1、专题检测卷(五)解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020济南质检)若双曲线C：y21(m0)的一条渐近线的方程为3x2y0，则m()A. B. C. D.解析由题意知，双曲线的渐近线方程为yx(m0).3x2y0可化为yx，所以，解得m.故选A.答案A2.(2020北京西城区二模)若圆x2y24x2ya0与x轴、y轴均有公共点，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.(，0C.0，) D.5，)解析将圆的一般方程化作标准方程为(x2)2(y1)25a，则该圆的圆心坐标为(2，
2、1)，半径r.因为该圆与x轴、y轴均有公共点，所以解得a1，则实数a的取值范围是(，1.故选A.答案A3.(2020河南六市模拟)已知P为圆C：(x5)2y236上任意一点，A(5，0).若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则点Q的轨迹方程为()A.1 B.1C.1(x0)解析如图，由题意知|QA|QP|，|QA|QC|QP|QC|PC|6.设点Q3(x3，y3).为点Q1关于点Q2的对称点，则x3.当a时，|PQ|无法取到最大值，当a时，|PQ|的最大值为|P1Q1|，a.故选A.答案A6.(2020青岛检测)已知直线yk(x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，直线y2k(x2)与抛
3、物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则()A.16 B.16C.120，b0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A.(，) B.C. D.(，1)解析双曲线1的一条渐近线方程为bxay0，圆C：x2y210y160的圆心坐标为(0，5)，半径为3.因为圆C上有且仅有两点到直线bxay0的距离为1，所以圆心(0，5)到直线bxay0的距离d的范围为2d4，即24.又a2b2c2，所以24，即e0)的焦点为F，点P(x0，2)是抛物线C上一点.以P为圆心的圆与线段PF交于点Q，与过焦点F且垂直于x轴的直线交于点A，B，|AB|PQ|，直线PF与抛物线C的另一
4、交点为M.若|PF|PQ|，则()A.1 B. C.2 D.解析如图，连接PA，PB.因为|AB|PQ|，所以PAB是正三角形.又x0，所以x0|PQ|.又因为|PF|x0|PQ|，所以x0.所以点P，所以(2)22p.因为p0，所以p2.所以F(1，0)，P(3，2)，所以|PQ|PF|，抛物线C的方程为y24x，直线PF的方程为y(x1).由得M，所以|FM|1，所以.故选B.答案B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.过点P(2，2)作圆C：(x2)2(y2)2r2(r0)的
5、两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.0r0)的切线有两条，则点P在圆C外，则r|PC|4，故A错误；若PAB为直角三角形，则四边形PACB为正方形，则r|PC|4，解得r4，故B正确；由PACA，PBCB，可得点P，A，C，B共圆，所以PAB的外接圆就是以PC为直径的圆，即x2y28，故C错误；将(x2)2(y2)2r2与x2y28相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为4x4y16r20，所以D正确.故选BD.答案BD10.(2020潍坊模拟)已知双曲线sin2(k，kZ)，则不因改变而变化的是()A.焦距 B.离心率C.顶点坐标 D.渐近线方程解析由题意，得双曲线的标准
6、方程为1，则a2|sin |，b|sin |，则c|sin |，则双曲线的焦距为2c2|sin |，顶点坐标为(2|sin |，0)，离心率为e，渐近线方程为yx.所以不因改变而变化的是离心率、渐近线方程.故选BD.答案BD11.设P是椭圆C：y21上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则()A.|PF1|PF2|2B.2|PF1|PF2|0)的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，EPF的外角平分线交x轴于点Q，过点Q作QNPE交EP的延长线于点N，作QMPF交线段PF于点M，则()A.|PE|PF| B.|PF|QF|C.|PN|MF
7、| D.|PN|KF|解析由抛物线的定义，得|PE|PF|，A正确；PNQF，PQ是FPN的平分线，FQPNPQFPQ，|PF|QF|，B正确；若|PN|MF|，则由PQ是FPN的平分线，QNPE，QMPF，得|QM|QN|，从而有|PM|PN|，于是有|PM|FM|，则有|QP|QF|，PFQ为等边三角形，FPQ60，也即有FPE60，这只是在特殊位置才有可能， 因此C错误；连接EF，如图，由选项A、B知|PE|QF|，又PEQF，EPQF是平行四边形，|EF|PQ|，EKFQNP，|KF|PN|，D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020
8、武汉质检)已知以x2y0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为_.解析由题知，双曲线的渐近线方程为x2y0，设双曲线的方程为x24y2(0).因为点(4，1)在双曲线上，所以42412，所以双曲线的标准方程为1.答案114.已知点A(5，0)，B(1，3)，若圆x2y2r2(r0)上恰有两点M，N，使得MAB和NAB的面积均为5，则r的取值范围是_.解析由题意可得|AB|5，根据MAB和NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于直线AB的方程为，即3x4y150，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为r2，解得r1，若圆上只有3个点到直线
9、AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为r2，解得r5.故r的取值范围是(1，5).答案(1，5)15.如图，点A，B分别是椭圆1(0b0)的焦点，点A(1，p)，M为抛物线上任意一点，且|MA|MF|的最小值为3，则该抛物线的方程为_.若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，则四边形APFQ的面积为_.(本小题第一空2分，第二空3分)解析由题意，得抛物线x22py(p0)的焦点为F，准线的方程为y.因为|MF|等于点M到准线的距离，所以当p时，|MA|MF|的最小值为点A到准线y的距离，而|MA|MF|的最小值为3，所以3，解得p2，满足p；当p时，|MA|MF|的最小值为|AF|，而|
10、MA|MF|的最小值为3，所以3，解得p4，不满足p.综上所述，p2.因此抛物线的方程为x24y.由p2得，点A(1，2)，焦点F(0，1)，则线段AF的垂直平分线的方程为xy20，且|AF|.设线段AF的垂直平分线与抛物线的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2).由解得或则|PQ|4.所以四边形APFQ的面积S|AF|PQ|44.答案x24y4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020北京适应性考试)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0，1)，B(0，1)，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线ym与椭圆C
11、有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为.证明：点D在x轴上.(1)解由题意知c，b1，a2b2c24.焦点在x轴上，椭圆C的方程为y21.(2)证明由题意可设M(x0，m)，N(x0，m)，1mb0)的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1).(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点.(1)解由题意，得b21，c1，所以a2b2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP
12、的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220，则x1x2，x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2，所以22.解得t0，所以直线l经过定点(0，0).20.(本小题满分12分)(2020沈阳一监)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点A(2，2)，点B在抛物线C上，且满足2(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l与抛物线C交于M，N两点，OPQ的面积记为S1，OMN的面积记为S2，求证：为定值.(1)解设
13、B(x0，y0)，F，22，点B在抛物线C上，422p4，p2，y24x.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得，直线l的斜率存在且不为零.设l：xmy1，代入y24x得，y24my40.y1y24m，y1y24.|y1y2|4.因此S1|y1y2|12.同理可得，S22.为定值，定值为.21.(本小题满分12分)设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于
14、P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.(1)证明因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.由题设得A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4|AB|.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：1(y0).(2)解当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y(x1)，A到m的距离为，所以|PQ|
15、24.故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12，8).22.(本小题满分12分)(2020东北三校一联)已知以动点P为圆心的P与直线l：x相切，与定圆F：(x1)2y2外切.(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；(2)过曲线C上位于x轴两侧的点M，N(MN不与x轴垂直)分别作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，直线l交x轴于点A，记AMM1，AMN，ANN1的面积分别为S1，S2，S3，且S4S1S3，求证：直线MN过定点.(1)解设P(x，y)，P的半径为R，则Rx，|PF|R，点P到直线x1的距离与到定点F(1，0)的距离相等，故点P的轨迹C的方程为y24x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则M1，N，设直线MN：xtyn(t0，n0).将直线MN的方程代入y24x消去x并整理，得y24ty4n0，则y1y24t，y1y24n0.S1|y1|，S3|y2|，4S1S3|y1y2|y1y2|4n|4n4n.S2|y1y2|，S(16t216n)4(t2n).S4S1S3，n(t2n)，即2n，解得n.直线MN恒过定点.
