1、第2课时等差数列的性质学习目标1.掌握等差数列的图像和性质(数学抽象)2.掌握等差中项的概念,会求等差中项(数学抽象)3.能解决与等差数列有关的实际问题(逻辑推理) 必备知识自主学习 导思1.等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系?2.若数列an中,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列an是等差数列吗?为什么?(1)等差数列的图像. 由an=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,其中公差d是该直线的斜率.(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像.由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的
2、一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.当d0时,an为递增数列,如图(甲)所示.当d0时,递增;当d0的等差数列an的四个说法.p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中正确的是()A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p42.在等差数列an中,若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.【思路导引】1.判断每一个数列中后一项与前一项的差的正负.2.应用性质:若m+n=p+q , 则am+an=ap+aq,可得a3,进而求出公差.【解析】1.选D
3、.因为an=a1+(n-1)d, d0,所以an+1-an=d0,命题p1正确.nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d(n2)与0的大小和a1的取值情况有关.故数列nan不一定递增,命题p2不正确.对于p3:=+d,所以-=(n2),当d-a10,即da1时,数列递增,但da1不一定成立,则p3不正确.对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d0.所以数列an+3nd是递增数列,p4正确.综上,正确的命题为p1,p4.2.因为a1+a6=a4+a3=9.所以a3=9-a4=9-7=2.由此可得d=a4-a3=7-2
4、=5.所以a9=a4+5d=32.【解题策略】等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和,求其余几项和或者求其中某项,对于这类问题,在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质,尤其要注意利用性质“若m,n,p,kN+,且m+n=p+k,则有am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=2p时,有am+an=2ap”,从而将问题解决.【跟踪训练】(2020哈尔滨高一检测)已知为等差数列,a3=4,a5+a7=10,则a9的值为()A.4 B.5C.6D.7【解题指南】由题意利用等差数列的性质可得a9的值.【解析】选C.由等差数列的性质有:a3+a9=a5+a7=
5、10,所以4+a9=10,a9=6.类型二等差数列的应用(逻辑推理)角度1等差中项的应用【典例】在等差数列 中,若a1,a2 015为方程 x2-10x+16=0 的两根,则a2+a1 008+a2 014=()A.10B.15C.20D.40【思路导引】根据题意和根与系数的关系求出a1+a2 015,由等差数列的性质求出a2+a1 008+a2 014的值.【解析】选B.因为a1,a2 015 为方程 x2-10x+16=0 的两根,所以a1+a2 015=10,由等差数列的性质得2a1 008=10,即a1 008=5,所以a2+a1 008+a2 014=3a1 008=15.【变式探究
6、】(2020东北师大附中高一检测)设数列为等差数列,若a3+a13=40,则3a8=()A.15B.20C.3D.60【解析】选D.数列为等差数列,a3+a13=40,由等差中项定义可知a3+a13=2a8,所以2a8=40,即a8=20,则3a8=320=60.角度2等差数列的实际应用【典例】假设某市2019年新建住房400万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在哪一年新建住房的面积开始大于820万平方米?【思路导引】从“每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米”可以确定该市每年的新建住房的面积组成一个等差数列.其首项为400,公差为50.
7、【解析】设从2019年开始,该市每年新建住房的面积为an万平方米.由题意,得an是等差数列,首项a1=400,公差d=50,所以an=a1+(n-1)d=350+50n.令350+50n820,解得n.由于nN+,则n10.所以该市在2028年新建住房的面积开始大于820万平方米.【解题策略】解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤:审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;判型,即判断该数列是否为等差数列;求解,即求出该问题的数学解;还原,即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际
8、问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.【题组训练】1.(2020宁江区高一检测)在等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则a2+a8的值为()A.15B.21C.24D.18【解题指南】利用等差数列的性质,将等式全部化为a2+a8的形式,再计算.【解析】选D.因为a3+a4+a5+a6+a7=45,且a3+a7=a4+a6=2a5,则a5=9,所以a2+a8=2a5=18.2.一牧羊人赶着一群羊通过4个关口,每过一个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还1只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,则牧羊人在过第一个关口前有 只羊.【解析】记此牧羊人通过第1个关口前、通过第
9、2个关口前、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列an(n=1,2,3,4),则由题意得a2=a1+1,a3=a2+1,a4=a3+1,而a4+1=2,解得a4=2,因此得a3=2,a1=2.答案:23.有一批豆浆机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆浆机,问去哪家商场买花费较少.【解析】设某单位需购买豆浆机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价按台数n成等差数列.设该
10、数列为an.an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an440,即800-20n440,得n18.当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元.到乙商场购买,每台售价为80075%=600(元).作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n),当n10时,600n(800-20n)n,当n=10时,600n=(800-20n)n,当10n18时,(800-20n)n18时,440n0,则an= .【解析】根据已知条件=+4,即-=4.所以数列是公差为4的等差数列,则=+(n-1)4=4n-3.因为an0,所以a
11、n=.答案:4.已知数列an满足an-1+an+1=2an(n2),且a2=5,a5=13,则a8= .【解析】由an-1+an+1 =2an (n2)知,数列an是等差数列,所以a2,a5,a8成等差数列.所以a2+a8=2a5,所以a8=2a5-a2=213-5=21.答案:215.(教材二次开发:习题改编)九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升【解析】选B. 设所构成的等差数列an的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5=a1+4d=,所以第5节的容积为升.6.(1)已知an是等差数列,且a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值.(2)已知在等差数列an中,若a49=80,a59=100,求a79.【解析】(1)因为an是等差数列,所以a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8.又因为a1-a4+a8-a12+a15=2,所以a8=2,即a3+a13=2a8=22=4.(2)因为an是等差数列,可设公差为d.由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2.又因为a79=a59+20d,所以a79=100+202=140.
