1、3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程学 习 任 务核 心 素 养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养.2.借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养.在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图所示我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径那么，你能说说什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？知识点1椭圆的定义(1)定义：把平面
2、内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距(2)几何表示：|MF1|MF2|2a(常数)且2a|F1F2|.1.(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”，其他条件不变，动点的轨迹是什么？提示(1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在1.下列说法中，正确的是()A到点M(3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B到点
3、M(0，3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C到点M(3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D到点M(0，3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C由椭圆的定义知，C正确知识点2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点(c,0)与(c,0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系c2a2b22.能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？提示能椭圆的焦点在x轴上标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中含y2项的分母较大2.(1)若椭圆方程为1，则其焦点在_轴上，焦点坐标为_(2)已知a5，c2，焦点在y轴上，则椭圆的
4、标准方程为_(1)x(2,0)和(2,0)(2)1(1)因为106，所以焦点在x轴上，且a210，b26，所以c21064，c2，故焦点坐标为(2,0)和(2,0)(2)由已知得b2a2c221，于是椭圆的标准方程为1. 类型1求椭圆的标准方程【例1】(对接教材P107例题)求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P，Q.解(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以解得所以所求的椭圆的标准方程为x21.(2)因为
5、椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)法一：由椭圆的定义知，2a2，即a，又c2，所以b2a2c26，所以所求椭圆的标准方程为1.法二：因为所求椭圆经过点，所以1，又c2a2b24，可解得a210，b26.所以椭圆的标准方程为1.(3)法一：当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意，有解得由ab0，知不合题意，故舍去；当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1.试总结用待定系数法求椭圆标准方程
6、的步骤.提示(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程：根据上述判断设方程1(ab0)或1(ab0)或整式形式mx2ny21(m0，n0，mn).(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组.(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.跟进训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解(1)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点
7、在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1. 类型2对椭圆标准方程的理解【例2】(1)若方程1表示椭圆，则实数m的取值范围是()A(9,25)B(9,8)(8,25)C(8,25)D(8，)(2)若方程x23my21表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_(1)B(2)(1)依题意有解得9m8或8m25，即实数m的取值范围是(9,8)(8,25)，故选B(2)由题意知m0，将椭圆方程化为1，依题意有解得mn0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是nm0
8、.(2)若给出椭圆方程Ax2By2C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式1，再研究其焦点的位置等情况跟进训练2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_(4,0)(0,3)方程化为1，依题意应有12aa20，解得4a0或0a|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，所以其轨迹方程为1.求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是
9、由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程跟进训练4在RtABC中，CAB90，|AB|2，|AC|，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|PB|是定值建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程解以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为1(ab0)因为|AB|2，|AC|，所以|BC|，则2a|AC|BC|4,2c|AB|2，所以a2，c1，所以b2a2c23.所以曲线E的方程为1.1设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF
10、1|MF2|6，则动点M的轨迹是()A椭圆B直线C圆D线段D由|MF1|MF2|F1F2|6知动点M的轨迹是线段F1F2，故选D2已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A1B2 C3D4B椭圆方程可化为x21，由题意知解得k2.3椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A1B1C1D1C由条件知，焦点在y轴上，且a10，c8，所以b2a2c236，所以椭圆的标准方程为1.4方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_(6，2)(3，)由a2a60得a3或6a2.5已知椭圆1上一
11、点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|PF2|_.48由题意知由|PF1|PF2|14得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|196，2|PF1|PF2|96，|PF1|PF2|48.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)椭圆是如何定义的？请写出其标准方程提示把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆其标准方程为1(ab0)或1(ab0)(2)当方程1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？提示表示椭圆时：，表示焦点在x轴的椭圆时，mn0，表示焦点在y轴的椭圆时，nm0.(3)求动点的轨迹方程常用方法有哪些？提示直接法、定义法、相关点法(代入法)
