1、星期一(数列)2021年_月_日【题目1】 在b1b3a2，a4b4，S525这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设等差数列an的前n项和为Sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23，b581，是否存在正整数k，使得SkSk1且Sk1Sk2?(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解选条件.设bn的公比为q，则q327，即q3，所以bn(3)n1.从而a5b11，a2b1b310，由于an是等差数列，所以an3n16.因为SkSk1且Sk1Sk2等价于ak10且ak20，所以满足题意的k存在当且仅当即k4.选条件.设bn的公比为q
2、，则q327，即q3，所以bn(3)n1.从而a5b11，a4b427，所以an的公差d28.因为SkSk1且Sk1Sk2等价于ak10且ak20，此时dak2ak10，与d28矛盾，所以满足题意的k不存在.选条件.设bn的公比为q，则q327，即q3，所以bn(3)n1.从而a5b11，由an是等差数列得S5，由S525得a19.所以an2n11.因为SkSk1且Sk1Sk2等价于ak10且ak20，所以满足题意的k存在当且仅当即k4.星期二(三角)2021年_月_日【题目2】 已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x，xR.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的
3、方程f(x)a在上有解，求实数a的取值范围.解(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xsin 2xcos 2x2sin，令2k2x2k(kZ)，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由x，得2x.12sin2.因为方程f(x)a在上有解，所以实数a的取值范围是1，2.星期三(概率与统计)2021年_月_日【题目3】 微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人)，
4、记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：步数性别02 0002 0015 0005 0018 0008 00110 00010 000男12476女03962(1)若某人一天行走的步数超过8 000被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的22列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型懈怠型总计男女总计(2)在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10 000的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X).附：K2，P(K2k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357
5、.87910.828解(1)22列联表如下：积极型懈怠型总计男13720女81220总计211940K22.5062.706，没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列如下：X012PE(X)012.星期四(立体几何)2021年_月_日【题目4】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M，N分别为PD，AD的中
6、点.(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求二面角NPCA平面角的余弦值.(1)证明M，N分别为PD，AD的中点，MNPA.又MN平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB.在RtACD中，CAD60，CNAN，ACN60，又BAC60，CNAB.CN平面PAB，AB平面PAB，CN平面PAB.又CNMNN，CN，MN平面CMN，平面CMN平面PAB.(2)解PA平面ABCD，PA平面PAC，平面PAC平面ACD，又DCAC，平面PAC平面ACDAC，DC平面ACD，DC平面PAC.如图，以点A为原点，AC所在直线为x轴，过点A且平行于CD的直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
7、则A(0，0，0)，C(2，0，0)，P(0，0，2)，D(2，2，0)，N(1，0)，(1，0)，(1，2)，设n(x，y，z)是平面PCN的法向量，则即可设n(，1，)，又平面PAC的一个法向量为(0，2，0)，cos，n，由图可知，二面角NPCA的平面角为锐角，二面角NPCA的平面角的余弦值为.星期五(解析几何)2021年_月_日【题目5】 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求证：点(m，k)在定圆上.(1)解由已知得e，2b2，又a2b2c2，b1，a2.椭圆C的标准方
8、程为y21.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线与椭圆方程消去y，得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，则(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0.化简得m2k2，由联立，得0m2，k2.故点(m，k)在定圆x2y2上.星期六(函数与导数)2021年_月_日【题目6】 设函数f(x)2ln
9、xmx21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)m1成立，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2mx.当m0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.当m0时，由f(x)0，得0x.令f(x)0，得x.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.综上，当m0时，f(x)在(0，)上单调递增；当m0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，当f(x)有极值时，应有m0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减.所以f(x)maxf(x)极大值f2lnm1ln m.若存在x0，使得f(x0)m1成立，则f(x)maxm1成立，所以ln mm1，即mln m10，令g(m)mln m1，则g(m)10在(0，)上恒成立，所以g(m)在(0，)上单调递增，且g(1)0.若使g(m)0，则0m1.所以实数m的取值范围是(0，1).
