1、北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据和之间能否推出的关系，得到答案.【详解】由可得，由，得到或，不能得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）A. 45B. 60C. 90D. 135【答案】A【解析】【分析】
2、根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解【详解】由题意，可得，设向量，的夹角为，则，又因为，所以故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3.设为第三象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由同角关系求得，再由正弦的二倍角公式变形后求值【详解】设为第三象限角，故选：D【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负4.下列函数既是偶
3、函数，又在上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，则的大小关系是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是
4、增函数，所以在上是减函数，又因为，所以，选B.6.函数（且）的图像是下列图像中的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.如图，正方形中,为的中点,若,则的值为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为E是DC的中点，所以，考点：平面向量的几何运算8.已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）A. 有一个
5、对称中心B. 有一条对称轴C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增【答案】B【解析】由题，平移后得到的函数是，其图象过点,，因为，,故选B.点睛：本题考查是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点确定的值时，要结合五点及确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.9.对于函数f（x），若存在区间Ma，b（ab）使得y|yf（x），xMM，则称区间M为函数f（x）一个“稳定区间，给出下列四个函数：f（x），f（x）x3，f（x）cosx，f（x）tanx其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A B. C.
6、 D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案.【详解】f（x），取时，如图所示：函数在上单调递增，且，故满足；f（x）x3，函数单调递增，取，故满足；f（x）cosx，函数在上单调递减，故满足；f（x）tanx，函数在每个周期内单调递增，在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足；故选：.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.10.延长正方形的边至，使得若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，下列判断正确的是（ ）A. 满足的点必为的中点B. 满足的点有且只有一个C. 的最小值不存在D. 的最
7、大值为【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为，则设，由得，所以，当在线段上时，此时，此时，所以；当在线段上时，此时，此时，所以；当在线段上时，此时，此时，所以；当在线段上时，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D考点：向量的坐标运算【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运
8、算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用二、填空题共6小题每小题5分共30分11.函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意有，解得.故答案为【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.12.在ABC中，cosA，cosB，则cosC_.【答案】0【解析】【分析】计算得到，再利用和差公式计算得到答案.【详解】，则.故答案为：.【点睛】本题考查了同
9、角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13.已知tan（3+）2，则_.【答案】2【解析】【分析】计算，化简得到原式，计算得到答案.【详解】.原式.故答案为：.【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14.若函数yloga（2ax）在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】确定函数单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.【详解】，故函数单调递减，函数yloga（2ax）在区间（0，1）上单调递.故，且满足，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15.为净化水质，向一
10、个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_后池水中药品的浓度达到最大.【答案】2【解析】C5当且仅当且t0，即t2时取等号考点：基本不等式，实际应用16.已知函数，任取，记函数在区间上的最大值为最小值为记. 则关于函数有如下结论：函数为偶函数；函数值域为；函数的周期为2；函数的单调增区间为.其中正确的结论有_.（填上所有正确的结论序号）【答案】.【解析】试题分析：因为，其中分别是指函数在区间上的最大值、最小值，注意到函数是最小正周期为的函数，所以在区间的图像与在的图像完全相同，所以，所以，所以函数的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先
11、探究的性质即可.根据的图像（如下图（1）与性质可知当时，在区间的最小值为，最大值为，此时当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为，此时作出的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为，故只有正确.考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.三、解答题共4小题共40分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.已知不共线向量，满足|3，|2，（23）（2）20.（
12、1）求；（2）是否存在实数，使与2共线？（3）若（k2）（），求实数k的值.【答案】（1）1；（2）存在，；（3）或【解析】【分析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数，使与2共线，则，计算得到答案.（3）计算（k2）（）0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量，满足|3，|2，（23）（2）20，所以4434943420，解得1；（2）假设存在实数，使与2共线，则，故，.即存在，使得与2共线；（3）若（k2）（），则（k2）（）0，即k（2k2）2k0，所以9k+（2k2）12k40，整理得k2k20，解得k1或k2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力
13、.18.已知函数f（x）cosx（acosxsinx）（aR），且f （）.（1）求a的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在区间0，上的最小值及对应的x的值.【答案】（1）；（2）；（3）时，取得最小值【解析】【分析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到，计算得到答案.（3）计算2x，再计算最值得到答案.【详解】（1）f（x）cosx（acosxsinx）（aR），且f （）.f （）（）.解得a.（2）由（1）可得f（x）cosx（cosxsinx）cos2xsinxcosxsin2xcos（2x），令2k+2x2k+2，kZ，解得：kxk，kZ，可得f（x）的单调递
14、增区间为：k，k，kZ，（3）x0，可得：2x，当2x，即x时，f（x）cos（2x）取得最小值为1.【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19.如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里()求的值；()试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？【答案】（）； （）海警船再向前航行22.5分钟即
15、可到达岛.【解析】【分析】() 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.()首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.【详解】()由已知可得，中，根据余弦定理求得，()由已知可得，中，由正弦定理可得，分钟即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20.f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数.（1）试判断函数f1（x）x2，中哪些是各自定义域上的C函数，并
16、说明理由；（2）若f（x）是定义域为的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数.【答案】（1）是C函数，不是C函数，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的新定义证明f1（x）x2是C函数，再举反例得到不是C函数，得到答案.（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在mn且m，n0，T），使得f（m）f（n，讨论f（m）f（n）和f（m）f（n）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x1，x2及（0，1），有f1（x1+（1）x2）f1（x1）（1）f1（x2）（x1+（1）x2）2x12（1）x22（1）x12（1）x22+2（1）x1x2（1）（x1x2）20，
17、即f1（x1+（1）x2）f1（x1）+（1）f1（x2），f1（x）x2是C函数；不是C函数，说明如下（举反例）：取x13，x21，则f2（x1+（1）x2）f2（x1）（1）f2（x2）f2（2）f2（3）f2（1）0，即f2（x1+（1）x2）f2（x1）+（1）f2（x2），不是C函数；（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在mn且m，n0，T），使得f（m）f（n）.（i）若f（m）f（n），记x1m，x2m+T，1，则01，且nx1+（1）x2，那么f（n）f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2）f（m）+（1）f（m+T）f（m），这与f（m）f（n）矛盾；（ii）若f（m）f（n），记x1n，x2nT，1，同理也可得到矛盾；f（x）在0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.
