1、2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合U=R，A=x|（x+l） （x2）0，则UA=（）A（一，1）（2，+）Bl，2C（一，12，+）D（一1，2）2命题“若ab，则a+cb+c”的逆命题是（）A若ab，则a+cb+cB若a+cb+c，则abC若a+cb+c，则abD若ab，则a+cb+c3双曲线的离心率为（）A4BCD4已知为锐角，且sin=，则cos（+）=（）A一BCD5执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）AB1或1ClDl6已知x与y之间的一
2、组数据：x1234ym3.24.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x1.25，则m的值为（）AlB0.85C0.7D0.57已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x0，）时，f（x）=一x3则f（）=（）ABCD8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）ABC5D39将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）10在直三棱柱ABCA1BlC1中，平面与棱AB，AC，A1C
3、1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1平面有下列三个命题：四边形EFGH是平行四边形；平面平面BCC1B1；平面平面BCFE其中正确的命题有（）ABCD11已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，|=2， =，若M是线段AB的中点，则的值为（）A3B2C2D312已知曲线C1：y2=tx （y0，t0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=ex+l1也相切，则t的值为（）A4e2B4eCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13复数z=（i为虚数单位）的虚部为14我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”
4、是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取0，4上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为15若实数x，y满足约束条件，则3xy的最大值为16已知ABC中，AC=，BC=，ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使BDC=，则CD=三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准为：85分
5、及以上，记为A等；分数在70，85）内，记为B等；分数在60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等同时认定A，B，C为合格，D为不合格已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级
6、为D的概率18在等比数列an中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列（I）求数列an的通项公式；（）求数列|an4|的前n项和Sn19如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=将AED，CFD，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR平面PEF；（）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥PDEF的内切球的半径20已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点（I）若直线l1的倾斜角为，|
7、AB|的值；（）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BNl21已知函数f（x）=xlnx+（lk）x+k，kR（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（）当x1时，求使不等式f（x）0恒成立的最大整数k的值请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为（）的直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin=0（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）已知点P（1，0）若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲
8、线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=x+1+|3x|，x1（I）求不等式f（x）6的解集；（）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合U=R，A=x|（x+l） （x2）0，则UA=（）A（一，1）（2，+）Bl，2C（一，12，+）D（一1，2）【考点】补集及其运算【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出UA【解答】
9、解：集合U=R，A=x|（x+l） （x2）0=x|1x2，则UA=x|x1或x2=（，12，+）故选：C2命题“若ab，则a+cb+c”的逆命题是（）A若ab，则a+cb+cB若a+cb+c，则abC若a+cb+c，则abD若ab，则a+cb+c【考点】四种命题【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可【解答】解：命题“若ab，则a+cb+c”的逆命题是“若a+cb+c，则ab”故选：C3双曲线的离心率为（）A4BCD【考点】双曲线的标准方程【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率
10、为：e=故选B4已知为锐角，且sin=，则cos（+）=（）A一BCD【考点】三角函数的化简求值【分析】根据为锐角，且sin=，可得cos=，利用诱导公式化简cos（+）=cos可得答案【解答】解：为锐角，sin=，cos=，那么cos（+）=cos=故选A5执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）AB1或1ClDl【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x0，y=x2+1=0，x=1，x0，y=3x+2=0，无解，故选：C6已知x与y之间的一组数据：x1234ym3.24.8
11、7.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x1.25，则m的值为（）AlB0.85C0.7D0.5【考点】线性回归方程【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m值【解答】解：=2.5， =2.1x1.25，=4，m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D7已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x0，）时，f（x）=一x3则f（）=（）ABCD【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论【解答】解：奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），函数f（
12、x）是周期为3的函数，当x0，）时，f（x）=x3，f（）=f（6）=f（）=f（）=，故选：B8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）ABC5D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥PABCD，其中PA底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4可得最长的棱长为PC【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥PABCD，其中PA底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4连接AC，则最长的棱长为PC=故选：B9将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数
13、g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=k，求得 x=，kZ，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D10在直三棱柱ABCA1BlC1中，平面与棱AB，AC，A1C1，A1B
14、1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1平面有下列三个命题：四边形EFGH是平行四边形；平面平面BCC1B1；平面平面BCFE其中正确的命题有（）ABCD【考点】棱柱的结构特征【分析】在中，由AA1EHGF，知四边形EFGH是平行四边形；在中，平面与平面BCC1B1平行或相交；在中，EH平面BCEF，从而平面平面BCFE【解答】解：如图，在直三棱柱ABCA1BlC1中，平面与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1平面AA1EHGF，四边形EFGH是平行四边形，故正确；EF与BC不一定平行，平面与平面BCC1B1平行或相交，故错误；AA1EHGF，且AA1平面BC
15、EF，EH平面BCEF，EH平面，平面平面BCFE，故正确故选：C11已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，|=2， =，若M是线段AB的中点，则的值为（）A3B2C2D3【考点】平面向量数量积的运算【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，|=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，|=2，与的夹角为，=|cos=22=2，M是线段AB的中点，=（+），=，=（+）（）=（5|2+32|2）=（20+68）=3，故选：A12已知曲线C1：y2=tx （y0，t0）在点M（，2）处的切线与曲线C2
16、：y=ex+l1也相切，则t的值为（）A4e2B4eCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=ex+11的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得【解答】解：曲线C1：y2=tx（y0，t0），即有y=，y=，在点M（，2）处的切线斜率为=，可得切线方程为y2=（x），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=ex+11，y=ex+1，em+1=，m=ln1，n=m1，n=em+11，可得（ln1）1=e1，即有（ln1）=，可得=e2，即有t=4e2故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小
17、题5分，共20分13复数z=（i为虚数单位）的虚部为1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：z=i+1的虚部为1故答案为：114我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取0，4上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8【考点】函数模型的选择与应用【分析】根据祖
18、暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为42=8故答案为815若实数x，y满足约束条件，则3xy的最大值为6【考点】简单线性规划【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3xz，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3xy的最大值为6，故答案为：616已知ABC中，AC=，BC=，ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使BDC=，则CD=【考点】正弦定理【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinACB=
19、，从而可求ACB=，在ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求B，在BCD中，由正弦定理可得CD的值【解答】解：AC=，BC=，ABC的面积为=ACBCsinACB=sinACB，sinACB=，ACB=，或，若ACB=，BDC=BAC，可得：BAC+ACB+，与三角形内角和定理矛盾，ACB=，在ABC中，由余弦定理可得：AB=，B=，在BCD中，由正弦定理可得：CD=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70，85）内，记为
20、B等；分数在60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等同时认定A，B，C为合格，D为不合格已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件
21、发生的概率；频率分布直方图【分析】（）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果（）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率【解答】解：（）由题意知10x+0.01210+0.05610+0.01810+0.01010=1，解得x=0.004，甲学校的合格率为1100.004=0.96，而乙学校的合格率为：1=0.96，故甲乙两校的合格率相同（）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C
22、3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：C1，C2，C1，C3，C1，C4，C1，D1，C1，D2，C2，C3，C2，C4，C2，D1，C2，D2，C3，C4，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=18在等比数列an中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列（I）求数列an的通项公式；（）求数列|an4|的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）设等比数列an的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，
23、解得q又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出（II）n=1时，a14=20，可得S1=2当n2时，an40数列|an4|的前n项和Sn=2+（a24）+（a34）+（an4），再利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（I）设等比数列an的公比为q，a4=8a1，=8a1，a10，解得q=2又a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2an=2n（II）n=1时，a14=20，S1=2当n2时，an40数列|an4|的前n项和Sn=2+（a24）+（a34）
24、+（an4）=2+22+23+2n4（n1）=4（n1）=2n+14n+2Sn=19如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=将AED，CFD，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR平面PEF；（）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥PDEF的内切球的半径【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出PD平面PEF，RGPD，由此能证明GR平面PEF（）设三棱锥PDEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥PDEF的内切球的半径【解答】证明：（
25、）在正方形ABCD中，A、B、C均为直角，在三棱锥PDEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，PD平面PEF，=，即，在PDH中，RGPD，GR平面PEF解：（）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，SPDF=2，SDEF=SDPE=4，=6，设三棱锥PDEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，三棱锥PDEF的内切球的半径为20已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BNl【考点】
26、直线与椭圆的位置关系【分析】（I）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB|的值；（）设直线l1的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，由A，M，N三点共线，求得N点坐标，y0y2=y2=k（x21），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BNl【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x210x15=0，则x1+x2=，x1x2=，则丨AB丨=，|AB|的值；（）设直线l1的方程为y=k（x1），设
27、A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x210k2x+5k220=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0y2=y2=k（x21）=，=0，直线BNx轴，BNl21已知函数f（x）=xlnx+（lk）x+k，kR（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（）当x1时，求使不等式f（x）0恒成立的最大整数k的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间（）由f（x）0恒成立，得xlnx+（
28、1k）x+k0，推导出k恒成立，设g（x）=，则g（x）=，令（x）=lnx+x2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值【解答】解：（）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f（x）=lnx+1，由f（x）0，得x；由f（x）0，得0x，f（x）的单调递增区间为（，+），单调减区间为（0，）（）由f（x）0恒成立，得xlnx+（1k）x+k0，（x1）kxlnx+x，x1，k恒成立，设g（x）=，则g（x）=，令（x）=lnx+x2，则，x0，（x）0，（x）在（1，+）上单调递增，而（3）=1ln30，（4）=2ln40，存在x0（3，4），使（x0）=0，即x02=lnx0，当x（x0，
29、+）时，g（x）0，此时函数g（x）单调递减，当x（x0，+）时，g（x0）0，此时函数g（x）单调递增，g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），=x0（3，4），又由kg（x）恒成立，即kg（x）min=x0，k的最大整数值为3请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为（）的直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin=0（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）已知点P（1，0）若点M的极坐标为（1，
30、），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程（）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数）直线l的普通方程为y=tan（x1），由曲线C的极坐标方程是cos24sin=0，得2cos24sin=0，x24y=0，曲线C的直角坐标方程为x2=4y（）点
31、M的极坐标为（1，），点M的直角坐标为（0，1），tan=1，直线l的倾斜角为，直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，Q为线段AB的中点，点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=|=3选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=x+1+|3x|，x1（I）求不等式f（x）6的解集；（）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（+5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案【解答】解：（）根据题意，函数f（x）=x+1+|3x|，x1若f（x）6，则有或，解可得1x4，故原不等式的解集为x|1x4；（）函数f（x）=x+1+|3x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（+5）（5+2）=；即2a+b的最小值为2017年4月5日
