1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。123复数的几何意义【概念认知】1复平面2复数的几何意义复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)复数zabi(a，bR)平面向量因此，复数zabi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示为方便起见，常把复数zabi说成点Z或向量，并且规定相等的向量表示同一个复数3复数的模(1)定义：向量的模叫作复数zabi(a，bR)的模；(2)记法：复数zabi的模记作|z|或|abi|；(3)公式：|z|abi|(a，bR).4复数加、减法的几何意义如图所示
2、设复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是Z2Z1【自我小测】1(2020全国卷)若z1i，则|z22z|()A0 B1 C D2【解析】选D.由z1i得，z22i，2z22i，所以|z22z|2i(22i)|2.2(2021合肥高一检测)已知a，bR，那么在复平面内对应于复数abi，abi的两个点的位置关系是()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线yx对称【解析】选B.在复平面内对应于复数abi，abi的两个点为(a，b)和(a，b)关于y轴对称3在平行四边形
3、ABCD中，若A，C对应的复数分别为1i和43i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A B5 C2 D10【解析】选B.依题意知，对应的复数为(43i)(1i)34i，因此AC的长度为|34i|5.4已知复数z(m3)(m1)i的模等于2，则实数m的值为()A1或3 B1 C3 D2【解析】选A.依题意可得2，解得m1或m3.5已知z是复数，i是虚数单位，且z2ai，(4)214i，则|z|_，复数在复平面内对应的点位于第_象限【解析】因为z2ai，所以2ai，所以(4)2(2ai)24a24ai14i，所以解得a，所以z2i，2i，所以|z|，复数在复平面内对应的点为(2，)位于第二象限
4、答案：二6已知复数z满足|z1i|1，求|z23i|的最小值【解析】由|z1i|1得复数z对应的点是圆心为，半径为1的圆上的动点，|z23i|表示的是圆上的点与点的距离，所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即14.【基础全面练】一、单选题1已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3，1) B(1，3)C(1，) D(，3)【解析】选A.z(m3)(m1)i对应点的坐标为(m3，m1)，该点在第四象限，所以解得3m1.2已知i是虚数单位，复数z满足(1i)z2i，则复平面内与z对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】选A.因为(
5、1i)z2i，所以z1i，所以复平面内与z对应的点在第一象限3(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21【解析】选C.zxyi，zix(y1)i，|zi|1，则x2(y1)21.故选C.4向量对应的复数为z132i，对应的复数z21i，则| |为()A B C2 D【解析】选A.因为向量对应的复数为z132i，对应的复数为z21i，所以(3，2)，(1，1)，则(2，1)，所以| |.5若|42i|x(32x)i3(y5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|xyi|()A5
6、 B C2 D2【解析】选A.由已知，得6x(32x)i3(y5)i，所以解得所以|xyi|34i|5.二、填空题6在复平面中，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2(2，1).设z1的共轭复数为1，则1z2_【解析】由题意，得z112i，z22i，所以112i，故1z25i.答案：5i7已知向量1对应的复数为23i，向量2对应的复数为34i，则向量Z1Z2对应的复数为_【解析】Z1Z221(34i)(23i)1i.答案：1i8已知|z1|1，|z2|3，则|z1z2|的最大值为_；|z1z2|的最小值为_【解析】|z1z2|z1|z2|134，|z1z2|z1|z2|2.答案：42三、解答题
7、9在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上分别求实数m的取值范围【解析】复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20.解得m2或m1.(2)由题意得所以所以1m1.(3)由已知得m2m2m23m2.所以m2.综上所述，(1)当m2或m1时，复数z对应的点在虚轴上；(2)当1m1时，复数z对应的点在第二象限；(3)当m2时，复数z对应的点在直线yx上10如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)所表
8、示的复数；(3)所表示的复数及的长度【解析】(1)，所以所表示的复数为32i.因为，所以所表示的复数为32i.(2)因为，所以所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，它所对应的复数z(32i)(24i)16i，|.【综合突破练】一、选择题1复平面内正方形三个顶点分别对应复数z112i，z22i，z312i，则另一个顶点对应的复数为()A2i B5iC43i D2i，5i或43i【解析】选A.如图所示，利用，或者，求另一顶点对应的复数设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，则(xyi)(12i)(x1)(y2)i，(12i)(
9、2i)13i.因为，所以(x1)(y2)i13i，所以解得故D点对应的复数为2i.2定义运算adbc，若复数z满足0(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】选A.由题意2izi0，所以zi，则i，所以在复平面内对应的点的坐标为在第一象限3A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1z2|z1z2|，则三角形AOB一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解析】选B.复数z1对应向量，复数z2对应向量.则|z1z2|，|z1z2|，依题意有|.所以以，为邻边所作的平行四边形是矩形，所
10、以AOB是直角三角形4(多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是()A若复数z满足|zi|，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上B若复数z满足z|z|28i，则复数z158iC复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若，则【解析】选CD.满足|zi|的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设zabi(a，bR)，则|z|.由z|z|28i，得abi28i，所以解得所以z158i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂
11、直，D正确二、填空题5设(1i)sin (1icos )对应的点在直线xy10上，则tan 的值为_【解析】由题意，得sin 1sin cos 10，所以tan .答案：6若(2i)x32yi，x、yR，则复数zxyi对应的点在第_象限，|z|_【解析】因为32yi2xxi，所以所以所以点z在第四象限，|z|.答案：四7若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_【解析】由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到点(2，0)距离相等的点即虚轴，|z1|表示z对应的点到点(1，0)的距离，所以|z1|最小值1.答案：1三、解答题8已知复数z满足z(13i)(1i)4.(1)求复数z的共轭复
12、数；(2)若wzai且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围【解析】(1)z1i3i3424i，所以复数z的共轭复数为24i.(2)w2(4a)i，复数w对应向量为(2，4a)，其模为.又复数z所对应向量为(2，4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得208aa220，a28a0，a(a8)0，所以实数a的取值范围是8a0.9在0，z2z22.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数z，以及.已知复数z11i，z2a2i，_若，求复数z，以及.【解析】方案一：选条件，因为z11i，所以，由于0，所以解得a1.所以z212i，
13、从而zi，.方案二：选条件.因为z2a2i，所以z2a2i，由z2z22a2，得a1，所以z212i，从而zi，.(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1已知(2i)zi，则|z|()A B C D【解析】选C.由(2i)zi，得zi，则|z|.2已知i为虚数单位，且复数z满足z2i，则复数z在复平面内的点到原点的距离为()A B C D【解析】选B.由z2i，得z2i2ii，所以复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为.3若复数z(i为虚数单位)，则复数z在复平面上对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限C
14、第三象限 D第四象限【解析】选B.z1i，复数z在复平面上对应的点为(1，1)，该点在第二象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限4设z(25i)(3i)，则|z|()A5 BC2 D4【解析】选B.方法一：z(25i)(3i)62i15i51113i，故|z|.方法二：|z|25i|3i|.5(2021全国乙卷)设2(z)3(z)46i，则z()A12i B12i C1i D1i【解析】选C.设zabi，则abi，2(z)3(z)4a6bi46i.所以a1，b1，所以z1i.6复数z，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A|z|Bz的共轭复数为iCz的实部与虚部之和为3Dz在复平
15、面内的对应点位于第一象限【解析】选D.由题得，复数zi，可得|z|，则A不正确；z的共轭复数为i，则B不正确；z的实部与虚部之和为2，则C不正确；z在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确7在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是12i，2i，0，则第四个顶点对应的复数不可以是()A3i B13i C3i D3i【解析】选A.设第四个点对应复数为z，则z12i2i0或z2i12i0或z012i2i，所以z3i或z3i或z13i.8(多选)i是虚数单位，复数z，则不正确的是()A B|z|Czi Dzi【解析】选ABC.zi，|z|.9(多选)已知复数z1cos 2isin 2(
16、其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限Bz可能为实数C|z|2cos D的实部为【解析】选BCD.因为，所以2，所以1cos 21，所以00，aR)，i为虚数单位，且复数z为实数(1)求复数z；(2)在复平面内，若复数(mz)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围【解析】(1)因为zai(a0)，所以zaiaiaii，由于复数z为实数，所以10，因为a0，解得a1，因此，z1i.(2)由题意，(mz)2(m1i)2(m1)212(m1)i(m22m)2(m1)i，由于复数(mz)2对应的点在第一象限，则解得m0.因此，实数m的取值范围是(0，).1
17、5已知复数z(1ai)(1i)24i(aR).(1)若z在复平面中所对应的点在直线xy0上，求a的值；(2)求|z1|的取值范围【解析】(1)化简得z(1ai)(1i)24i(3a)(a5)i，所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3a，a5)，在直线xy0上，所以3a(a5)0，得a1.(2)|z1|(2a)(a5)i|，因为aR，且2a26a29，所以|z1|，所以|z1|的取值范围为.16已知复数z满足z2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求ABC的面积【解析】(1)设zabi(a，bR)，则abi，即有za2b22，z2a2b22abi.由z2的虚部为2，有2ab2，所以或即z1i或z1i.(2)当z1i时，z2(1i)22i，zz21i，所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，知：|AC|2且B到AC的距离为1，所以SABC|AC|1211.当z1i时，z2(1i)22i，zz213i，所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，知：|AC|2且B到AC的距离为1，所以SABC|AC|1211.所以ABC的面积为1.关闭Word文档返回原板块
