1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第四章函 数 应 用1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在函数的零点(1)定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)函数零点的判断：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则yf(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？提示：不一定，如yx21，在区间(2，2)上有1两个零点1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)设f(x)，由于f(1)f(1)0，所以f(x)在(1，1)
2、内有零点()提示：由于f(x)的图像在1，1上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零点的结论 (2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0. (3)若函数f(x)的图像在区间a，b上是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点()提示：反例：f(x)x(x1)(x2)，区间为(1，3)，满足条件，但f(x)在(1，3)内有0，1，2三个零点2(教材二次开发：P116练习T3)由表格中的数据可以判定函数f(x)exx2的一个零点所在的区间为(k，k1)(kN)，则k的值为()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A
3、0 B1 C2 D3【解析】选B.因为f(1)2.7230，所以k1.3函数f(x)x的零点有()A0个 B1个 C2个 D无数个【解析】选C.令f(x)0，即x0，所以x2.故f(x)的零点有2个类型一求函数的零点(数学运算、直观想象)1下列各图象表示的函数中没有零点的是()【解析】选D.选项D中，函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点2若函数f(x)x23(m1)xn的零点是1和2，则函数ylogn(mx1)的零点是_【解析】因为f(x)x23(m1)xn的零点为1和2，所以1和2是方程x23(m1)xn0的两个实数根，所以解得所以函数ylogn(mx1)的解析式为ylog2(2x1).
4、令log2(2x1)0，得x0.所以函数ylog2(2x1)的零点为0.答案：03求下列函数的零点：(1)yx1；(2)yx2x6.(3)f(x)4；(4)y(ax1)(x2)【解析】(1)令yx10，得x1，所以函数yx1的零点是1.(2)yx2x6(x3)(x2)，令(x3)(x2)0，得x2或x3，所以函数yx2x6的零点是2和3.(3)令40，得4，所以x2.所以函数f(x)的零点为2.(4)当a0时，y(x2)，令y0得x2；当a0时，令y0，得x1，x22.当2，即a时，函数的零点为2.当2，即a时，函数的零点为，2.综上所述，当a0或时，所求函数的零点为2，当a0且a时所求函数的
5、零点为，2.函数零点的求法求函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点【补偿训练】若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点【解析】由题意知f(3)0，即(3)23a0，a6，所以f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.类型二判定函数零点所在区间(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1)B(2，3)C(3，4)D(4，)【思路导
6、引】在区间(a，b)上检验f(a)f(b)是否满足函数零点存在性定理【解析】选C.因为f(x)log2x，所以f(x)为(0，)上的减函数，且f(1)60，f(2)3log2220，f(3)2log230，f(4)20，由零点存在性定理可知，包含f(x)零点的区间是(3，4).确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反1已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()A(3，4) B(2，3) C(1，2) D(0，1)【解析】选C.因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，fe220，所以f(1)f0，由零点的存
7、在性定理可知函数f(x)ex的零点所在的区间是.方法二：令f(x)ex0可得ex，在同一坐标系内画出函数g(x)ex和h(x)的图像，如图所示，由图得一个交点，因为gh(1)1，所以两函数图像交点的横坐标在内，即函数f(x)ex的零点所在的区间是.类型三判断函数零点个数(数学抽象、直观想象)角度1直接法【典例】函数f(x)的零点个数为()A3 B2 C1 D0【思路导引】分别解出每段的零点，它们就是原函数的零点【解析】选B.当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2，所以已知函数有两个零点，故选B.函数f(x)2xlg (x1)2的零点个数为()A0 B1 C2
8、D3【解析】选B.方法一：如图，在同一坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg (x1)的大致图像由图知，g(x)lg (x1)和h(x)22x的图像有且只有一个交点，即f(x)2xlg (x1)2有且只有一个零点方法二：因为f(0)10210，f(1)2lg 22lg 20，所以f(x)在(0，1)上必定存在零点又显然f(x)2xlg (x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点角度2 转化法【典例】已知函数f(x)|x22x|a.(1)当a0时，画出函数f(x)的简图，并指出f(x)的单调递减区间(2)若函数f(x)有4个零点，求a的取值范围【思路导引】画出函数y|x22x|
9、的图像分析图像与直线ya的交点个数【解析】(1)当a0时，函数f(x)|x22x|x(x2)|的图像如图所示：由函数的图像可得f(x)的减区间为(，0)，(1，2).(2)若函数f(x)有4个零点，则方程|x22x|a有4个不等实根，即函数y|x22x|的图像和直线ya有4个交点，结合(1)中函数的图像可得0a1.角度3 单调性法【典例】函数f(x)ln xx23的零点的个数是_【思路导引】利用零点存在性定理和函数单调性判断【解析】因为f(1)20，f(2)ln 210；所以f(1)f(2)0.又f(x)ln xx23的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点又f(x)
10、在(0，)上是递增的，所以零点只有1个答案：1判断函数零点个数的三种常用方法(1)直接法：用计算器或计算机计算并描点作出函数f(x)g(x)h(x)的图像，由图像、函数的单调性及零点的判断方法作出判定(2)转化法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的叠合图，利用图像判定方程根的个数(3)单调性法：利用f(a)f(b)0及函数的单调性，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数提醒：求函数f(x)g(x)h(x)的零点个数时，要注意观察函数f(x)，g(x)，h(x)的图像哪个易于画出，正确选择解题方法1若函数f(x)在定义域x|x0上是
11、偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个 B两个C至少两个 D无法判断【解析】选B.因为函数f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，所以f(x)在(0，)上的图象与x轴只有一个交点，又因为f(x)在定义域x|x0上是偶函数，所以f(x)在(，0)上的图象与x轴也只有一个交点，即f(2)0，故函数f(x)的零点共有两个2判断f(x)x2x的零点个数【解析】由f(x)0，即x2x0，得40)有且仅有3个零点，即方程a(x0)有且仅有3个不同的实数根，即函数y(x0)的图像与直线ya有且仅有3个不同的交点设g(x)(x0)，则当0x1时，g(x)0；当1x2时，
12、g(x)；当2x3时，g(x)；当3x4时，g(x)；当4x5时，g(x)；，g(x)的图像如图所示，故要使g(x)的图像与直线ya有且仅有3个交点，需满足a.故a的取值范围为.备选类型已知函数有零点、方程有根，求参数的范围(直观想象)【典例】若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.【思路导引】把函数的零点转化为图像的交点问题求解【解析】由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图像，如图所示则当0b0，a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_【解析】函数f(x)的零点个数就是函数yax与函数yxa图像的交点个数如图，由函
13、数yax和yxa的图像可知，当a1时，两个函数图像有两个交点；当0a1.答案：(1，)2(2020天津高考)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)(kR)恰有4个零点，则k的取值范围是()A(，)(2，)B(，)(0，2)C(，0)(0，2)D(，0)(2，)【解析】选D.注意到g(0)0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx2|(x0)恰有3个实根即可，令h(x)，即y|kx2|与h(x)(x0)的图象有3个不同的交点因为h(x)当k0时，此时y2，如图1，y2与h(x)有1个交点，不满足题意；当k0时，如图3，当ykx2与yx2相切时，联立方程得x2kx20，令0得k280，解得k
14、2(负值舍去)，所以k2.综上，k的取值范围为(，0)(2，).1函数y1的零点是()A(1，0)B1 C1D0【解析】选B.令10，解得x1.2二次函数yx22x3的零点和顶点坐标分别为()A3，1；(1，4) B3，1；(1，4)C3，1；(1，4) D3，1；(1，4)【解析】选C.配方：yx22x3(x1)24，得抛物线的顶点为(1，4).解方程x22x30，得x13，x21.3函数f(x)2x的零点所在的区间是()A(1，) BC D【解析】选B.f(1)211，f2220，即ff(1)0，且f(x)的图像在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.4若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()Aa1 Ca1 Da1【解析】选B.由题意知，44a1.5若f(x)xb的零点在区间(0，1)内，则b的取值范围为_【解析】因为f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0，1)内，所以所以所以1b0.答案：(1，0)关闭Word文档返回原板块
