1、考点突破课堂总结第3课时 导数与函数的综合问题 考点突破课堂总结考点一 证明不等式【例 1】(2017九江模拟)已知函数 f(x)axbx21在点(1，f(1)处的切线方程为 xy30.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 g(x)ln x，求证：g(x)f(x)在1，)上恒成立；(3)若 0a2aa2b2.考点突破课堂总结(1)解 将 x1 代入切线方程得 y2，所以 f(1)ba112，化简得 ba4.f(x)a（x21）（axb）2x（x21）2，f(1)2a2（ba）41.联立，解得 a2，b2.所以 f(x)2x2x21.考点突破课堂总结(2)证明 由题意知要证 ln x2x2x
2、21在1，)上恒成立，即证明(x21)ln x2x2，x2ln xln x2x20 在1，)上恒成立.设 h(x)x2ln xln x2x2，则 h(x)2xln xx1x2，因为 x1，所以 2xln x0，x1x2x1x2(当且仅当 x1时等号成立)，即 h(x)0，考点突破课堂总结所以 h(x)在1，)上单调递增，h(x)h(1)0，所以 g(x)f(x)在1，)上恒成立.(3)证明 因为 0a1，由(2)知 lnba2ba2ba21，整理得ln bln aba2aa2b2，所以当 0a2aa2b2.考点突破课堂总结规律方法 证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.(1)
3、证明不等式 f(x)g(x)，可构造函数 F(x)f(x)g(x)，利用导数求 F(x)的值域，得到 F(x)f(b)，然后利用函数 f(x)的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量不等式，如本例令 xba然后再利用已知关系证明即可.考点突破课堂总结【训练 1】(2016全国卷)设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1x1ln x 1，证明当 x(0，1)时，1(c1)xcx.(1)解 依题意，f(x)的定义域为(0，).f(x)1x1，令 f(x)0，得 x1，当 0 x0，f(x)单调递增.当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减.
4、考点突破课堂总结(2)证明 由(1)知 f(x)在 x1 处取得最大值，且最大值 f(1)0.所以当 x1 时，ln xx1.故当 x(1，)时，ln xx1，ln1x1x1，因此 1x1ln x 1，设 g(x)1(c1)xcx，则 g(x)c1cxln c.令 g(x)0，解得 x0lnc1ln cln c.当 x0，g(x)单调递增；当 xx0 时，g(x)0，g(x)单调递减.由(2)知 1c1ln c c，故 0 x01.又 g(0)g(1)0，故当 0 x0.所以当 x(0，1)时，1(c1)xcx.考点突破课堂总结考点二 由不等式恒(能)成立求参数的范围【例2】已知函数f(x)a
5、xln x，x1，e.(1)若a1，求f(x)的最大值；(2)若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解(1)若 a1，则 f(x)xln x，f(x)11xx1x.x1，e，f(x)0，f(x)在1，e上为增函数，f(x)maxf(e)e1.考点突破课堂总结(2)法一 f(x)0 即 axln x0 对 x1，e恒成立，aln xx，x1，e.令 g(x)ln xx，x1，e，则 g(x)ln x1x2，x1，e，g(x)0，g(x)在1，e上递减，g(x)ming(e)1e，a1e.法二 要使 x1，e，f(x)0 恒成立，只需 x1，e时，f(x)max0，显然当 a0 时，f(x)ax
6、ln x 在1，e上递增，考点突破课堂总结f(x)maxf(e)ae10，不合题意；当 a0 时，f(x)a1xax1x，令 f(x)0，x1a，当 x0；当 x1a时，f(x)0.当1a1 时，即 a1 时，f(x)在1，e上为减函数，f(x)maxf(1)a0，a1；考点突破课堂总结当1ae 时，即1ea0 时，f(x)在1，e上为增函数，f(x)maxf(e)ae10，a1e，a1e；当 11ae 时，即1a1e时，f(x)在1，1a 上递增，在1a，e 上递减，f(x)maxf1a 1ln1a，11ae，0ln1a 1，f1a 0 时，f(x)0 恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，
7、x1 不是 f(x)的极值点.故不存在实数 a，使得 f(x)在 x1 处取得极值.考点突破课堂总结(2)由 f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax202x0，记 F(x)xln x(x0)，F(x)x1x(x0)，当 0 x1 时，F(x)1 时，F(x)0，F(x)单调递增.F(x)F(1)10，a x202x0 x0ln x0，记 G(x)x22xxln x，x1e，e，考点突破课堂总结G(x)（2x2）（xln x）（x2）（x1）（xln x）2（x1）（x2ln x2）（xln x）2.x1e，e，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x1e，1 时，G(x)0
8、，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1.aG(x)min1.故实数 a 的取值范围为1，).考点突破课堂总结考点三 函数的零点问题【例 3】(2015北京卷)设函数 f(x)x22kln x，k0.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1，e上仅有一个零点.(1)解 由 f(x)x22kln x(k0)，得 x0 且 f(x)xkxx2kx.由 f(x)0，解得 x k(负值舍去).f(x)与 f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：考点突破课堂总结x(0，k)k(k，)f(x)0f(x)k（1ln k）2所以，f(x)的单调递减区间
9、是(0，k)，单调递增区间是(k，).f(x)在 x k处取得极小值 f(k)k（1ln k）2.(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为 f(k)k（1ln k）2.考点突破课堂总结因为 f(x)存在零点，所以k（1ln k）20，从而 ke，当 ke 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且 f(e)0，所以 x e是 f(x)在区间(1，e上的唯一零点.当 ke 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且 f(1)120，f(e)ek2 0 且 c32270f(x)min0；xD，f(x)0f(x)max0f(x)max0；xD，f(x)0f(x)min0.3.函数零点问题，可从零点、方程的根、两图像交点这三个角度中选择一个合适的角度来解题.考点突破课堂总结易错防范 1.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数.2.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同.3.求函数零点个数时，若把零点个数转化成两函数图像的交点个数，则要注意，有时候图像交点不够直观，容易得到错误的答案.
