1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。32.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质必备知识自主学习导思1.双曲线的几何性质主要有哪些？2什么叫等轴双曲线？1.双曲线的几何性质2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为.(1)椭圆中要求ab0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？提示：不是，在双曲线中，a，b没有大小关系，只需a0，b0.(2)双曲线离心率对双曲线形状有何影响？提示：以双曲线1(a0，b0)为例e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口
2、越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()(2)双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关()(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线()提示：(1).双曲线1与1(a0，b0)的形状相同，但是位置不一样(2).双曲线1的渐近线方程为yx；双曲线1的渐近线方程为yx.(3).等轴双曲线的渐近线方程都是yx.(4).等轴双曲线的离心率是.2双曲线1的顶点坐标是()A(5，0) B(5，0)或(0，3)C(4，0) D(4，0)或(0，3
3、)【解析】选A.因为双曲线的顶点在x轴上，又因为a5，所以顶点为(5，0)和(5，0).3双曲线3x2y23的渐近线方程是()Ay3x ByxCyx Dyx【解析】选C.令x20，则yx.4已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A2 B4 C6 D8【解析】选B.因为双曲线1(a0，b0)的两条渐近线为yx，因为两条渐近线互相垂直，所以21得ab，因为双曲线焦距为4，所以c2，由c2a2b2可知2a28，所以a2，所以实轴长为2a4.关键能力合作学习类型一双曲线的几何性质(逻辑推理、直观想象)1双曲线1的左顶点到其渐近线的距离为()A2 B C D
4、32已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx3已知双曲线1(a0)的一条渐近线为yx，则实数a_.【解析】1.选C.由双曲线1，得a29，b216，所以双曲线1的左顶点坐标为(3，0)，其一条渐近线方程为yx，即4x3y0.由对称性得左顶点到其渐近线的距离为d.2选C.e，又因为在双曲线中，c2a2b2，所以e21，故，所以双曲线C：1的渐近线方程为yxx.3双曲线1(a0)的一条渐近线为yx，可得，解得a1.答案：1由双曲线方程研究几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长
5、、离心率、渐近线方程(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用如过双曲线1的左焦点F1(c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|.(5)双曲线中c2a2b2，易与椭圆中a2b2c2混淆【补偿训练】1.(2020遵义高二检测)双曲线y21的焦点到渐近线的距离是()A1BCD2【解析】选A.双曲线y21的渐近线为yx，a23，b21，c2a2b2314，即c2，设一个焦点F(2，0)，渐近线方程为xy0，则焦点F到其渐近线的距离d1.2已知双曲线的方程为1，则下列关于双曲线说法正确的是()A虚轴长为4 B焦距为2C离
6、心率为 D渐近线方程为2x3y0【解析】选D.根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为1，其中b3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为1，其中a2，b3，则c，则焦距为2，则B错误；对于C，双曲线的方程为1，其中a2，b3，则c，则离心率为e，则C错误；对于D，双曲线的方程为1，其中a2，b3，则渐近线方程为2x3y0，则D正确类型二利用双曲线的几何性质求双曲线的方程(数学运算)【典例】1.已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21 Dx212渐近线方程为yx，且经过点A(2，
7、3)的双曲线的方程为_.【思路导引】1.OAF是边长为2的等边三角形求c和点A的坐标渐近线的斜率求a，b2方法一：待定系数法求解，分焦点在x轴和y轴上两种情况求解方法二：巧设参数，代入点的坐标，求解即可【解析】1.选D.不妨设点A在第一象限，由题意可知c2，点A的坐标为(1，)，所以，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21.2方法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.
8、联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.方法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0).因为点A(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.答案：1巧设双曲线方程的方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0).(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，将点(2，0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，以F
9、1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若PF1F230，则C的离心率为()A1 B C D12(2020全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_【思路导引】1.先设F1F22c，由题意知F1F2P是直角三角形，利用PF1F230，求出|PF1|，|PF2|，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得2根据双曲线的几何性质可知，ca，即可根据斜率列出等式求解即可【解析】1.选A.设F1F22c，由题意知F1F2P是直角三角形，又因为PF1F230，所以|PF1|c，|PF2|c，所以|P
10、F1|PF2|cc2a，所以e1.2依题可得，3，而，ca，即3，变形得c2a23ac3a2，化简可得，e23e20，解得e2或e1(舍去).答案：21求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求离心率2求离心率的范围技巧(1)根据条件建立a，b，c的不等式(2)通过解不等式得或的范围，求得离心率的范围1(2020合肥高二检测)如图所示，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2
11、AB是等边三角形，则离心率为()A1 BC1 D【解析】选C.连接AF1，则F1AF290，AF2B60.所以c，c，所以cc2a，所以e1.2已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，tan F1MF22，则双曲线E的离心率为()A2 B2 C D【解析】选C.不妨设M(c，y)，y0，代入双曲线方程得y，所以M，2c，tan F1MF22，b2ac0，即c2aca20，e2e0，0，所以e.【补偿训练】若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2) C(1，) D【解析】选C.c2a21，e21.因为a1，所以01，1e22，则1e.备选类
12、型双曲线的实际应用问题(数学建模)【典例】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？【思路导引】建立平面直角坐标系，表示每个点的坐标，根据条件中的数量关系得到点P在线段BC的垂直平分线上和以A，B为焦点的双曲线的右支上，求出方程并联立方程求解即可得到结果【解析】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、
13、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(3，0)，C(5，2)，因为|PB|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，又易知kBC，线段BC的中点D(4，)，所以直线PD的方程为y(x4)又|PB|PA|4，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，所以双曲线方程为1(x2)联立，得P点坐标为(8，5)，所以kPA，因此甲舰行进的方向角为北偏东30.本题考查平面直角坐标系的应用，考查直线方程和双曲线方程在实际中的应用，根据实际问题建立合适的坐标系并求得满足条件的方程是本题的关键如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处
14、有三个监测点A、B、C，且30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号每秒传播V0千米).(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？【思路导引】(1)根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；(2)AC垂直平分线与双曲线的交点
15、，即为所求点；(3)根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可【解析】(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P，因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，故V04060，故点P的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为1(x0).由题可知2a40，2c60，解得b2c2a2500，故点P的轨迹方程为1(x0).(2)因为A，C，设AC的垂直平分线方程为ykx，则k1，则AC的垂直平分线方程为yx，联立1(x0)，可得x2，故x20，y20，故观察员遇险地点坐标为，与监测中心O的距离为20(km).(3)设轨迹上一点为P，则，又因为1，可得x2y2400，代入可得20，当且
16、仅当y时，取得最小值20.故扫描半径r至少是20 km.课堂检测素养达标1已知双曲线方程为x28y232，则()A实轴长为4，虚轴长为2B实轴长为8，虚轴长为4C实轴长为2，虚轴长为4D实轴长为4，虚轴长为8【解析】选B.双曲线方程x28y232化为标准方程为1，可得a4，b2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.2下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为yx的是()Ax21 By21Cx21 Dy21【解析】选D.从选项知，焦点在y轴上的双曲线有x21与y21，而x21的渐近线方程是y2x，y21的渐近线方程是yx，可知D项正确3若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲
17、线的离心率为()A B C D【解析】选D.因为双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，所以3b4a，所以9(c2a2)16a2，所以e.4已知双曲线C：1的离心率为，O为坐标原点，过右焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N，且OMN为直角三角形，若SONM，则双曲线C的方程为()A1 B1Cy21 D1【解析】选C.由于双曲线C的离心率为e，所以，可得ab，c2b，设点M，N分别为直线yx，yx上的点，且MNON，则直线MN的方程为y，联立解得所以点N，则b，易知MON，所以tan b3b，所以SONMb2，解得b1，所以a，因此双曲线C的方程为y21.5(教材二次开发：练习改编)已知双曲线1的离心率是，则n_.【解析】当焦点在y轴上时，解得n12，当焦点在x轴上时，双曲线标准方程为1，解得n6，综上得n12，或n6.答案：6或12关闭Word文档返回原板块
