，再由公式可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线定义得，又，即，因此，即，则，解得，（舍去），因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立、所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10. 焦点为的抛物线的标准方程是_【答案】【解析】因为抛物线的焦点为，所以 ，所以焦点为的抛物线的标准方程是,故答案为.11. 若向量，则_.【答案】.【解析】【分析】求出向量坐标后，即可求出模.【详解】解：由题意知，则.故答案为:.【点睛】本题考查了空间向量坐
7、标运算，考查了向量的模的求解.12. 抛物线的焦点坐标为_.【答案】【解析】【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标.【详解】当时，整理抛物线方程得，即，由抛物线的焦点为，所求焦点坐标为.当时，同样可得.故答案为：.【点睛】方法点睛：该题主要考查抛物线的性质，解题方法如下：（1）先将抛物线方程化为标准形式；（2）根据其性质得到其焦点坐标.13. 在平面直角坐标系中，已知点，若、三点共线，则_【答案】【解析】，、三点共线，可知，解得，解得则点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出的值，然后计算
8、求得、，从而求得结果14. 如图，在正四棱锥中，点为的中点，若，则实数_ 【答案】4【解析】【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PAAB2，则A（，0，0），D（0，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，0），（0，2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），2，b，N（0，0），（，），（，0），MNAD，10，解得实数4故答案为4【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知
9、识，考查运算求解能力，是中档题15. 已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】右顶点为A，A(a,0)，F为抛物线x2=2py(p0)的焦点，|FA|=c，抛物线的准线方程为，由得，由,得,即c2=2a2，c2=a2+b2，a=b，双曲线的渐近线方程为：y=x，故答案为y=x.点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.【答案】【解析】【分析】根
10、据题意双曲线方程可设为，可得关于a，b的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程.【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是，故双曲线方程可设为，又双曲线的离心率，解之得，故双曲线的方程为.【点睛】思路点睛：该题考查圆锥曲线的综合，解题方法如下：（1）根据椭圆方程，求得椭圆的焦点；（2）设出双曲线的方程，根据双曲线的离心率，以及椭圆中的关系，列出方程组，求出a，b的值；（3）最后写出双曲线的方程.17. 如图在正方体中，E、F分别是棱，的中点.求证：为平面的一个法向量.【答案】证明见解析【解析】【分析】可分别以直线，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，得出，进行数量积的运算
11、即可得出，进而可说明平面，从而得出为平面的一个法向量.【详解】由题意，以点D为原点，直线，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，可得，所以，所以，且平面，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量.【点睛】利用空间向量证明空间中垂直、平行的方法：1、建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；2、建立空间图形与空间向量之间的关系，利用空间向量表示出问题中所涉及的点、线、面的要素；3、通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；4、根据运算结果解释相关关系.18. 已知长方体中，分别是，的中点.（1）求证：直线平面；（2
12、）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设中点为，证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行判断定理证明即可；（2）将直线与平面所成角转化成直线与平面所成角，即线面角，求出相应长度，求解即可.【详解】（1）设中点为，且是中点，所以，且，又与平行且相等，且为的中点，所以，且，四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，故直线平面；（2）因为为长方体，所以平面平面，所以直线与平面所成角即直线与平面所成角，因为平面，所以点为点在平面的投影，连接、，则即直线与平面所成角，在中，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的证明和线面角的求法
13、，考查学生空间想象能力和转化能力，属于中档题.19. 已知：抛物线的焦点为F，定点，（1）M为抛物线上一动点，求的最小值.（2）过点P作一条斜率等于2的直线交抛物线于A、B两点，求的面积.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，结合平面几何知识可得当M的纵坐标为1时，所在直线与准线垂直，此时取得最小值为4.（2）由题意，直线方程为，与消去x得：.再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出；利用点到直线的距离公式算出点O到直线的距离，即可求出的面积.【详解】（1）由抛物线的定义，得长等于点M到抛物线的准线的距离，设点P到直线的距离为h，又，的最小值为4.（2）由题意
14、，得直线的方程为，即，代入得：设交点为，可得又点O到直线的距离的面积.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，解题方法如下：（1）根据抛物线的定义和性质，从而得到其取最小值的情况，得到结果；（2）先写出直线的方程，联立方程组，分别求得弦长以及点到直线的距离，利用面积公式求得弦与原点构成的面积.20. 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，.（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.【答案】(1) (2)【解析】【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为（1） 因为平面，所以是平面的一个法
15、向量，因为设平面的法向量为，则，即，令，解得所以是平面的一个法向量，从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为（2） 因为，设，又，则，又，从而，设，则，当且仅当，即时，的最大值为因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值又因为，所以考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设，二要会处理分式如本题中的，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.
