1、2020-2021学年上海市某校高二（上）期中数学试卷一.填空题)1. 过点(2,-1)且法向量为(2,-1)的直线方程是_2. 设向量(3,0)，(2,6)，则在上的投影为_3. 已知点A(-2,0)，B(3,0)，动点P(x,y)满足x2-6，则动点P的轨迹方程是_4. 直线2x-y+20与4x+2y-30的夹角是_5. 已知方程x2+Axy+y2+Dx+Ey+F0表示一个圆的充要条件是_6. 圆心在直线y-x+1上，且与直线x+y-20相切于点(1,1)的圆的方程是_-）2+（_-）2 7. 已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率
2、k的取值范围为_8. 已知直线l:x-y-10，l1:2x-y-20若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程为_9. 在ABC中，BD=12DC，AE=EB，点F为ADC内（包括边界）任意一点，若EF=EB+ED，则-2的取值范围为_10. 若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式|2a+b+3|5a-3b+3|t，则实数t的所有可能的值为_， 二.选择题)11. “两条直线的斜率乘积为-1”是“两条直线互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件12. 已知点M(a,b)在圆O:x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（ ）A.
3、相交B.相切C.相离D.不确定13. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是( )A.B.C.D.14. 已知、是平面内的三个单位向量，若，则|+2|+|3+2-|的最小值为（ ）A.-3B.C.-2D.5三.解答题)15. 已知，且向量与不共线 （1）若与的夹角为45，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围16. 已知ABC的顶点A(2,1)，AB边上的中线
4、所在直线的方程为2x+3y-10，B的平分线所在直线的方程为x-2y+50 （1）求B点坐标；（2）求BC边所在的直线方程17. 在ABC中，AC2，BC6，ACB60，点O为ABC所在平面上一点，满足OC=mOA+nOB(m，nR且m+n1) （1）证明：CO=mm+n-1CA+nm+n-1CB；（2）若点O为ABC的重心，求m、n的值；（3）若点O为ABC的外心，求m、n的值18. （1）已知直线l过点P(-3,4)，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的一般式方程；（2）已知直线l过点P(3,2)且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，求ABO面积最小值及这时直线l的一般式方程
5、；（3）已知直线l经过点P(2,-2)，且与第一象限的平分线yx(x0)，y轴（原点除外）分别交于A，B两点，直线l，射线yx(x0)，y轴围成的三角形OAB的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由四附加题)19. 已知曲线C:yax2，直线l1、l2都过点(1,-2)且互相垂直，若曲线C与直线l1、l2中的至少一条相交，求a的取值范围20. 设0a06. (x,y7. (-,-434,+)8. x-2y-109. -8,-110. ，二.选择题11. A12. A13. C14. B三.解答题15. 与的夹角为45， -2+ 向量与的夹角为钝角， （）（，且不能反向共线， k2-1
6、4，解得-1k1 实数k的取值范围是(-5,1)(k0)16. 设B(m,n)，由题意可知，B(m， m-2n+57，从而AB的中点(1+，），因为AB边上的中线所在直线的方程为2x+3y-14，所以2+m+-17，联立可得，n B(-，），设A关于x-2y+52对称的点D(x,y)，则，解可得，x0，由题意可得D(4,5)在BC上， BC边所在的直线斜率k，故BC所在的直线方程为y即6x-4y+25017. OC=mOA+nOB=m(OC+CA)+n(OC+CB)， CO=mm+n-1CA+nn+m-1CB，点O为ABC的重心， OA+OB+OC=0， m-1，n-1；点O为ABC的外心，
7、COCB=12|CB|2=18，COCA=12|CA|2=2，CACB=2612=6， COCB=mm+n-1CACB+nn+m-1CBCB，COCA=mm+n-1CACA+nn+m-1CACB， 2m-3n=3m+2n=-1， m=37n=-5718. 由题意显然直线的斜率存在求不为0，设直线l的方程为ykx+b，由直线过P点(-3,8)，所以b3k+4，所以直线在x轴的截距-8-，在y轴的截距为b3k+6，由题意可得3k+4-6-122-11k-60，解得：k-或k4，所以直线l的方程为：y-x+3或y4x+16，即x+4y-90或8x-y+160；直线l过点P(3,4)且与x轴，B两点，
8、设直线方程为ykx+b，k0，-3，所以12+(-4k)+(-(12+2，当且仅当-9k-，b2-5k4，所以ABO面积最小值为12，此时直线的方程为y-；符合要求的直线共有1条；理由如下：设直线AB的方程为：ykx+b，k0且b-4，-2)，即b-2-6k，所以在y轴的截距为b-2-2k1，与直线yx的交点为xy，所以可得SOAB|xA|xB|(2+8k)）(2+2k)-，由题意可得12解得k（舍去）或k 符合要求的直线共有8条四附加题19. 由题意，可得a0，若a8，先考虑抛物线与直线l1，l2都没有交点则可设l6的斜率存在，且不为01的斜率为k，则l4的斜率为-，则l1的方程为y+7k(
9、x-1)，l2的方程为y+4-(x-1)，由可得ax4-kx+k+20，由l2与yax2的图象没有交点，则1k5-4a(k+2)7，同理可得，由l2与yax2的图象没有交点，则4（-）2-5a(-+2)7，由得2a-2k2a+2，由得k，若无解，可得6a-2，解得4，所以曲线C与直线l1、l5中的至少一条相交，则a的取值范围是(0，综上可得，a的取值范围是(-，20. 设l:yk1(x-a)，m:yk2(x-b)，于是l4x-y-k1a)(k2x-y-k5b)0 交点满足若四个交点共圆，则此圆可写为(k1x-y-k6a)(k2x-y-k2b)+(y4-x)0此方程中xy项必为0，故得k2-k2，设k1-k4k0，于是l消去k，得2x-(a+b)7
