1、和平区2019-2020学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测数学学科试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A1，2，6，B2，4，CxR|1x5，则（AB）C（）A2B1，2，4C1，2，4，5DxR|1x52设aR，则“|a1|1”是“a2+3a0”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件3已知过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y25相切，且与直线axy+10垂直，则a（）AB1C2D4某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）10263549根据上表可得回归方程x的等
2、于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A54万元B55万元C56万元D57万元5设asin，blog23，c（），则（）AacbBcabCbacDcba6著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）的图象大致是（）ABCD7已知双曲线1（a0，b0）的左顶点与抛物线y22px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为（）A2B2C4D48已知函数f（x）cosx|sinx|，那么下列命题中假命题是（）Af（x）是偶函数Bf（x）在，0上恰有一个零点Cf（x）是周
3、期函数Df（x）在，0上是增函数9已知函数f（x），g（x）x22x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）2g（a）0，则实数a的取值范围为（）A1，+）B（，13，+）C1，3D（，3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上10设复数z满足（1+i）z3i，则|z| 11二项式的展开式中，常数项为 （用数字作答）12如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB3，BC5，M是AA1的中点，则三棱锥A1MBC1的体积为 13一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是 若X表示摸出黑球的个数
4、，则EX 14已知a0，b0，当（a+4b）2取得最小值为 时，a+b 15如图，在等腰ABC中，ABAC3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且1，则tanA ， 三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）sin2xcos2x（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合（2）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，f（C）0，若sinB2sinA，求a，b的值17如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知BC1，BB12，BCC190，AB侧面BB1CC1（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（
5、2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EAEB1（要求说明理由）（3）在（2）的条件下，若AB，求二面角AEB1A1的大小18（15分）已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（ab0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合（ I）求椭圆C的方程；（ II）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值（ III）ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？19已知正项等比数列an满足a12，2a2a4a3，数列bn满足bn1+2log2an（1）求数列an，bn的通项公式；（2）令cnanbn，求数列cn的前n项和Sn；（3
6、）若0，且对所有的正整数n都有22k+2成立，求k的取值范围20已知函数（1）当a0时，求函数f（x）的最小值；（2）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（3）当a0时，设函数g（x）xf（x），若存在区间，使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的最大值一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A1，2，6，B2，4，AB1，2，4，6，又CxR|1x5，（AB）C1，2，4故选：B2|a1|1，解得：0a2，a2+3a0，解得：0a3，“|a1|1”是“a2+3a0”的充分非必要条件故选：A3因为点P（2，2）满足圆（x1）2+y25
7、的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y25相切，且与直线axy+10垂直，所以切点与圆心连线与直线axy+10平行，所以直线axy+10的斜率为：a2故选：C4由题意，（1+2+4+5）3，（10+26+35+49）30回归方程x的等于9，3093+a，a3y9x+3当x6时，y96+357万元故选：D5a，b1，c，cab故选：B6根据题意，函数f（x），其定义域为x|x0，有f（x）（）f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，又由x0时，有exex，即有exex0，则有f（x）0，排除D，当x+时，f（x）+，排除C；故选：B7根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物
8、线的准线的交点坐标为（2，1），即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线y22px的准线方程为x，则p4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（2，0），即a2；点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为yx，由双曲线的性质，可得b1；则c，则焦距为2c2故选：A8对于A，函数f（x）cosx|sinx|，定义域为R，且满足f（x）cos（x）|sin（x）|cosx|sinx|f（x），f（x）为定义域R上的偶函数，A正确；对于B，x，0时，sinx0，f（x）cosx|sinx|cosx+sinxsin（x），且x，f（x）在，0上恰有一个零点是，B正确；对于C，根据正弦
9、、余弦函数的周期性知，函数f（x）是最小正周期为2的周期函数，C正确；对于D，x，0时，f（x）sin（x），且x，f（x）在，0上先减后增，D错误故选：D9g（x）x22x，设a为实数，2g（a）2a24a，aR，y2a24a，aR，当a1时，y最小值2，函数f（x），f（7）6，f（e2）2，值域为2，6存在实数m，使f（m）2g（a）0，22a24a6，即1a3，故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上10由（1+i）z3i，得z12i，|z|；故答案为：11依题意，二项式的展开式的第k+1项为：Tk+1，由80解得，k6，所以常数项为：112，故答案为
10、：11212在直三棱柱ABCA1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB3，BC5，A1C1AA1，AC2+AB2BC2，A1C1A1B1，AA1A1B1A1，A1C1平面A1MB，M是AA1的中点，3，三棱锥A1MBC1的体积：4故答案为：413恰有一个黑球的概率P由题意可得：X0，1，2P（X0），P（X1），P（X2）可得X的分布列： X 0 1 2 P EX12故答案为：14因为a0，b0，所以a+4b，当且仅当a4b时取等号，所以（a+4b）216ab，则（a+4b）28，当且仅当即a1，b时取等号，此时取得最小值8，a+b故答案为：8，15以边BC所在直线为x轴，
11、以边BC的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设A（0，b），B（a，0），C（a，0），且D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，D（，），E（，），M（ ，），N（ ，），（a，），（a，），且 1，a21，又AC3，a2+b29，联立得，a2，在ABC中，由余弦定理得，cosA因为A为等腰三角形的顶角；且cosA，sinA；tanA；sin；cosBcos（）sin；32acosB3故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本题满分为14分）解：（1）f（x）sin2xcos2xsin2xsin（2x）1，4分当2x2k，即xk（
12、kZ）时，f（x）的最小值为2，6分此时自变量x的集合为：x/xk，kZ7分（2）f（C）0，sin（2C）10，又0C，2C，可得：C，9分sinB2sinA，由正弦定理可得：b2a，又c，由余弦定理可得：（）2a2+b22abcos，可得：a2+b2ab3，13分联立解得：a1，b214分17如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）（1）直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC的法向量，又，设BC1与平面ABC所成角为，则（2）设E（1，y，0），A（0，0，z），则，EAEB1，y1，即E（1，1，0）所以E为CC1的中点（3）A（0
13、，0，），则，设平面AEB1的法向量m（x1，y1，z1），则，取m（1，1，），BEB1E，又BEA1B1BE平面A1B1E，平面A1B1E的法向量，cosm，二面角AEB1A1为4518（）点A（1，）是离心率为的椭圆C：（ab0）上的一点，解得a2，椭圆C的方程为（2分）证明：（）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，则kAD+kAB，（*）设直线BD的方程为，联立，8b2+640，解得2b2，将、式代入*式整理得0，kAD+kAB0，直线AB，AD的斜率之和为定值解：（）|BD|x1x2|，设d为点A到直线BD：的距离，当且仅当b2时取等号，
14、2，当b2时，ABD的面积最大，最大值为19（1）正项等比数列an的公比设为q，q0，a12，2a2a4a3，可得4q2q32q2，解得q2（1舍去），可得an2n；bn1+2log2an1+2log22n1+2n；（2）cnanbn（2n+1）2n，前n项和Sn32+54+78+（2n+1）2n，2Sn34+58+716+（2n+1）2n+1，两式相减可得Sn6+2（4+8+2n）（2n+1）2n+16+2（2n+1）2n+1，化简可得Sn2+（2n1）2n+1；（3）若0，且对所有的正整数n都有22k+2成立，即为22k+2的最大值，由0，可得递减，可得n1时，取得最大值，可得22k+2，
15、即为k2的最小值，可得222，当且仅当时取得最小值2，则k220（1）当a0时，f（x）xlnx（x0），这时的导数，令f（x）0，即，解得x1，令f（x）0得到x1，令f（x）0得到0x1，故函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增；故函数f（x）在x1时取到最小值，故f（x）minf（1）1；（2）当a0时，函数导数为，若a1时，f（x）0，f（x）单调递减，若a1时，当x1或时，f（x）0，当时，f（x）0，即函数f（x）在区间，（1，+）上单调递减，在区间上单调递增若0a1时，当或0x1时，f（x）0，当时，f（x）0，函数f（x）在区间（0，1），上单调递减，在区间上单
16、调递增综上，若a1时，函数f（x）的减区间为（0，+），无增区间，若a1时，函数f（x）的减区间为，（1，+），增区间为，若0a1时，函数f（x）的减区间为（0，1），增区间为（3）当a0时，设函数g（x）xf（x）x2xlnx令g（x）2xlnx1，当时，g（x）0，g（x）为增函数，g（x）为增函数，g（x）在区间上递增，g（x）在m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2，g（x）k（x+2）2在上至少有两个不同的正根，令，求导得，令，则，所以G（x）在递增，G（1）0，当，G（x）0，F（x）0，当x1，+），G（x）0，F（x）0，所以F（x）在上递减，在1，+）上递增，k的最大值为
