1、北京市首都师范大学附属中学2020届高三数学联考试题（含解析）一、选择题1.已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用共轭复数的定义以及复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.【详解】因为复数（是虚数单位），所以复数，的虚部为，故选：C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合，则（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数不等式与一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合交集的定义求解即可【详解】因为，所以，故选：B【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.3.已知函数，则函数的奇偶性为（ ）A. 既是奇函数也是偶函数B. 既不是奇函数也不是偶函数C. 是奇函数不是偶函数D. 是偶函数不是奇函数【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，化简函数的解析式，再利用奇偶性的定义求解即可.【详解】由，所以，可得函数定义域为且，关于原点对称，又因为，所以函
3、数是奇函数不是偶函数，故选：C.【点睛】判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .4.在平行四边形中，=60，为的中点.若，则的长为（ ）A. B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，利用向量的线性运算法则以及向量数量积的运算得到关于AB的方程，解之即可【详解】因为平行四边形ABCD中, ，=60，E为CD中点，设AB=x,由得，即
4、解得x=2或（舍去）；故选：C.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5.已知f（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln，且bdx=2f（a）+1，则a+b的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先由已知的等式得到a，b的关系式，将所求转化为利用基本不等式求最小值【详解】由bdx=2f（a）+1，得到b（x2）|=+1，即=1，且a，b0，所以a+b=（a+b）（）=；当且仅当时等号成立；故选C【点睛】本题考查了定积分、导数的计算及利用基本不等式求代数式的最小值，属于中档题6.已知，都是实数，命题；命题，则是的（
5、 ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别利用绝对值不等式与一元二次不等式的解法解出p，q，根据包含关系即可判断出结论【详解】命题；解得3x3.命题，解得1x3.因为所以p是q的必要不充分条件，故选：B.【点睛】充分条件与必要条件的判断问题，是高考不可少的内容，它可以和任何知识点相结合,充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法,本题运用了集合关系法.7.若变量，满足条则的最小值是（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出可行域，的几何意义为可行域内的点与定点P(1,0)距离的平
6、方，结合图形，利用点到直线距离公式求解即可.【详解】画出变量，满足条的可行域，如图， 的几何意义为可行域内的点与定点P(1,0)距离的平方，由图可知,z的最小值为点P到直线x+2y1=0的距离的平方,等于.故选：D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.若（其中，）的图象如图，为了得的图象，则需将的图象（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
7、【答案】B【解析】【分析】由已知中函数的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数的解析式，利用三角函数图象的平移变换法则可得结果【详解】由已知中函数（其中，）的图象，可得：，即=2即f(x)=sin(2x+)，将点代入得：又由，即所以将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数的图象，故选：B【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.9.已知双曲线（,）的一个顶点是抛物线的焦点,两条曲线的一个交点为,则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
8、【分析】根据抛物线的焦点可得双曲线的顶点,再根据抛物线的定义可得两交点的坐标,再代入双曲线方程求解从而得到离心率即可.【详解】设,因为抛物线的焦点,且,故.代入有.又,将代入可得,解得.故双曲线的离心率.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用以及双曲线的离心率计算,需要根据题意根据抛物线的定义,确定两曲线交点的坐标,再代入双曲线求解.属于中档题.10.函数，则方程的实根个数不可能为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】画出图像,再数形结合分析不可能的实根个数即可.【详解】根据对数函数以及二次函数的性质,结合与的图像关系画图可得：则的图像与的图像交点个数
9、不可能为1个.即方程的实根个数不可能为1个.故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据函数的性质画出的图像,再分析其与的图像交点个数即可.属于中档题.二、填空题11.若奇函数定义域为,且,则=_【答案】【解析】【分析】先根据的性质得出周期为4,再利用周期性与奇偶性将中的自变量转换,利用求解即可.【详解】因为,故,故周期为4.又奇函数,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与对称性求解函数值的问题,需要根据题意确定函数的周期,再将自变量转换到已知函数值的自变量进行计算.属于中档题.12.若的展开式中常数是，则实数=_【答案】【解析】【分析】由二项定理展开
10、式通项可，结合常数项即可求得的值.【详解】根据二项定理展开式的通项可知，所以，即时为常数项，所以，解得，故答案为：.【点睛】本题考查了二项定理展开式通项的应用，由常数项求参数，属于基础题.13.某程序框图如图所示，当输出的值为时，则输出的值为_【答案】16【解析】【分析】根据程序框图，结合输出的值，即可计算求得输出的值.【详解】,则因为输出的值为,则此时输出的值为16,故答案为:16.【点睛】本题考查了循环程序框图的简单应用，属于基础题.14.已知为单位向量，且夹角为60，若，则在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】分别求出、，再结合在方向上的投影为，可求出答案.【详解】由题意，则，所以，
11、所以在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的投影，考查向量的数量积的运算，考查单位向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15.给出以下四个结论：函数的对称中心是；若关于的方程在没有实数根，则的取值范围是；在中，“”是“为等边三角形”的充分不必要条件；若的图象向右平移个单位后为奇函数，则最小值是.其中正确的结论是_【答案】【解析】【分析】对四个结论逐个分析，可选出答案.【详解】对于，其图象由的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，故的对称中心为，即正确；对于，由，可得.令，且，显然函数在上单调递减，则，又因为时，故在的值域为，所以当时，关于的方程在没有实数根，即
12、错误；对于，先来判断充分性，当时，可得，所以，即，所以为等腰三角形，不能推出为等边三角形，即充分性不成立；再来判断必要性，当为等边三角形时，可得，则，故，即必要性成立，故不正确；对于，的图象向右平移个单位后，得到，由为奇函数，可得，则，解得，当时，取得最小正值为，故不正确.所以，正确的结论是.故答案为：.【点睛】本题考查函数的对称中心，考查三角函数的平移变换及奇偶性的应用，考查利用参变分离法解决方程的解的存在性问题，考查充分性与必要性的判断，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题16.已知函数.（1）求单调递增区间；（2）中，角，的对边，满足，求的取值范围.【答案】（1）
13、（2）【解析】【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式整理化简函数解析式，再由三角函数单调性求单调增区间；（2）由余弦定理求出角的取值范围，再由三角函数性质求得值域.【详解】（1）所以其单调递增区间故增区间为 （2）由（1）可知由余弦定理可知，且，则,故，即所以的取值范围为.【点睛】本题考查利用三角恒等换边化简三角函数并由三角函数性质求单调区间，还考查了求三角函数的值域与由余弦定理求角的取值范围，属于中档题.17.某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有“A”“B”“C”“D”.顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多
14、取4次，并规定若取出“D”字球，则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖.（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；（2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）见解析，【解析】【分析】（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，每次摸球相互独立，每个球被摸到的概率为，由事件的相互独立性性质求，先由排列方式计算事件B的基本事件个数，再由古典概型求概率方式求，最后三等奖的情况有: “A，A，B，C”；“A，B，B，C”
15、；“A，B，C，C”三种情况，由相互独立性求概率即可；（2）由相互独立性计算的取值为1、2、3、4时的概率，并列出对应的分布列，进而由均值计算公式求得均值.【详解】（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，每次摸球相互独立，每个球被摸到的概率为，则依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球的概率， 不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球时，前3次全排列“A”“B”“C”最后一次为“D”，再减去“一等奖”的1次，即基本事件有个，则概率三等奖的情况有: “A，A，B，C”；“A，B，B，C”；“A，B，C，C”三种情况.则（2）设摸球的次数为，则的可能取值为1、2、3、4
16、.，故取球次数的分布列为1234所以数学期望为【点睛】本题考查计算相互独立时间的概率，还考查列离散型随机变量的分布列并求均值，属于中档题.18.如图，在边长为4的菱形中,，点分别是的中点，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先证明，从而，根据线面垂直的判定定理可证明平面；（2）设，连接，由（1）可得，根据勾股定理可得,根据线面垂直的判定定理可得平面，以为原点，在直线为轴，所在直线轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分
17、别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接为等边三角形，在中，在中， 平面 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，由得令得平面的一个法向量为，由（1）知平面一个法向量为，设求二面角的平面角为，则二面角的余弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求
18、出相应的角和距离.19.已知等比数列的公比为（），等差数列的公差也为，且(I）求的值； (II）若数列的首项为，其前项和为， 当时，试比较与的大小.【答案】（1）； （2）当 时， ；当 时， ；当 时， .【解析】【分析】（）由已知列关于公比的方程，求解方程即可得到q值；（）分别求出等比数列的通项公式及前n项和，分类作出比较得答案【详解】（I）由已知可得2，是等比数列，.解得 或， .(II）由（I）知等差数列的公差为， ， ，当 时，；当 时，；当 时，. 综上，当 时，；当 时，；当 时，.【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式及前n项和，训练了作差法两个函数值的大小，是中
19、档题20.已知椭圆经过点M（2，1），离心率为过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q(1)求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】(1)由题设，得1，且，由、解得a26，b23，故椭圆C的方程为1.(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为k，记P(x1，y1)、Q(x2，y2)设直线MP的方程为y1k(x2)，与椭圆C的方程联立，得(12k2)x2(8k24k)x8k28k40，则2，x1是该方程的两根，则2x1，即x1.设直线MQ的方程为y1k(x2)，同理得x2.因y11k(x12)，y2
20、1k(x22)，故kPQ1，因此直线PQ的斜率为定值21.已知函数，.（1）求函数在上的最小值；（2）若存在（是自然对数的底数，），使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，可得其单调区间，结合所给区间和单调区间之间的关系进行分类讨论，分别可求出对应情况下函数的最小值 ；（2）不等式可化为，设，则问题转化为，利用导数求出的最大值即可.【详解】（1）由已知可得函数的定义域为，当，单调递减，当，单调递增，当，即时，；当，即时，；综上所述，.（2）不等式成立，即，设，则当时，单调递减；当时，单调递增；，由题意可得：【点睛】本题考查了导数分析单调区间和求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于难题.
