1、3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示 复习1:平面向量基本定理:复习2:平面向量的单位正交分解及坐标表示【温故知新】p如果、是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量,总存在唯一实数对使,其中 和叫做该平面内所有向量的一组基底。a byx,byaxpabx,yeyexa211e2ex y oa【探究新知】探究任务一:空间向量基本定理问题1:用两两垂直的三个向量可以表示空间任意向量吗?若可以请作图并写出它的推导过程,如果是任意三个不共面向量是否有类似的结论呢?(类比平面向量基本定理)bacijkpp一、空间向量基本定理:【获得新知】问题2:什么是空间向量正交分解?平面向
2、量基本定理?bacpbyax czczbyaxpAOP空间向量基本定理:如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在唯一的有序实数组x,y,z,使,a b cp.pxaybzc都叫做基向量,a b c我们把叫做空间的一个基底。cba,问题3:空间任意一个向量的基底有 个?可以作为基底吗?0探究任务二:空间向量的坐标表示 问题4:单位正交基底?空间向量的坐标如何表示?单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用 表示,空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点,分别以 的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都
3、叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz 321,eee321,eee321,eeey x z 1e2eo3eO 空间向量的坐标:如上图建立空间直角坐标系,给定一个向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得,有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系o-xyz中的坐标。记作p321ezeyexpp),(zyxp P pQ x y z 2e1e3e1、已知向量 是空间的一个基底从向量 中选哪一个向量,一定可以与 构成空间的 另一个基底?【反思提高】cba,cba,baqbap,2、空间向量基本定理与课本88页“思考”栏目中的第二个问题有什么联系?例题透析1.已知空间四边形OAB
4、C,其对角线为OB,AC,M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P,Q是线段MN三等分点,用基向量OA,OB,OC表示向量OP,OQ.B O A C P N M Q 112311111()()23236111366OQOMMQOAMNOAONOAOAOBOCOAOBOCMPOMOPMNOA3221OMONOA3221OAOCOBOA21213221OCOBOA31612.正方体 的棱长为2,以A为坐标原点,以 为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,设向量 为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量,用向量 表示 和 。1111DCBAABCD 1,AAADAB1AC1BD321,eee321,eee11DCADAC1AAABADkji2222,2,22,2,22221111kjiABCCADBACCADCDBCBD2e1e3e布置作业导学案总结提升(1)概念探究过程:(2)证明方法和步骤:(3)数学思想方法和思维方法:椭圆的画法.gsp感谢大家的聆听 希望各位评委提出宝贵意见