1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修1-1 1-2 第三章 导数及其应用成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2导数及其应用 第三章 第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 3.1 导数第2课时 导数的几何意义第三章 第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 课前自主预习第三章 3.1 第2课时成才之路 高
2、中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 爬山过程中，我们都有这样的感觉，当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁，怎样用数学知识来反映山坡的平缓与陡峭程度呢？第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 1.yf(x)在xx0处的导数的定义：_._._.2 求 函 数 y f(x)在 点 x0 处 的 导 数 的 步 骤 为：(1)_；(2)_；(3)_上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 答案：1.一般地，函数 yf(x)在 xx0
3、 处的瞬时变化率是limx0fx0 xfx0 xlimx0fx.我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，并记作 f(x0)或 y|xx0.于是可写作：limx0fx0 xfx0 xf(x0)2(1)求函数值的增量 yf(x0 x)f(x0)(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x(3)取极限，得导数 f(x0)limx0yx第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 一 导数的几何意义1函数 yf(x)在 xx0 处的导数 yf(x0)就是曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，即 f(x0)limx0fx0 xfx0 x
4、k.这就是导数的几何意义2切线一般地，过曲线 yf(x)上一点 P(x0，y0)作曲线的割线 PQ，当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时，若割线 PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线 yf(x)在点 P 处的切线在这里，要注意：曲线 yf(x)在点 P 处的切线：第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(1)与点P的位置关系；(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解如果存在，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如果不存在，则在此点处无切线需要注意的是这里的切线与以前学过的圆的切线是不同的，曲线在某一点处的切线与曲线不一
5、定只有一个公共点如图所示第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 曲线yx33x在点(2,2)的切线斜率是()A9B6C3D1答案 A解析 y(2x)33(2x)2369x6x2x3，yx96xx2，limx0yxlimx0(96xx2)9，由导数的几何意义可知，曲线 yx33x 在点(2,2)的切线斜率是 9.第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 二 求曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程的步骤求曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程的步骤为：(1)确定点 P 的坐标(x0，f(x0)(
6、2)求出函数在点 x0 处的导数 f(x0)limx0fx0 xfx0 xk，得到曲线在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率(3)利用点斜式写出切线方程，即 yf(x0)f(x0)(xx0)第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 注意：利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，需要注意两类问题：(1)求曲线在点P处的切线方程(此时点P为切点)；(2)求曲线过点P的切线方程，此时点P不一定是切点对于过点P作曲线的切线(或求曲线yf(x)过点P(x0，f(x0)的切线)这类问题，无论点P在曲线上，还是不在曲线上，我们都要设出切点，否则极易漏解第三章
7、 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知曲线y2x24x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为_答案(3,30)解析 设 P(x0,2x204x0)，则 f(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx02x24x0 x4xx4x04，又因为 f(x0)16，所以 4x0416，所以 x03，所以 P(3,30)第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 三 利用导数的几何意义求切线方程1已知切点求切线方程已知曲线 yf(x)，求切点为 P(x0，y0)的切线方程的方法：(1)求出函数 yf(x)在
8、点 x0 处的导数 f(x0)，即切线的斜率为 f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程得到切线方程为 yy0f(x0)(xx0)第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 注意：若曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的导数存在且f(x0)0，则切线的倾斜角是锐角；若 f(x0)0，切线与x轴正向夹角为锐角；f(x0)0，切线与x轴正向夹角为钝角；f(x0)0，切线与x轴平行第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知曲线 y13x3 上一点 P2，83，求：(1)点 P 处的切线的斜率；(2
9、)点 P 处的切线方程解析(1)y13x3，ylimx0yxlimx013xx313x3x13limx03x2x3xx2x3x第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 13limx0(3x23xxx2)x2，y|x2224.点 P 处的切线的斜率等于 4.(2)在点 P 处的切线方程是 y834(x2)，即 12x3y160.第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 求切点坐标已知抛物线yx2在点P处的切线与直线y2x4平行求点P的坐标和切线方程解题提示 先设出点P(x0，y0)，在P点处的导数
10、即为切线斜率，即y|xx02，从而求出点P坐标和切线方程解析 设点 P(x0，y0)，则 y|xx0limx0 x0 x2x20 xlimx02x0 xx2x2x0.第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 又曲线在点 P 处的切线与直线 y2x4 平行，2x02，x01.又点 P(x0，y0)是曲线 yx2 上一点，y0 x201，点 P 的坐标为(1,1)曲线在点 P 处的切线方程为 y12(x1)即 2xy10.方法总结 求切点坐标应先设出切点的坐标(x0，y0)，根据这一点的切线斜率等于这一点的导数求出 x0，进而求出 y0.第三章 3
11、.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知直线y2xm与曲线yx2相切，求实数m的值及切点坐标解析 设切点为 P(x0，y0)，则 y|xx0limx0 x0 x2x20 xlimx02x0 xx2x2x0.由曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y2xm 知 2x02，x01，P(1,1)又点 P 在切线 y2xm 上，m1，m 的值为1，切点坐标为(1,1).第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 无限逼近思想曲线yx3在x00处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请
12、说明理由解题提示 求曲线在 x00 处切线是否存在即转化为求yx的值是否为常数第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解析 令 yf(x)x3，yf(0 x)f(0)x3，yxx2，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于常数 0，这说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在 x0 处的切线存在，此时切线的斜率为 0(yx无限趋近于 0)，又曲线过点(0,0)，故切线方程为 y0.第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 方法总结(1)yx3 在点(0,0)处的切线是 x 轴，符合切线定义这
13、似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切如图所示第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2(2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形：若yx(当 x 无限趋近于 0 时)的极限不存在时，可分两种情况：其一是趋近于，则切线的斜率不存在，但切线存在(为垂直于 x 轴的直线)；其二是yx既不是趋近于某一常数也不趋近于，则此时切线不存在.第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知曲线 yx3，求曲线过点 P(1,1)的切线方程误解 设 f(x)x3，则
14、 f(x)limx0 xx3x3xlimx0 3x23xx(x)23x2，f(1)3，切线方程为 y13(x1)，即 y3x2.第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 辨析 该解法仅考虑到点P(1,1)是切点，但没有注意到点P(1,1)可能不是切点正解 设切点坐标为(x0，y0)令 f(x)x3，则 f(x)limx0 xx3x3xlimx0 3x23xx(x)23x2，f(x0)3x20，切线方程为 yy03x20(xx0)，第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 将点 P(1,1)代入，得 1y03x20(1x0)又 y0 x30，联立解得x012或 x01，切点坐标为(12，18)或(1,1)所求的切线方程为 y34x14或 y3x2.第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 导数的几何意义曲线的切线的斜率利用导数的几何意义求切线的斜率，进而求切线方程第三章 3.1 第2课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 课 时 作 业（点此链接）
