1、市一中20182019学年第二学期期中考试试题高二理科数学【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A B C D2设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）A B0 C0或1 D13 .设函数，则满足的的取值范围是（ ）A B C D4. 展开式中的常数项为()A B C D5. 已知是直线，是平面，给出下列命题：若； 若；若；若与异面，且相交； 若与异面，则至多有一条直线与，都垂直. 其中真命题的个数是A1 B2 C3 D46. 设，若函数在上有极值，则实数的取
2、值范围是（ ）A. B. C. D7. 过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为、，若，则实数（ ）A2B3 C4 D98. 曲线在点处的切线与直线和所围成的三角形的面积为()A. B. C. D19. 设分别是定义在上的奇函数和偶函数，恒不为0，当时，且，则不等式的解集是()A B C D10. 若一个三位数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：等，则不超过的“单重数”中，从小到大排列第个“单重数”是（ ）A 171 B 181 C191 D18811由偶数组成的数阵如右图：则第行第列的数为（ ）A. B.C. D.12. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的
3、焦点为，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）A. B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡指定位置）13等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列an的公比为_14庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”庙会大多在春节、元宵节等节日举行庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我
4、或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是_15. 现有分别印有0,1,3,5,7,9六个数字的六张卡片，如果允许9可以当6使用，那么从中任意抽出三张，可以组成不同的三位数有_个. (数字作答）16 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离_.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分10分）在中，已知，其中.（）判断能否等于3，并说明理由； （）若，求 18. （本小题满分12分）已知是函数的一个极值
5、点（）（I） 求实数的值； （II） 求函数在上的最大值和最小值19（本小题满分12分）乙 1 2 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的
6、人数X的分布列.（）记甲组阅读量的方差为. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量10， 则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，的大小（结论不要求证明）20. （本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形，为的中点,为上的点且，在线段上（不包括端点）（）求证：平面平面；（）是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21. 已知点和点，分别过点的直线相交于点，设直线的斜率分别为.（）如果，求点的轨迹方程，并根据的取值讨论此轨迹是何种曲线；（）设（）中的曲线为，若不平行于坐标轴的直线与曲线交于点,线段的中点
7、为，为坐标原点，设直线与的斜率分别为, 求证：.22（本小题满分12分）已知函数（I） 若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II） 若，设，求证：当时，不等式成立20182019学年高二第二学期期中考试试题（理科数学）一 CDDCAB ABDCAB二 13. 14 . 甲 15. 152 16. 三17.解：（）当时，由题可知 ，由余弦定理的变形得 2分这与矛盾，所以不可能等于3 4分 （）由（），得 ，所以. 因为， 所以，解得（舍）或. 8分 在中，由正弦定理， 得. 10分 18.解：（I）由可得 2分是函数的一个极值点，解得 4分经检验时是函数的一个极值点
8、， 1分（II）由，得在递增，在递增，由，得在在递减是在的最小值； 8分， 在的最大值是 12分19.解：（）甲组10名学生阅读量的平均值为， 乙组10名学生阅读量的平均值为. 2分 由题意，得，即. 3分 故图中a的取值为或. 4分 （）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人. 由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3. 5分 且， 8分 所以随机变量的分布列为： 123 10分 （）. 12分20.（）证明：在矩形中，矩形平面，且平面平面，平面， 又平面， 2分 ，为的中点，又，平面， 4分 平面，平面平面 5分 （）在平面内作的垂线，如图建立空间直角坐标系，设 由（）知面的一个法向量 7分 设平面的法向量为，即 令，则，是平面的一个法向量， 9分 二面角的大小，解得， 存在满足条件此时 12分21. 解：（）令 化简得 点的轨迹方程为 3分当时，点的轨迹为双曲线 当且时，点的轨迹为椭圆当时，点的轨迹为圆 6分（）设，则由（）知曲线的方程为即在曲线上 9分得 即 12分22.解：（I）， 1分函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，当时，恒成立， 3分即恒成立， 在时恒成立，或在时恒成立，或 5分（II），即，当时在是减函数，当时，取最大值，当时，取最， 时 8分设，则，在是增函数，在也是增函数 10分，即，而，当时，不等式成立 12分
