1、高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第35讲 复数的概念与运算1理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法及其几何意义3会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1复数的有关概念(1)复数的概念：形如_的数叫作复数，其中_为实部，_为虚部，i 是_单位，且满足 i2_，全体复数组成的集合 C 叫作_.(2)复数的分类：满足条件(a，bR)abi 为实数_abi 为虚数_分类abi 为纯虚数_(3)复数相等的充要条件：abicdi_(a，b，c，dR)特别地，abi0_(a，bR)abiab虚数1复数集b0b0 a0，且b0ac且bd
2、ab02复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫作_轴，y 轴叫作_轴(2)复数 zabi(a，bR)与复平面上的点_及平面向量OZuuur _是一一对应关系(3)复数的模：对应复数 z 的向量OZuuur的模 r 叫作复数 zabi 的模，记作|z|或|abi|.|z|abi|_.实虚Z(a，b)(a，b)3共轭复数(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为 _，用_表示(2)代数形式：abi 与 abi 互为共轭复数(a，bR)，即 zabiz_.(3)几何意义：非零复数 z1、z2 互为共轭复数它们的对应点 Z1、Z2(或向量
3、OZ1、OZ2)关于_对称共轭复数abi 实轴4复数的运算(1)运算法则：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR).运 算运 算 法 则加减法z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i 乘 法z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i 除 法z1z2abicdi acbdc2d2 bcadc2d2 i(2)复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义若复数 z1，z2 对应向量1OZuuur，2OZuuur不共线，则复数 z1z2 是以1OZuuur、2OZuuur为两邻边的平行四边形的_所对应的复数复数减法的几何意义复数 z1z2 是以连接1OZuuur、2OZuuur的_
4、所对应的向量，并指向_所对应的复数复平面内的两点间的距离公式 d_.其中 z1，z2 是复平面内的两点 Z1 和 Z2 所对应的复数，d 为点 Z1 与 Z2的距离终点被减数z1所对应的点Z1|z1z2|1实部为2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：实部为2，虚部为 1 的复数在复平面上对应点的坐标为(2,1)，位于第二象限答案：B2(2018长春二模)已知复数 zm23mmi(mR)为纯虚数，则 m()A.0 B3 C0 或 3 D.4 解：由题意得：m23m0，m0，所以 m3.答案：B3.(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中 x
5、，y 是实数，则|xyi|()A.1B.2 C.3D2 解：因为(1i)x1yi，所以 xxi1yi.又因为 x，yR，所以 x1，yx1.所以|xyi|1i|2，故选 B.答案：B4.(2016全国卷)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A.(3,1)B.(1,3)C.(1，)D(，3)解：由题意知m30，m10，即3m1.故实数 m 的取值范围为(3,1)答案：A5(2018浙江卷)复数 21i(i 为虚数单位)的共轭复数是()A1iB1iC1iD1i解：21i2（1i）1i22（1i）21i，所以共轭复数为 1i.答案：B复数的概念复数的
6、运算复数的几何意义考点1复数的概念【例 1】(2017全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数 z 满足1zR，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2R，则 z1sup6()z2；p4：若复数 zR，则 zR.其中的真命题为Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解：设 zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于 p1，若1zR，即1abi abia2b2R，则 b0zabiaR，所以 p1 为真命题对于 p2，若 z2R，即(abi)2a22abib2R，则 ab0.当 a0，b0
7、时，zabibiR，所以 p2 为假命题对于 p3，若 z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则 a1b2a2b10.而 z1 z2，即 a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为 a1b2a2b10/a1a2，b1b2，所以 p3 为假命题对于 p4，若 zR，即 abiR，则 b0 zabiaR，所以 p4 为真命题答案：B【变式探究】1下面是关于复数 z21i的四个命题：p1：|z|2;p2：z22i；p3：z 的共轭复数为 1i;p4：z 的虚部为1.其中的真命题为()Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p4解：z21i21i
8、1i1i1i，因为|z|1212 2，所以 p1 是假命题；因为 z2(1i)22i，所以 p2 是真命题；因为 z1i，所以 p3 是假命题；因为 z 的虚部为1，所以 p4 是真命题所以其中的真命题共有 2 个：p2，p4.答案：C点评：(1)例 1 及其变式 1 全面考查了复数的概念，主要考查了复数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复数乘、除等基本运算(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为 abi 的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理 考点2复数的运算【例 2】(1)(2017全国卷)设复数 z 满足(1i)z2i，则|z|()A.12
9、B.22C.2D2(2)(2018全国卷)设 z1i1i2i，则|z|()A0 B.12C1 D.2解：(1)(方法 1)利用复数的乘法求解：设 zabi，a，bR，则(1i)(abi)2i，即(ab)(ab)i2i，所以ab0，ab2，所以a1，b1，所以 z1i，所以|z|2.(方法 2)转化为复数的除法求解：因为(1i)z2i，所以 z 2i1i2i1i1i1i21i21i.所以|z|2.(方法 3：利用一些常用结论)因为 2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得 z1i，所以|z|2.(2)因为 z1i1i2i（1i）2（1i）（1i）2i2i2 2ii，所以|z|1.答案：(1
10、)C(2)C【变式探究】2(1)(2018全国卷)12i12i()A4535i B4535iC3545i D3545i(2)(经典真题)若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A1 B0C1 D2 解：(1)12i12i（12i）2（12i）（12i）144i1（2i）234i53545i.(2)由已知得 4a(a24)i4i，所以4a0，a244，解得 a0.点评：(1)复数的四则运算的解题策略：复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化(2)几个常用结论在进行复数的运算时，掌握以下结论
11、，可提高计算速度(1i)22i；1i1ii，1i1ii.i(abi)bai.i21，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.考点3复数的几何意义【例 3】(1)(经典真题)设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则 z1z2()A5B5C4iD4i(2)已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数分别为 0,32i，24i，如图，则：AOuuur表示的复数为_；CAuur表示的复数为_；B 点对应的复数为_解：(1)z12i 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，因为 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对
12、称，所以 z2 对应的点为(2,1)，所以 z22i，所以 z1z2(2i)(2i)i245.(2)AOuuurOAuur，所以 AOuuur表示的复数为(32i)，即32i.CAuurOAuurOCuuur，所以CAuur表示的复数为(32i)(24i)52i.OBuuurOAuur ABuuurOAuurOCuuur，所以OBuuur表示的复数为(32i)(24i)16i.即 B 点对应的复数为 16i.答案：(1)A(2)32i 52i 16i【变式探究】3(1)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是()AABBCCDD(2)已知平行四边形 ABCD 中
13、，顶点 A，B 分别与复数 12i,32i 对应，向量 ACuuur对应的复数为26i，则：向量 ADuuur对应的复数为_；顶点 D 对应的复数为_.解：(1)表示 z的点与表示 z 的点关于实轴对称，所以表示 z的点为 B.(2)根据题意，画出示意图：因为 ADuuur BCuuur ACuuur ABuuur，所以 ADuuur对应的复数为(26i)(32i)(12i)42i.因为ODuuurOAuur ADuuur，所以ODuuurOAuur ADuuur，所以 D 对应的复数为(12i)(42i)3.点评：(1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义(2
14、)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则)在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同 1把复数问题转化为实数问题来解决是处理复数问题的一种重要方法，利用两复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的重要途径但要注意：在两个复数相等的充要条件中，前提条件是 a，b，c，dR，即当 a，b，c，dR 时，abicdiac，bd，若忽略条件，则不能成立因此，在解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题2复数 zabi(a，bR)与复平面内的点 Z(a，b)及向量OZuuur
15、是一一对应的但要注意：(1)复平面上虚轴含有原点；(2)ABuuur与OZuuur模相等且方向相同，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点 O 时，此时向量才与它的终点表示同一复数3复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把 i2 换成1.复数除法可类比实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解4运算的基本要求是准确、迅速、熟练、简捷、合理，也就是说，要在正确的前提下要求计算快捷为此，要熟练掌握复数的运算法则，并注意 i 的性质运用在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度(1i)22i；1i1ii，1i1ii.i(abi)bai.i21，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.点击进入WORD链接
