1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 数列的概念及简单表示法 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.数列的概念(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为_的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是_、_和_.定义域列表法图像法通项公式法(1)数列的定义：按照_排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的_.排在第一位的数称为这个数列的第1
2、项，通常也叫作_.一定次序项首项基础诊断考点突破课堂总结2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数_ 无穷数列 项数_ 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an1an 其中nN*递减数列 an1an 常数列 an1an 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 有限无限基础诊断考点突破课堂总结3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个式子_来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式.(2)递推公式：如果
3、已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.nanf(n)4.已知数列an的前 n 项和 Sn，则 an_ （n1），_（n2）.S1SnSn1基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)一个数列中的数是不可以重复的.()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()基础诊断考点突破课堂总结解析(1)数列
4、：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的.(3)不是所有的数列都有通项公式.答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.(2017西安调研)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an(1)n11 B.an2，n为奇数，0，n为偶数C.an2sinn2D.ancos(n1)1解析 对 n1，2，3，4 进行验证，an2sinn2 不合题意，故选 C.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结3.设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A.15B.16C.49D.64 解析 当n8时，a8S8S7827215.答案
5、A 基础诊断考点突破课堂总结4.已知ann2n，且对于任意的nN*，数列an是递增数列，则实数的取值范围是_.解析 因为an是递增数列，所以对任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.答案(3，)基础诊断考点突破课堂总结5.(2016浙江卷改编)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则S5_.解析 由an12Sn1，an1Sn1Sn，Sn13Sn1，又S24，S313，S440，S5121.答案 121 基础诊断考点突破课堂总结考点一 由数列的前几项求数列的
6、通项【例 1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，；(2)23，415，635，863，1099，；(3)12，2，92，8，252，；(4)5，55，555，5 555，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5).基础诊断考点突破课堂总结(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为 2，4，6，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为 an2n（
7、2n1）（2n1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为 ann22.基础诊断考点突破课堂总结(4)将原数列改写为599，5999，59999，易知数列 9，99，999，的通项为 10n1，故所求的数列的一个通项公式为 an59(10n1).规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想
8、.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)数列 0，23，45，67，的一个通项公式为()A.ann1n2(nN*)B.an n12n1(nN*)C.an2（n1）2n1(nN*)D.an 2n2n1(nN*)(2)数列 112，123，134，145，的一个通项公式an_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)注意到分子 0，2，4，6 都是偶数，对照选项排除即可.(2)这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n1n（n1）.答案(1)C(2)(1)n1n（n1）基础诊断考点突破课堂总结考点二 由Sn与an的关系求
9、an(易错警示)【例 2】(1)若数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则数列an的通项公式 an_.(2)若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式 an_.解析(1)当 n1 时，a1S13122112；当n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当 n1 时，不满足上式.故数列的通项公式为 an2，n1，6n5，n2.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 Sn23an13，得当 n2 时，Sn123an113，两式相减，得 an23an23an1，当 n2 时，an2an1，即 anan12.又 n1 时，S1a123a113，a11，an
10、(2)n1.答案(1)2，n16n5，n2(2)(2)n1基础诊断考点突破课堂总结规律方法 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 anS1，n1，SnSn1，n2.当 n1 时，a1 若适合 SnSn1，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时，a1 若不适合 SnSn1，则用分段函数的形式表示.易错警示 在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_
11、.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.解析(1)依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，an2n1.基础诊断考点突破课堂总结(2)当 n1 时，a1S1314，当 n2 时，anSnSn13n13n1123n1.显然当 n1 时，不满足上式.an4，n1，23n1，n2.答案(1)2n1(2)4，n1，23n1，n2基础诊断考点突破课堂总结考点三 由数列的递推关系求通项公式【例 3】在数列an中，(1)若 a12，an1ann1，则通
12、项公式 an_.(2)若 a11，ann1n an1(n2)，则通项公式 an_.(3)若 a11，an12an3，则通项公式 an_.解析(1)由题意得，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan 1)2(23n)2（n1）（2n）2n（n1）21.又 a121（11）21，符合上式，因此 ann（n1）21.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 因为 ann1n an1(n2)，所以 an1n2n1an2，a212a1，以上(n1)个式子的等号两端分别相乘得ana11223n1n a1n 1n.法二 因为 an anan1an1an2an2an3a3a2a2a1a1n1n n2
13、n1n1n211n.(3)设递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant)，即 an12ant，解得 t3.故 an132(an3).基础诊断考点突破课堂总结令 bnan3，则 b1a134，且bn1bn an13an3 2.所以bn是以 4 为首项，2 为公比的等比数列.bn42n12n1，an2n13.答案(1)n（n1）21(2)1n(3)2n13基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)形如 an1anf(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如 an1anf(n)的递推关系式可化为an1an f(n)的形式，可用累乘法，也可用 an ana
14、n1an1an2a2a1a1 代入求出通项.(3)形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)已知数列an满足 a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项公式 an_.(2)在数列an中，a13，an1an1n（n1），则通项公式 an_.解析(1)由 an22an3an10，得 an2an12(an1an)，数列an1an是以 a2a13 为首项，2 为公比的等比数列，an1an32n1，n2 时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累
15、加得 ana132n23233(2n11)，an32n12(当 n1 时，也满足).基础诊断考点突破课堂总结(2)原递推公式可化为 an1an1n 1n1，则 a2a11112，a3a21213，a4a31314，an1an2 1n2 1n1，anan1 1n11n，逐项相加得，ana111n，故 an41n.答案(1)32n12(2)41n基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.基础诊断考点突破课堂总结2.强调 an 与 Sn 的关系：anS1 （n1），SnSn1（n2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.
