1、第五节指数与指数函数课标要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型.1.直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题2题型主要是选择题、填空题，难度中等. 知识点一 有理数指数幂1幂的有关概念(1)正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)(2)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数
2、幂没有意义2有理数指数幂的性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)知识点二 指数函数的图象与性质 (1)指数函数的图象与底数大小的比较在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大(2)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)与()n都等于a(nN*)()(2)2a2b2ab.()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则m0且a1.(4)当a1时，由am
3、an，得mn，当0a1时，由amn.2小题热身(1)化简(x0，y0)得(D)A2x2y B2xyC4x2y D2x2y(2)已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是(D)Aabc BacbCbac Dcb0，且a1)的图象经过点A，则f(1).(5)函数的定义域是(0，)解析：(1)因为x0，y0，即ab1，又c01，所以cb0，所以定义域为(0，) 考点一指数幂的运算【例1】(1)计算：80(2)6_.(2)已知xx，则的值为_【解析】(1)80(2)621(3)22213234488.(2)由已知可得xx1(xx)223，则x2x2(xx1)227，故原式.【答案】(1)8(2)方法技巧
4、指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.1计算：2x(D)A3 B2C2x D12x解析：原式2xx2xx12x.2已知a，b是方程x26x40的两根，且ab0，则.解析：由已知得，ab6，ab4，所以2.因为ab0，所以，所以.考点二指数函数的图象及应用命题方向1 图象的识别【例2】(2019浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y，ylog
5、a(x)(a0，且a1)的图象可能是()【解析】解法1：若0a1，则y是减函数，而yloga(x)是增函数且其图象过点(，0)，结合选项可知，没有符合的图象故选D.解法2：分别取a和a2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】D命题方向2 图象的应用【例3】函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_【解析】f(x)|2x2|b有两个零点，等价于有两个交点(如图)，可知0b0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、
6、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数数形结合求解.1(方向1)函数yax(a0，且a1)的图象可能是(D)解析：当a1时函数单调递增，且函数图象过点，因为011，故A，B均不正确；当0a1时，函数单调递减，且函数恒过点，因为10，且a1，bR)的图象如图所示，则ab的取值范围是(0，)解析：根据图象得a1，f0，b10.考点三指数函数的性质及应用命题方向1 比较大小与解不等式【例4】(1)下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_【解析】(1)A中，
7、函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11,00.93.10.93.1，错误(2)当a0时，原不等式化为a71，则2a3，所以3a0.当a0时，则1,0a0，且a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为_【解析】令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)22
8、14，解得a3(负值舍去)当0a1，且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N0.1的大小关系是(D)AMN BMNCMN解析：因为f(x)x2a与g(x)ax(a1，且a2)在(0，)上具有不同的单调性所以a2.因此M(a1)0.21，M0.1N.2(方向2)函数f(x)3的单调递增区间为4，)，单调递减区间为(，1解析：依题意知x25x40，解得x4或x1，令u，x(，14，)，所以当x(，1时，u是减函数，当x4，)时，u是增函数而31，所以由复合函数的单调性可知，f(x)3在区间(，1上是减函数，在区间4，)上是增函数3(方向3)已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)若不等式xxm0在x(，1上恒成立，则实数m的最大值为.解析：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)bax，得结合a0，且a1，解得所以f(x)32x.要使xxm在区间(，1上恒成立，只需保证函数yxx在区间(，1上的最小值不小于m即可因为函数yxx在区间(，1上为减函数，所以当x1时，yxx有最小值.所以只需m即可所以m的最大值为.
