1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A(3,a)在直线2x+y-7=0上,则a=()A.1B.-1C.2D.-2解析:23+a-7=0,a=1.答案:A2.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是()A.30B.45C.60D.90解析:异面直线AD与CB1所成的角为BCB1,而BCB1为等腰直角三角形,所以BCB1=45.答案:B3.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A
2、.8B.7C.6D.5解析:由正视图和侧视图可知,该几何体由两层小正方体拼接成;由俯视图可知,最下层有5个小正方体;由侧视图可知,上层仅有一个小正方体,则共有6个小正方体.答案:C4.若球的半径扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的()A.64倍B.16倍C.8倍D.4倍解析:设球原来的半径为r,体积为V,则V=r3,当球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.答案:C5.已知m是平面的一条斜线,点A,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是()A.lm,lB.lm,lC.lm,lD.lm,l答案:C6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为7,圆台的侧面积
3、为84,则圆台较小底面的半径为()A.7B.4C.9D.3解析:设圆台较小底面的半径为r,则S圆台侧=(r+3r)l=84,又l=7,r=3.答案:D7.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是()A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心,但与圆相交D.相离解析:圆(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),圆心到直线x-y+1=0的距离d=0.直线x-y+1=0过圆心.答案:B8.圆x2+y2-8x+6y+16=0与圆x2+y2=16的位置关系是()A.相交B.相离C.内切D.外切解析:设圆x2+y2=16的圆心为O,则O(0,0),r1=4.设圆x2+y2-8x+6y+16=
4、0的圆心为C,半径为r2,则C(4,-3),r2=3.|OC|=5,|r1-r2|OC|0,半径r=2a.又圆C截x轴的弦长为2,a2+()2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).圆C的圆心为(2,1),半径r=2.圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.答案:(x-2)2+(y-1)2=416.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题:若PABC,PBAC,则H是ABC的垂心;若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是ABC的垂心;若ABC=90,H是AC的中点,则PA=PB=PC;若PA=PB=PC,则H是ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:.解析:因为P
5、H底面ABC,所以PHBC,又PABC,所以BC平面PAH,所以AHBC.同理BHAC,可得H是ABC的垂心,正确.若PA,PB,PC两两互相垂直,所以PA平面PBC,所以PABC,由此推出AHBC,同理BHAC,可得H是ABC的垂心,正确.若ABC=90,H是AC的中点,可推出PHAPHBPHC,则PA=PB=PC,正确.若PA=PB=PC,由此推出AH=BH=CH,则H是ABC的外心,正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)四面体的一条棱长为x,余下的棱长均为1.(1)把四面体的体积V表示为x的函数f(x),并求出定义域;
6、(2)求体积V的最大值.解:如图,在四面体ABCD中,设AD=x,其余各棱为1.取AD的中点E,BC的中点F.在ABC中,ABC为正三角形,F点是BC的中点,AFBC.同理FDBC.BC面AFD.(1)V=BCSAFD=BCADEF=BCADEF=1x=,即f(x)=,其中定义域为x(0,).(2)V=,当x=时,Vmax=.18.(12分)已知圆M的半径为3,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+9=0与圆M相切,(1)求圆M的标准方程;(2)过点N(0,-3)的直线l与圆M交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),而且满足x1x2,求直线l的方程.解:(1)设圆心为M(a,0)(a0
7、),=3,解得a=2或-8.因为a0,所以a=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,与圆M交于A(0,),B(0,-).此时x1=x2=0,满足x1x2,所以x=0符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx-3.由消去y,得(x-2)2+(kx-3)2=9,整理得(1+k2)x2-(4+6k)x+4=0,所以x1+x2=,x1x2=.由已知x1x2,得(x1+x2)2=x1x2,即,整理得7k2-24k+17=0,解得k=1或.把k值代入到方程中的判别式=(4+6k)2-16(1+k2)=48k+20k2中,判别式的值都为正数,所
8、以k=1或,所以直线l的方程为y=x-3或y=x-3,即x-y-3=0或17x-7y-21=0.综上,直线l的方程为x-y-3=0或17x-7y-21=0或x=0.19.(12分)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l经过点Q,且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.解:(1)设点P的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,则直线l是此圆的切线,连接CQ,则|QM|=.当CQl1
9、时,|CQ|取最小值,|CQ|=4,|QM|最小=4.20.(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,ADBD,M为AB的中点,矩形ABEF所在的平面和平面ABCD相互垂直.(1)求证:AD平面BDE;(2)设DE的中点为P,求证:MP平面ADF;(3)若AB=2,AD=AF=1,求三棱锥E-BCD的体积.(1)证明:四边形ABEF为矩形,EBAB.EB平面ABEF,且平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,EB平面ABCD.AD平面ABCD,EBAD.ADBD,BDBE=B,AD平面BDE.(2)证明:方法一:取DF的中点N,连接PN,AN.P为DE的中点,PNEF,
10、PN=EF.M为AB的中点,AMEF,AM=EF,即AMPN,AM=PN,即四边形AMPN为平行四边形,ANPM.PM平面ADF,AN平面ADF,MP平面ADF.方法二:取EF的中点G,连接MG,PG.P,M,G分别为DE,AB,EF的中点,MGAF,PGDF.MGPG=G,AFDF=F,平面PMG平面DAF.PM平面PMG,MP平面DAF.(3)解:过D作DH垂直于AB于H.在直角三角形ADB中,AB=2,AD=1,BD=,DH=.三棱锥E-BCD的体积V=11.21.(12分)已知圆C过坐标原点O,且与x轴、y轴分别交于点A,B,圆心坐标C(tR,t0).(1)求证:AOB的面积为定值;(
11、2)直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.(1)证明:由题设知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B,SAOB=|OA|OB|=|2t|=4为定值.(2)解:|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H,则CHMN,C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=,t=2或t=-2,圆心为C(2,1)或C(-2,-1),圆C
12、的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离dr,此时不满足直线与圆相交,故舍去,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)解:点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ|BQ|.又B到圆上点Q的最短距离为|BC|-r=3=2,|PB|+|PQ|的最小值为2,直线BC的方程为y=x,则直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.22.(12分)(2014北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,A
13、BBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=SABCAA1=12=.
