1、松原市20122013学年度高三教学质量监测数学（理科）参考答案及评分标准二、填空题 13. 14. 15. 16.4.解：平均数中位数，众数.，故选.9.解：，故，即.12.解：由得的图象关于直线对称，当时，是增函数，(第16题图)，因此，在区间上使的，相应的整数；由对称性，在上使的，相应的整数.的取值集合是.15.解：，.16.解：该几何体是一个圆锥加一个长方体，.三、解答题17.（10分）已知等比数列中，公比(1)为的前项和，证明：；(2)若，求数列的通项公式.解：(1),.5分18.(10分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的
2、编号之和不大于的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率.解：(1)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个因此，所求事件的概率是. 5分(2)先从袋中取出一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为，其一切可能结果有：，,共个.满足条件的事件为,，共个.所以，所求的概率为. 10分19.(12分)已知向量，且满足.(1)求函数的解析式及最小正周期；(2)在锐角三角形中，若，且，求
3、的长.解：(1),由得， 5分 最小正周期是. 6分20.(12分)如图，在正三棱柱中，是的中点.(第20题图)(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求二面角的余弦值.解：(1)证明：连交于点，连.则是的中点，是的中点，平面，平面，平面.4分(3)法一：设,且，作，连平面平面，平面，就是二面角的平面角，在中，在中，即二面角的余弦值是.12分解法二：如图，建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量是，则由，取设平面的法向量是，则由，取记二面角的大小是，则，即二面角的余弦值是.12分21.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过、两点.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右焦点
4、分别是、，过点的直线：与椭圆交于、两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个在最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由.(2)设、，不妨设，如图，设的内切圆的半径为，则当最大时，也最大，的内切圆的面积也最大，又，8分由得，则恒成立，10分设，则，且，设，则，函数在上是单调减函数，即的最大值是，即的最大值是，的内切圆的面积的最大值是，此时，直线的方程是.12分22.(12分)设函数，其中为常数.(1)当时，判断函数在定义域上的单调性；(2)若函数有极值点，求实数的取值范围及的极值点；(3)当时，证明不等式.(2)由(1)知，当时，函数在上是单调增函数，没有极值点. 当时，函数在上是单调增函数，没有极值点. 当时，令得，6分 当时，则，列表:极小值由此看出，当时，有唯一极小值点.8分当时，列表：极大值极小值由此看出，当时，有极小值点和极大值点.综上，当时，有唯一极小值点，当时，有极小值点和极大值点.10分(3)由(2)知，时，函数，此时，函数有唯一极小值点，当时，在上是减函数，时，即时，.令函数，则注：以上参考答案及评分标准仅供阅卷老师参考，如有其他解答方法可酌情给分.
