19.8 一次函数全章七类必考压轴题（人教版）（教师版）.docx

1、专题 19.8一次函数全章七类必考压轴题【人教版】1（2022 秋山西吕梁八年级校考期末）已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线 l 上，且点 C 与点 B 重合，如图所示 ABC 固定不动，将 ABC在直线 l 上自左向右平移直到点 B移动到与点 C重合时停止设 ABC移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，y 与 x 之间的函数关系如图所示，则 ABC 的直角边长是（）A42 B4 C32 D3【答案】C【分析】由当与 AB 重合时，即=，此时走过的距离为 m，重叠部分面积达到最大值，为 的面积，结合题意即可求出 m 的值再根据，当与 AC 重合时，此时=+4此时走过的距离为

2、 m+4，由此可求出的长，从而可求出 BC 的长，进而即可求出结果【详解】如图，当与 AB 重合时，即点到达 B 点，此时=此时走过的距离为 m，即为的长且此时重叠部分面积达到最大值，为 的面积，大小为 1 为等腰直角三角形 =12 =1，=2，=2=2=如图，当与 AC 重合时，即点到达 C 点，此时=+4此时重叠部分面积即将变小，且走过的距离为 m+4 必考点 1 根据情景确定函数图象 此时=+4 =4 =+=4+=4+2=6，即=6 为等腰直角三角形，=22 =22 6=32 故选 C【点睛】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象解题的关键是通过函数图象得到 平移

3、过程中重合部分的形状 2（2022 秋广东汕头八年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，=60，点 P从点 A 出发，沿路线 ABCD 运动设 P 点经过的路程为 x，以点 A，D，P 为顶点的三角形的面积为 y，则下列图象能反映 y 与 x 的函数关系的是（）AB BCD【答案】B【分析】过点 B 作 于点 E，根据题意，得出=4，=30，再利用直角三角形30所对的直角边等于斜边的一半，得出=2，在利用勾股定理，得出=23，然后分三种情况：当点 P 在线段 AB 上时，即0 4时；当点 P 在 BC 上运动时，即4 8；当点 P 在线段 CD 上时，即8 12，进行

4、讨论，即可得出结论【详解】解：如图 1，过点 B 作 于点 E，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，=60，=4，=30，=2，=23，当点 P 在线段 AB 上时，即0 4时，如图 2，过点 P 作 于点 F，则=，=12，=32，=12 =12 4 32 =3，的面积随的增大而增大；当点 P 在 BC 上运动时，即4 8，=12 =12 4 23=43，的面积保持不变；当点 P 在线段 CD 上时，即8 12，如图 3，过点 P 作 交 AD 的延长线于点 H，+=，=12 ，=6 12，=3=63 32，=12 =12 4 (63 32)=123 3，的面积随的增大而减小 综上可得：当0

5、 4，随的增大而增大；当4 8时，随的增大而不变；当8 12时，随的增大而减小 故选：B【点睛】本题考查了动态问题与函数图象，涉及菱形的性质、含 30的直角三角形、勾股定理、三角形的面积等知识点，解本题的关键在根据点 P 运动的轨迹，分情况进行讨论 3（2022 春山东潍坊八年级统考期中）如图，在直角坐标系中，有一矩形，长=2，宽=1,/轴，/轴点坐标为(3,1)，该矩形边上有一动点，沿 运动一周，则点的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是()A B C D【答案】D【分析】根据则点 P 的纵坐标 y 随点 P 走过的路程 s 之间的函数关系图象可以分为 4 部分，当 P 点在

6、AB 上，当 P 点在 BC 上，当 P 点在 CD 上，点 P 在 AD 上即可得出图象【详解】矩形，长=2，宽=1,矩形边上有一动点，沿 运动一周，点 P 的纵坐标 y 随点 P 走过的路程 s 之间的函数关系图象可以分为 4 部分，P 点在 AB 上，此时纵坐标越来越大，最小值是 1，最大值为 2，P 点在 BC 上，此时纵坐标为定值 2 当 P 点在 CD 上，此时纵坐标越来越小，最大值是 2，最小值为 1，P 点在 AD 上，此时纵坐标为定值 1 故选：D【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象 4（2022 秋浙江

7、金华八年级统考期末）已知甲、乙两地相距 24 千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时 3小时，小明出发 0.5 小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩 1 小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地小明和小聪所走的路程 S（千米）与时间 t（小时）的函数图象如图所示 （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是_千米/小时（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离 S 随 t 的增大而增大时，t 的取值范围是_【答案】24 0 0.5，0.75 1，1.5 2【分析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时，则第二段路程的速度为12 千米/小时,根据题意

8、建立分式方程解方程即可求解；（2）分析题意，结合函数图象可知，从0 0.5时，两人的距离 S 随 t 的增大而增大，当第一次相遇到小聪停下，S 随 t 的增大而增大，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S 随 t 的增大而增大【详解】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时，则第二段路程的速度为12 千米/小时,根据题意得，0.5+12+1+120.5=3 解得=24，经检验，=24是原方程的解，故答案为：24 第一段路程的速度为12千米/小时（2）结合函数图象可知，从0 0.5时，两人的距离 S 随 t 的增大而增大，小明的速度为243=8千米/小时 当第一次相遇时，8=24(

9、0.5)解得=0.75 当第一次相遇到小聪停下，此时0.75 1，当第二次相遇时，8=12 解得=1.5 小聪开始骑行第二段路程时的时间为=1+0.5=1.5，当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S 随 t 的增大而增大，此时1.5 2 当 2时，因为小聪的速度大于小明的速度，则两人的距离随 t 的增大而减小，综上所述，0 0.5，0.75 1，1.5 2时，S 随 t 的增大而增大，故答案为：0 0.5，0.75 1，1.5 2【点睛】本题考查了分式方程的应用，函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键 5（2022 秋重庆酉阳八年级统考期末）为参加“重庆长江三峡国际马拉松”比赛，甲乙两

10、运动员相约晨练跑步甲比乙早1分钟跑步出门，3分钟后他们相遇两人寒暄2分钟后，决定进行同向跑步练习，练习时甲的速度是180米/分，乙的速度是240米/分练习5分钟后，乙突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到与甲再次相遇如图是甲、乙之间的距离（千米）与甲跑步所用时间（分钟）之间的函数图象问甲从他家出发到他们再次相遇时，一共用了_分钟 【答案】11【分析】由图象可以看出，0-1min 内，甲的速度可由距离减小量除以时间求得，1-3min 内，根据等量关系“距离减小量=甲跑过的路程+乙跑过的路程”可得出乙的速度；由于甲的速度始终是 180 米/分，乙的速度开始是240 米/分，则他们的速度

11、之差是 60 米/分，则 5 分钟相差 400 米，设再经过 t 分钟两人相遇，利用相遇问题得到 180t+120t=400，然后求出 t 后加上前面的 10 分钟可得到小刚从家出发到他们再次相遇的时间总和【详解】甲出门时的速度 v1=（540-440）=100（米/分），设乙出门时的速度为 v2（米/分），根据题意得 2（v1+v2）=440，解得 v2=120 米/分，甲的速度始终是 180 米/分，乙的速度开始为 240 米/分，他们的速度之差是 60 米/分，5 分钟相差 300 米，设再经过 t 分钟两人相遇，则 180t+120t=300，解得 t=1（分）所以甲从家出发到他们再次

12、相遇时 5+5+1=11（分）故答案为：11【点睛】本题考查了一次函数的应用：会利用一次函数图象解决行程问题的数量关系，相遇问题，追击问题的综合应用；解答时灵活运用行程问题的数量关系解答是关键 6（2022 春山东青岛八年级统考期末）图长方形 ABCD，AB20cm，BC16cm，点 P 从点 A 出发，沿 ACD 的路线以每秒 2cm 的速度匀速运动，到达点 D 时停止运动图是点 P 出发 x 秒时，的面积(cm2)与时间()的关系图象 (1)根据题目提供的信息，求出 a，b，c 的值；(2)写出点 P 距离点 D 的路程 y（cm）与时间 x（s）的关系式：(3)点 P 出发几秒时，APD

13、 的面积是长方形 ABCD 面积的15？【答案】(1)a=160；b=18；c=28(2)y=42+256(0 10)42 144+1696(10 18)2+56(18 28)(3)4 秒或 24 秒 【分析】（1）根据 DAB 的面积求出 a 的值；再根据时间=路程速度求出 b 的值，再根据 c=10+b 求出 c的值；（2）分 0 x10，10 x18，18x28 三种情况，分段写出 y 与 x 的关系式即可；（3）先求出矩形面积，再根据 APD 的面积是长方形 ABCD 面积的15，求出 x 的值即可（1）解：由图知，当 x=10 时，AP=102=20（cm），此时点 P 与点 B 重

14、合，SDAP=SDAB=12ABAD=122016=160（cm2），a=160；当点 P 在 BC 边上运动时，ADP 的面积为定值 160 不变，BC=AD=16cm，b=10+162=18；CD=AB，点 P 在 CD 上运动的时间与在 AB 上运动时间相同，c=10+8+10=28；（2）当 0 x10 时，如图甲所示：由勾股定理可得：DP=2+2，y=162+(2)2=42+256；当 10 x18 时，如图乙所示：由勾股定理可得：DP=2+2，y=202+(36 2)2=42 144+1696；当 18x28 时，点 P 在 CD 上运动，此时 DP=AB+BC+CD-（AB+BC

15、+CP）=CD-CP，y=20-2（x-18）=-2x+56 综上所述，点 P 距离点 D 的路程 y（cm）与时间 x（s）的关系式为：y=42+256(0 10)42 144+1696(10 18)2+56(18 28)；图甲图乙（3）AD=16cm，AB=20cm，矩形 ABCD 的面积为 2016=320（cm2），当 APD 的面积是长方形 ABCD 面积的15时，SAPD=15S 矩形 ABCD=15320=64（cm2），当 0 x10 时，SAPD=12ADAP=12162x=64，解得：x=4，根据矩形的性质和点 P 的运动过程可知，当 x=28-4=24 时，APD 的面积

16、是长方形 ABCD 面积的15，点 P 出发 4 秒或 24 秒时，APD 的面积是长方形 ABCD 面积的15【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 1（2022 秋广东佛山八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线=+1分别交轴，轴于点A、另一条直线与直线交于点(,6)，与轴交于点(3,0)，点是直线上一点（不与点重合）(1)求的值(2)当 的面积为 18 时，求点的坐标(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当=90时，求 的面积【答案】(1)=5(2)点

17、坐标为(2,3)或(8,15)必考点 2 三角形的面积与一次函数 (3)=254 【分析】（1）将点(,6)代入=+1即可求出 a 的值；（2）先根据待定系数法求出的解析式，然后设(,3 9)，求出(1,0)，(0,1)，得出=3 (1)=4，求出=12 4 6=12，分 3，3 6三种情况讨论，得出答案即可；（3）过作 ，设(,3 9)，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，求出 m 的值，得出=52，=5，根据三角形面积公式，求出结果即可【详解】（1）解：将(,6)代入=+1，6=+1，=5（2）解：设直线解析式为=+，将(5,6)、(3,0)代入得：6=5+0=3+，解得：=3=9，直

18、线:=3 9，设(,3 9)，把=0代入=+1得：+1=0，解得：=1，把=0代入=+1得：=1，(1,0)，(0,1)，=3 (1)=4，=12 4 6=12，如图 1，3时，=+，18=12+12 4 (3 9)，解得：=2，(2,3)，3 6时，=，18=12 4 (3 9)12，解得：=8 (8,15)综上，点坐标为(2,3)或(8,15)（3）解：如图 3，过作 ，设(,3 9)，(1,0)，(0,1)，=1，=45，=45，=90，=45，=，=，=45，=，=1，=(3 9)=9 3，=1+(9 3)，解：=52，=52，=5，=12 5 52=254 【点睛】本题主要考查了求一

19、次函数关系式，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，解题的关键是作出图形，注意分类讨论 2（2022 秋陕西榆林八年级统考期末）如图，已知直线 AB 经过点(1,2)，且与 x 轴交于点(2,0)，与 y轴交于点 B，作直线 AB 关于 y 轴对称的直线 BC 交 x 轴于点 C，点 P 为 OC 的中点 (1)求直线 AB 的函数表达式和点 B 的坐标；(2)若经过点 P 的直线 l 将 的面积分为1:3的两部分，求所有符合条件的直线 l 的函数表达式【答案】(1)=2 4点 B 的坐标为(0,4)(2)=4 4或=47 47 【分析】（1）设直线 AB 的函数表达式为=+(0

20、)将点(1,2)，(2,0)代入列出方程组求解即可；（2）分两种情况讨论：当直线 l 经过点 B 时，当直线 l 与 AB 的交点 D 在第四象限时，分别进行讨论，求出直线 l 的函数表达式【详解】（1）设直线 AB 的函数表达式为=+(0)直线 AB 经过点(1,2)，(2,0)，+=22+=0，解得 =2=4，直线 AB 的函数表达式为=2 4 将=0代入=2 4中，得=4，点 B 的坐标为(0,4)（2）当直线 l 经过点 B 时，如图 1 直线 AB 和直线 BC 关于 y 轴对称，且点 A、C 都在 x 轴上，=2，即(2,0)P 为 OC 的中点，(1,0)，=3，:=1:3 设此

21、时直线 l 的函数表达式为=1+1(1 0)将点(1,0)、(0,4)代入，得 1+1=01=4，解得1=41=4，此时直线 l 的函数表达式为=4 4；当直线 l 与 AB 的交点 D 在第四象限时，如图 2 易得=12 =12 4 4=8 直线 l 将 的面积分为1:3的两部分，=14 =2，即12|=2，12 3|=2，解得|=43，=43 将=43代入=2 4，得=43，点 D 的坐标为(43,43)设此时直线 l 的函数表达式为=2+2(2 0)将点(43,43)、(1,0)代入，得 2+2=043 2+2=43，解得2=472=47，此时直线 l 的函数表达式为=47 47 综上所

22、述，所有符合条件的直线 l 的函数表达式为=4 4或=47 47【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键 3（2022 秋河北邯郸八年级统考期末）如图，Rt ，=90，=，已知点和点的坐标分别为(0,2)和(1,0)，过点、的直线关系式为=+.(1)点的坐标为：_(2)求直线的函数关系式(3)在轴上有一个点，已知直线把的面积分为1:2两部分，请直接写出点的坐标(4)在线段上是否存在点，使 的面积为 4?若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由(5)直线=+与 有公共点，直接写出的取值范围【答案】(1)(3,1)(

23、2)=13 +2(3)(4,0)或(2,0)(4)存在，(245，25)(5)2 2 【分析】（1）作 轴于点 H利用“一线三等角”模型证明，推出=，=，再根据(0,2)，(1,0)即可求解；（2）将(0,2)，(3,1)代入=+，利用待定系数法求解；（3）直线把分成等高的两个三角形，两者的面积比等于底长的比，先求出 N 点的坐标，再分=2和=2两种情况讨论，即可求解；（4）设(，13 +2)，根据=列出等式即可求解；（5）分别计算直线=+经过(0,2)，(3,1)时的 b 值，结合图象即可得出的取值范围【详解】（1）解：如图，作 轴于点 H =90，=90，+=90，+=90，=在和中，=9

24、0=，(AAS)，=，=，(0,2)，(1,0)，=1，=+=+=2+1=3，点的坐标为(3,1)；（2）解：设直线的函数关系式为=+，将(0,2)，(3,1)代入，得：=23+=1，解得：=2=13，直线的函数关系式为=13 +2；（3）解：直线的函数关系式为=13 +2，当=0时，13 +2=0，解得=6，(6,0)，=6 由题意知，直线把分成等高的两个三角形，两者的面积比等于底长的比 分两种情况：当=2时，=2，=22+1 =23 6=4，(4,0)；当=2时，=2，=12+1 =13 6=2，(2,0)，点的坐标为(4,0)或(2,0)；（4）解：点 P 所在直线的函数关系式为=13

25、+2，设(，13 +2)，=，=12 12()12 ，即12 2 6 12 (6 1)(13 +2)12 2 1=4，解得=245，=13 (245)+2=25，(245，25)，故存在点使 的面积为 4，点的坐标是(245，25)；（5）解：当直线=+经过(0,2)时，将(0,2)代入=+，可得=2；当直线=+经过(3,1)时，将(3,1)代入=+，可得3+=1，解得=2；结合下图可知，直线=+与 有公共点时，的取值范围为2 2 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查利用待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，在坐标系中求三

26、角形的面积，解题的关键是求出点 B 的坐标，以及熟练应用数形结合的思想 4（2022 春福建福州八年级校考期末）在平面直角坐标系中，点(1，)，(1，)，原点关于直线的对称点为 A，直线，交于点(1)填空：点 A 的坐标是_；当=1，=2时，点的坐标为_；(2)连接，若=2，的面积为12，求的值；(3)过点作的垂线，垂足为，连接，若=1(1)，求证：=【答案】(1)（2，0）；（4，4）；(2)2(3)见解析 【分析】（1）根据对称性可得点的坐标；根据待定系数法可求得和的解析式，联立方程可得点的坐标；（2）由(1)知：点的横坐标为=2+，根据=2，可得=4，由已知 的面积为12，列等式可得的长

27、，从而得结论；（3）先表示和的坐标，分两种情况：当 0(1)时，如图2，当 0(1)时，如图2，=1，0，2+0，=2+(1)=+，=12+(2+)2=2+2+2+4(+)2=()2(+)2=+，=；当 0，0，+0，同理得：=2+(1)=+，=12+(2+)2=2+2+2+4(+)2=()2(+)2=+，=【点睛】本题是三角形的综合题，考查轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，两点的距离等知识，解题的关键是会用参数表示点的坐标，线段的长，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 5（2022 秋浙江金华八年级统考期末）如图 1，已知长方形 OABC

28、的顶点 O 在坐标原点，A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，顶点 B（8，6），直线 yx+b 经过点 A 交 BC 于 D、交 y 轴于点 M，点 P 是 AD 的中点，直线 OP 交 AB 于点 E (1)求点 D 的坐标及直线 OP 的解析式；(2)点 N 是直线 AD 上的一动点（不与 A 重合），设点 N 的横坐标为 a，请写出AEN 的面积 S 和 a 之间的函数关系式，并请求出 a 为何值时 S12；(3)在 x 轴上有一点 T（t，0）（5t8），过点 T 作 x 轴的垂线，分别交直线 OE、AD 于点 F、G，在线段AE 上是否存在一点 Q，使得FGQ 为等腰直角三角形，若

29、存在，请写出点 Q 的坐标及相应的 t 的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)点 D 的坐标为（2，6），直线 OP 的解析式为 y=35x；(2)S=125 +965(8)；a=3 或 a=13；(3)在线段 AE 上存在一点 Q，使得FGQ 为等腰直角三角形，当 t=8013时点 Q 的坐标为（8，2413）或（8，4813），当 t=203 时点 Q 的坐标为（8，83）【分析】（1）根据长方形的性质可得出点 A 的坐标，利用待定系数法可求出直线 AD 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 D 的坐标，再由点 P 是 AD 的中点可得出点 P 的坐标，进而可得出正比例函数

30、OP 的解析式；（2）由直线 OP 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 E 的坐标，设点 N 的坐标为（a，-a+8），由AEN 的面积公式，可得出 S 和 a 之间的函数关系式，代入数值即可得出结论；（3）由点 T 的坐标可得出点 F，G 的坐标，分FGQ=90、GFQ=90及FQG=90三种情况考虑：当FGQ=90时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于 t 的一元一次方程，解之可得出 t 值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点 Q 的坐标；当GFQ=90时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于 t 的一元一次方程，解之可得出 t 值，再利用等腰直角三角形的性质可得出

31、点 Q 的坐标；当FQG=90时，过点 Q 作 QSFG 于点 S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于 t 的一元一次方程，解之可得出 t 值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点 Q 的坐标综上，此题得解【详解】（1）解：四边形 OABC 为长方形，点 B 的坐标为（8，6），点 A 的坐标为（8，0），BCx 轴 直线 y=-x+b 经过点 A，0=-8+b，b=8，直线 AD 的解析式为 y=-x+8 当 y=6 时，有-x+8=6，解得：x=2，点 D 的坐标为（2，6）点 P 是 AD 的中点，点 P 的坐标为（2+82，6+02），即（5，3），设直线 OP 的解析式

32、为 y=kx，3=5k，解得 k=35，直线 OP 的解析式为 y=35x；（2）解：当 x=8 时，y=35x=245，点 E 的坐标为（8，245）设点 N 的坐标为（a，-a+8）S=12245|8-a|=125|8-a|，当 a8 时，S=125|8-a|=125 965；S=125 +965(8)；当 S=12 时，125|8-a|=12，解得：a=3 或 a=13；（3）解：点 T 的坐标为（t，0）（5t8），点 F 的坐标为（t，35t），点 G 的坐标为（t，-t+8）分三种情况考虑：当FGQ=90时，如图 1 所示 FGQ 为等腰直角三角形，FG=GQ，即35t-（-t+8

33、）=8-t，解得：t=8013，此时点 Q 的坐标为（8，2413）；当GFQ=90时，如图 2 所示 FGQ 为等腰直角三角形，FG=FQ，即35t-（-t+8）=8-t，解得：t=8013，此时点 Q 的坐标为（8，4813）；当FQG=90时，过点 Q 作 QSFG 于点 S，如图 3 所示 FGQ 为等腰直角三角形，FG=2QS，即35t-（-t+8）=2（8-t），解得：t=203，此时点 F 的坐标为（203，4），点 G 的坐标为（203，43），此时点 Q 的坐标为（8，4+432），即（8，83）综上所述：在线段 AE 上存在一点 Q，使得FGQ 为等腰直角三角形，当 t=8

34、013时点 Q 的坐标为（8，2413）或（8，4813），当 t=203 时点 Q 的坐标为（8，83）【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式求解；（3）分FGQ=90、GFQ=90及FQG=90三种情况求出 t 值 6（2022 春新疆省直辖县级单位八年级校联考期末）如图1，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点 (1)求证：=(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连、，与交于点

35、，若正方形的边长为4，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积(3)在的（2）条件下，若=4，求四边形的面积【答案】(1)见解析(2)16(3)887 【分析】（1）在上取点，使=，连接，则 是等腰直角三角形，再利用证明 ，得=；（2）连接，根据，得=，则四边形的面积为正方形的面积；（3）作 于，由=4，可得=2，再利用证明 ，得=2，可知（2，0），利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点的坐标，从而解决问题【详解】（1）证明：在上取点，使=，连接，则=，平分，=45，=135，=90，+=90，+=90，=，=，=45，=135，=，（），=；（2）解：四边形的

36、面积不变，为16，连接，=，=，四边形的面积为正方形的面积，四边形的面积为16；（3）解：作 于，=4，12 4 =4，=2，由（1）得，=，=，=，（），=2，（2，0），设直线的解析式为=+，=42+=0，=2=4，直线的解析式为=2+4，同理得，直线的解析式为=13，当2+4=13 时，=127，=47，=12 4 127=247，四边形=四边形 =16 247=887 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求直线解析式等知识，求出点的坐标是解决问题（3）的关键 7（2022 春山东济宁八年级统考期末）将直角坐标系中一

37、次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）如图，一次函数 y=kx-7 的图像与 x、y 轴分别交于点A、B，那么 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线 AB 的坐标三角形）(1)如果点 C 在 x 轴上，将 沿着直线 AB 翻折，使点 C 落在点(0,18)上，求直线 BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数 y=kx-7 的坐标三角形的周长是 21，求 k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点 E 的坐标是(0,8)，直线 AB 上有一点 P，使得 周长最小，求此时 PBC的面积【答案】(1)84；(2)=43；(3)112 【分析】（1）

38、先求出点 B 坐标，继而可得 OB，由翻折性质可得：BC=BD=25，根据勾股定理可得 OC 的长，根据三角形面积公式即可求解；（2）设 OA=x，AB=14x，在 RtAOB 中，由勾股定理可得 OA 的长，从而得到点 A 坐标，将点 A（214，0）代入 y=kx7 可得 k 的值；（3）连接 CE 交 AB 于点 P，由轴对称的性质可得当点 P、C、E 在一条直线上时，DPE 的周长最小，将直线 AB 和直线 CE 的解析式联立可得点 P，继而利用分割法求出 的面积【详解】（1）将=0代入=7，得：=7，点 B（0，-7），=7，又点 D（0，18），即=18，=+=7+18=25，由翻

39、折的性质可得：=25，在 Rt BOC 中，由勾股定理可得：=2 2=252 72=24，直线 BC 的坐标三角形的面积为：12 =12 24 7=84；（2）设=，=14 ，在Rt 中，由勾股定理可得：2=2+2，即(14 )2=2+72，解得：=214，点 A（214，0），将点 A（214，0）代入=7，得：214 7=0，=43；（3）如图，连接 CE 交 AB 于点 P，点 C 与点 D 关于直线 AB 对称，=，+=+，当点 P、C、E 在一条直线上时，+有最小值，又DE 的长度不变，当点 P、C、E 在一条直线上时，DPE 的周长最小，设直线 CE 的解析式=+，将点 C（-24

40、，0）、E（0，8）代入上式，得：0=24+8=，解得：=13=8，直线 CE 的解析式=13 +8，联立=13 +8=43 7，解得：=9=5，点 P（-9，5），=12 15 24 12 15 9=112【点睛】本题考查一次函数的综合运用，涉及到翻折的性质、勾股定理、待定系数法求解析式、方程组与交点坐标、轴对称路径最短等知识点，解题的关键是求得各直线解析式，明确当点 P、C、E 在一条直线上时，DPE 的周长最小 1（2022 秋江苏镇江八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，x 轴上一点(4，0)，过点 A 作直线 轴，交正比例函数=34 的图象于点 B点 M 从点 O 出发，以每秒 1

41、 个单位长度的速度沿射线运动，设其运动时间为 t（秒），过点 M 作 交直线于点 N，当 时，=_秒（写出所有可能的结果）【答案】2 或 8【分析】分当点 M 在线段上时，当点 M 在延长线上时，两种情况利用全等三角形的性质求出的长即可得到答案【详解】解：如图 1 所示，当点 M 在线段上时，(4，0)，点 B 的横坐标为 4，必考点 3 一次函数与全等三角形 当=4时，=34 =3，(4，3)，=4，=3，=2+2=5，=3，=2，=2；如图 2 所示，当点 M 在延长线上时，=3，=+=8，=8；综上所述，当=2或=8时 ，故答案为：2 或 8 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾

42、股定理，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键 2（2022 秋四川成都八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线=上一点(1,1)，连接，以为边做等腰直角三角形，=，过点作线段 轴，直线与直线=交于点，且=2，直线与直线=交于点，则点的坐标是_ 【答案】(97,94)【分析】过作 轴，交轴于，交于，过作 轴，交轴于，=90，求出=，证 ，推出=，=，设=，求出=2 1，得出2 1=1，求出=1，得出的坐标，由两点坐标公式求出=5，在RtMCP中，由勾股定理求出=2，得出的坐标，设直线的解析式是=+3，把(3,2)代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程

43、组的解即可【详解】解：过作 轴，交轴于，交于，过作 轴，交轴于，=90，+=90，+=90，=，(1,1)，=1，=1，在和中，=()，=，=，=2，设=，=2，(1,1)，=2 1，则2 1=1，=1，即=2 直线=，=3，点(3,2)=(3 1)2+(2 1)2=1+4=5，在RtMCP中，由勾股定理得：=2 2=5 1=2，则的坐标是(0,3)，设直线的解析式是=+3，把(3,2)代入得：=13，即直线的解析式是=13 +3，组成方程组=13 +3=解得：=94=94 点(94，94)，故答案为：(94，94)【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角

44、形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度 3（2022 秋山东青岛八年级校考期末）【模型建立】如图，已知直角 ABC 中，ACB=90，AC=CB，过点 C 任作一条直线 l（不与 CA、CB 重合），过点 A 作ADl 于 D，过点 B 作 BEl 于 E，易证 ACDCBE，进一步得到全等三角形的对应线段和对应角分别相等，这一证明在平面直角坐标系中也被广泛使用 【模型应用】(1)如图 1，若一次函数 y=-x+6 的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点若点 B 到经过原点的直线 l 的距

45、离BE 的长为 4，求点 A 到直线 l 的距离 AD 的长；(2)如图 2，已知直线 y=43x+4 与 y 轴交于 B 点，与 x 轴交于 A 点，过点 A 作 ACAB 于 A，截取 AC=AB，过B、C 作直线，求直线 BC 的解析式；【模型拓展】(3)如图 3，平面直角坐标系中，在 ACB 中，ACB=90，AC=BC，AB 于 y 轴交于点 D，点 C 的坐标为（0，-4），A 点的坐标为（8，0），求 B、D 两点的坐标【答案】(1)25(2)y=17x+4(3)B（-4，4），D（0，83）【分析】（1）利用勾股定理求出 OE=25，再利用全等三角形的性质即可得出答案；（2）过

46、 C 作 CDx 轴于点 D，由直线解析式可求得 A、B 的坐标，利用模型结论可得 CD=AO，AD=BO，从而可求得 C 点坐标，利用待定系数法可求得直线 BC 的解析式；（3）过点 B 作 BEy 轴于 E证明CEBAOC（AAS）推出 BE=OC=4，CE=AO=8，可得 B（-4，4），求出直线 AB 的解析式，即可解决问题【小题 1】解：一次函数 y=-x+6 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 A（6，0），B（0，6），OA=OB=6，BE=4，OE=62 42=25，BEO=ADO=AOB=90，BOE+AOD=90，BOE+OBE=90，AOD=OBE，OB=OA

47、，BEOODA（AAS），OE=AD，AD=25；【小题 2】如图，过 C 作 CDx 轴于点 D，直线=43 +4与 y 轴交于 B 点，与 x 轴交于 A 点，令 y=0 可求得 x=-3，令 x=0 可求得 y=4，OA=3，OB=4，同（1）可得CDAAOB，CD=AO=3，AD=BO=4，OD=4+3=7，C（-7，3），且 B（0，4），设直线 BC 的解析式为 y=kx+4，把 C 点坐标代入可得 3=-7k+4，解得 k=17，直线 BC 的解析式为 y=17x+4；【小题 3】如图，过点 B 作 BEy 轴于 E 点 C 的坐标为（0，-4），A 点的坐标为（8，0），OC=

48、4，OA=8，BEC=AOC=ACB=90，BCE+ACO=90，BCE+CBE=90，ACO=CBE，CB=CA，CEBAOC（AAS），BE=OC=4，CE=AO=8，OE=4，B（-4，4），设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，4+=48+=0，解得：=13=83，D（0，83）【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法解析式，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形解题是关键 4（2022 秋江苏常州八年级统考期末）【操作思考】如图 1 所示的网格中，建立平面直角坐标系先画出正比例函数=的图像，再画出 关于正比例函数=的图像对称的 【猜想验证】猜想：点(,)关于正比

49、例函数=的图像对称的点 Q 的坐标为_；验证点(,)在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）证明：如图 2，点(,)、Q 关于正比例函数=的图像对称，轴，垂足为 H【应用拓展】在 中，点 A 坐标为(3,3)，点 B 坐标为(2,1)，点 C 在射线上，且平分，则点 C 的坐标为_ 【答案】操作思考：见解析；猜想验证：(,)；见解析；应用拓展：(1,12)【分析】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象 猜想验证：作 ，点 P、Q 关于函数=的图像对称，可证明得到 ，从而得到=，=，进而可得到点坐标；应用拓展：在 中，平分，构造全等三角形，可得点在关于的对称线上，又因为点C 在

50、射线上，所以点为直线和直线的交点坐标求出直线和直线的解析式，即可得到答案【详解】操作思考：猜想验证：猜想点(,)关于正比例函数=的图像对称的点 Q 的坐标为(,)证明：作 轴，垂足为 I，连接 点 P、Q 关于函数=的图像对称，=，=，=45，=，即=在 和 中，=，=，=，(,)应用拓展：如图 3，过作 交延长线于，交直线于 (3,3)直线为=的图象 平分 =90，=(ASA)=、关于直线=对称(2,1)，(1,2)设直线为=+3+=3+=2 =54，=34 直线为=54 34 又直线为=12 54 34=12 =1 =12 =12 (1,12)故答案为：(1,12)【点睛】本题考查了图形在

51、平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键 5（2022 秋山东济南八年级统考期末）如图，直线=+经过点(754,0)，点(0,25)，与直线=34 交于点 C，点 D 为直线 AB 上一动点，过 D 点作 x 轴的垂线交直线 OC 于点 E (1)求直线 AB 的表达式和点 C 的坐标；(2)当=23 时，求 的面积；(3)连接，当 沿着折叠，使得点 A 的对应点1落在直线上，直接写出此时点 D 的坐标【答案】(1)直线 AB 的解析式为=43 +25，点 C 的坐标为(12,9)(2)752 (3)(1

52、5，5)或(15，45)【分析】（1）利用待定系数法法求得 k 和 b，联立方程组求解即可求得直线 AB 的表达式和点 C 的坐标；（2）设 D 点横坐标为 m，结合=23 求出，即可得关于 m 的方程，求出 m 即可求解；（3）分点 A 落在射线 CO 上的 A1和点 A 落在射线 OC 上的 A2时两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可【详解】（1）直线=+经过点(754,0)，点(0,25)，754 +=0=25，解得=43=25，直线的解析式为=43 +25，解方程组=43 +25=34 得：=12=9，点 C 的坐标为(12,9)；（2）(754,0)，=754，设 D 点

53、横坐标为 m，则点 D 坐标为(,43 +25)，平行于 y 轴，点 E 坐标为(,34)，=|43 +25 34|=|2512 +25|，=23 =252，|2512 +25|=252，解得=6或=18，当=6时，的面积为12 252 (12 6)=752；当=18，的面积为12 252 (18 12)=752；综上所述：的面积为752；（3）过点 C 作 于点 G，点 C 的坐标为(12，9)，=12，=9，=754，=754 12=274，2=2+2=225，2=2+2=202516，2+2=562516，2=562516，2+2=2，=90，即 ，当 沿着折叠，且点 A 落在射线上的

54、A1时，设1交 x 轴于点 H，如图：根据折叠的性质，=1，=1，又=1，1，1=90，=225=15，1 轴，当=15时，=43 (15)+25=45，点 D 的坐标为(15,45)；当 沿着折叠，且点 A 落在射线 OC 上的 A2时，延长2交 x 轴于点 I，如图：根据折叠的性质，=2，=2，又=2，2，2=90，=15，2 轴，当=15时，=43 15+25=5，点 D 的坐标为(15,5)；综上所述：点 D 的坐标为(15,5)或(15,45)【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理及其逆定理等，注意分类求解，

55、避免遗漏 6（2022 秋江苏镇江八年级统考期末）如图 1，平面直角坐标系中，一次函数=+(0)的图像经过点(4，6)，分别与 x 轴、y 轴相交于点 A、B，=(0，3)为 y 轴上一点，P 为线段上的一个动点 (1)求直线的函数表达式；(2)连接，若 的面积为 面积的15，则点 P 的坐标为_；若射线平分，求点 P 的坐标；(3)如图 2，若点 C 关于直线的对称点为，当恰好落在 x 轴上时，点 P 的坐标为_（直接写出所有答案）【答案】(1)=3+6(2)(165，185)；(187，127)(3)(3，3)【分析】（1）作 轴，证 ()，得=，(0，6)，由点 B、C 即可求解（2）过

56、点 P 作 轴，由点 B、C、D 可得，由=15 得=12 =725，即可求=165，从而得点 P 坐标作 ，证 (AAS)得=，由=12 +12 =18，=32+42=5，得点 P 坐标（3）延长至点 H，由折叠的性质可知，=，=，由=5，=3得(4，0)，进而得点 P 坐标【详解】（1）作 轴，=，在 和 中，=，(AAS)，=，(4,6)，(0，6)，将 B、C 分别代入=+(0)得，6=0+6=4+解得，=3=6，直线的函数表达式=3+6（2）过点 P 作 轴，由点 B、C、D 可知=12 4 (6+3)=18，=15，=45 =12 =725，由点 B、D 可得=9，=165，=3

57、165+6=185，(165,185)作 ，=，平分，=，在 和 中，=，(AAS)，=，=12 +12 =18，=32+42=5，=187，(187,127)（3）延长至点 H，由折叠的性质可知，=，=5，=3，=4，(4,0)，(4,3)，点 P 的纵坐标值为3，3=3+6，=3(3,3)【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用、三角形的全等证明、勾股定理、角平分线的性质，掌握相关知识，根据题意正确画出辅助线是解题的关键 7（2022 秋浙江绍兴八年级统考期末）已知，在平面直角坐标系中，直线1:=34 +3交 x 轴于点 A，B 两点，直线2:=+交 x 轴于点 C，D 两点，已知点 C 为

58、(2，0)，D 为(0，6)(1)求直线2的解析式(2)设1与2交于点 E，试判断 的形状，并说明理由(3)点 P，Q 在 的边上，且满足 与 全等（点 Q 异于点 C），直接写出点 Q 的坐标【答案】(1)=3+6(2)为等腰三角形，理由见解析(3)点在坐标为(85,65)，(45,125)，(2,0),(45,185)【分析】（1）把(2,0),(0,6)代入2:=+得到关于,的二元一次方程组，求出,的值即可；（2）联立方程组 =34 +3=3+6，得到点 E 的坐标为(45,185)，由=34 +3求出点 A 的坐标(4,0),，分别求出2=36，2=36，2=725，从而可判断出 为等

59、腰三角形；（3）分,在上；在.上，在上；在上，Q在上；在上，与点重合四种情况结合图形求解即可【详解】（1）解：把(2,0),(0,6)代入2:=+得 2+=0=6，解得，=3=6，直线2的解析式为=3+6；（2）联立1,2得：=34 +3=3+6，解得，=45=185，点的坐标为(45,185)，对于直线=34 +3，当=0时，34 +3=0，=4，(4,0)又(2,0)，=2 (4)=6，即2=36，2=(45+4)2+(185)2=36,2=(2 45)2+(185)2=725,=,是等腰三角形；（3）当,在上时，如图 1，此时，=2，设(,3+6)，又(2,0)，2+(3+6)2=22，

60、解得，1=85，2=2（舍去），3+6=3 85+6=65，(85,65)；当在.上，在上时，如图 2，此时，,=,=2,设(,34 +3),则(+2,34 +3)，代入=3+6,得，34 +3=3(+2)+6,解得，=45，则34 +3=34 (45)+3=125,(45,125)；在上，Q在上时，如图 3，此时，=2,(2,0)；当在上，与点重合时，如图 4，此时，,则=2,=,=+=+=,与点重合，Q(45,185)综上，点在坐标为(85,65)，(45,125)，(2,0),(45,185)【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形以及一次函数与几何综合等知识，正确进行分类讨论

61、是解答本题的关键 1（2022 春河北唐山八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线1=+(0)经过点(7,0)和必考点 4 一次函数与等腰三角形 点(3,4)，直线2=(0)经过原点和点 (1)求直线1=+(0)和直线2=(0)的表达式；(2)点是射线上一动点，点关于点的对称点为点，过点作 轴，交直线于点以、为邻边作矩形 当点落在直线上时，直接写出长；当 为等腰三角形时，直接写出点的坐标（写出一种情况即可）【答案】(1)1=+7，2=43 (2)2110；(74,0)或(211326,0)或(6313,0)【分析】（1）将点(7,0)和点(3,4)代入1=+(0)，求得 k，b，点(3,

62、4)代入2=(0)求得，从而可求出表达式（2）设点(,0)，则(,43)，(2,0)，根据点和的纵坐标相等列出等式，即可求出 a；当=时根据对称性可求得点的坐标，当=7和=7，根据勾股定理列出方程求出的值，从而得出答案（1）解：由题意，将点(7,0)和点(3,4)代入1=+(0)中，得 0=7+4=3+，解得=1=7，1=+7，将点(3,4)代入2=(0)，得3=4，解得=43，2=43 （2）解：设点(,0)，则(,43)，(2,0)，将=2代入1=+7得，=2+7，即点 F 的纵坐标为2+7，点和的纵坐标相等，2+7=43，=2110，=2110，(2,43)，(7,0)，当=时，由对称性

63、得2 2=7，=74，(74,0)；当=7时，由勾股定理得(2)2+(43)2=72，=211326(0)，(211326,0)；当=7时，由勾股定理得(2 7)2+(43)2=72，=6313(0)，(6313,0)，综上所述，点的坐标为(74,0)或(211326,0)或(6313,0)【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质，等腰三角形的分类和判定，勾股定理等知识，第 2 问有一定难度，掌握分类讨论思想是解题的关键 2（2022 春黑龙江哈尔滨八年级统考期末）已知，如图在平面直角坐标系中，直线 y43x+4 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 B，直线 ykx+4 经过点 B，交 x 轴于

64、点 A，且 ACBC (1)求 k 的值；(2)以 BC 为边在第一象限内作等腰直角BCD，BCD90，BCCD，动点 P 从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右运动，连接 PD，设 P 点运动的时间为 t，PCD 的面积为 S，请用含 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围；(3)在（2）的条件下，在点 P 运动过程中，当PCD 为等腰三角形时，求 P 点坐标【答案】(1)k2(2)当 0t3 时，S92 32；当 t3 时，S32 92(3)(498,0)或(8，0)或(11，0)【分析】（1）求出 A 点坐标，再将 A 点坐标代入 ykx+4，即可求 k 的值；（2

65、）作 DHx 轴于 H，证明BOCCHD（AAS），当 0t3 时，PC3t，S92 32；当 t3 时，PCt3，S32 92；（3）由（2）可知 D（7，3），设 P（n，0），分别求出 PC|n3|，PD(7)2+9，CD5，再分三种情况讨论即可（1）当 x0 时，y4，B（0，4），OB4，当 y0 时，x3，C（3，0），OC3，BC5，ACBC5，OA2，A（2，0），把（2，0）代入 ykx+4 中，k2；（2）作 DHx 轴于 H，BCD90，BCO+DCH90，BCO+OBC90，DCHOBC，BCCD，BOCCHD（AAS），OCDH3，当 0t3 时，PC3t，S12 3

66、(3 )92 32；当 t3 时，PCt3，S12 3(3)32 92；（3）由（2）可知 D（7，3），设 P（n，0），PC|n3|，PD(7)2+9，CD5，当 PCPD 时，(7)2+9|n3|，解得 n498，P(498,0)；当 CPCD 时，|n3|5，解得 n8 或 n2（舍），P（8，0）；当 DCDP 时，(7)2+95，解得 n3（舍）或 n11，P（11，0）；综上所述：P 点坐标为(498,0)或（8，0）或（11，0）【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论是解题的关键 3（2022 春江

67、西赣州八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线=12 +与轴交于点，直线=+2与轴交于点，两直线相交于点(2,)(1)求和的值；(2)求 的面积；(3)动点(,0)在点的右侧，连接，当 为等腰三角形时，求的值【答案】(1)=4，=5(2)24(3)5 或10+45或 6 【分析】（1）先将点(2,)代入=+2求得 a，然后再将点 C 坐标代入=12 +即可求得 b；（2）先求出 A、B 坐标，进而求得 AB 的长，然后根据点 C 坐标的纵坐标可确定 ABC 边 AB 上的高，然后运用三角形面积公式计算即可；（3）如图，作 ，连接，则有=4，=8，=+10；再运用勾股定理求得 AC，然后再

68、分=、=、=三种情况解答即可【详解】（1）解：点在直线=+2上，=2+2=4，又点(2,4)也在直线=12 +上，12 2+=4，解得：=5；a=4，b=5（2）解：在=12 +5中，当=0时，=10，(10,0)，在=+2中，当=0时，=2，(2,0)；=12，=12 12 4=24（3）解：如图，作 ，连接，则有=4，=8，=+10，=82+42=45.当=时，设=+10，则=2 ，在 中，2=2+2，(+10)2=(2 )2+42，解得：=5；当=时，=45，=10+45；当=时，点是的中点，=2=16，=10+16=6 综上所述，当 为等腰三角形时，的值为5 或10+45或 6 【点睛

69、】本题主要考查了一次函数与几何的综合、求一次函数的解析式、一次函数图像的特点等知识点，确定 a、b 的值成为解答本题的关键 4（2022 春黑龙江牡丹江八年级统考期末）如图，直线 y=-x+10 与 x 轴、y 轴分别交于点 B 和点 C，点 A的坐标为（8，0），点 P（x，y）是直线上第一象限内的一个动点 (1)求 OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；(2)当 OPA 的面积为 10 时，求点 P 的坐标；(3)在直线 BC 上是否存在点 M，使以 O，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】

70、(1)S=-4x+40；0 x10(2)(152，52)(3)存在，M（5，5）或（0，10）或（10-52，52）或（10+52，-52）【分析】（1）根据三角形面积公式可以得到 S 关于 x 的函数关系式，求出 B，C 坐标即可写出自变量 x 的取值范围；（2）根据（1）中的函数解析式计算即可；（3）分 OB=MB，OB=OM，MB=OM，三种情况讨论，分别求出点 M 的坐标即可（1）解：点 A 的坐标为（8，0），OA=8，S=12OAy=128（-x+10），即 S=-4x+40，在直线 y=-x+10 中，当 x0 时，y10，当 y0 时，x10，B（10，0），C（0，10），点

71、 P（x，y）是直线上第一象限内的一个动点，0 x10，自变量的取值范围是：0 x，求 的面积【答案】(1)(4,0)(2)=13(3)的面积为 2 【分析】（1）把=0代入直线=4(0)求出 x 的值即可得出答案；（2）先求出点 C 的坐标为(0,2)或(0,2)，然后根据点 A 在第二象限，是以为底的等腰直角三角形，得出此时点 C 的坐标为(0,2)，根据等腰直角三角形的性质，求出点 A 的坐标，然后代入求出 k 的值即可；（3）根据点(,)和(+2,)在直线=4(0)上，且不论取何值，都有 ，确定一次函数的增减性，得出此时点 C 的坐标为：(0,2)，画出图形，求出结果即可【详解】（1）

72、解：把=0代入直线=4(0)得：0=4，解得：=4，点 B 的坐标为(4,0)；（2）解：点在轴上，设点 C 的坐标为(0,)，的面积等于 4，12 4|=4，解得：=2，点 C 的坐标为(0,2)或(0,2)，点 A 在第二象限，是以为底的等腰直角三角形，点 C 的坐标为(0,2)，如图所示：是以为底的等腰直角三角形，=90，=2，点 A 的坐标为：(2,2)，把(2,2)代入=4(0)得：2 4=2，解得：=13；（3）解：点(,)和(+2,)在直线=4(0)上，且不论取何值，都有 ，又不论 a 取何值总由+2 ，此时函数一次函数=4(0)，y 随 x 增大而增大，0，图象一定经过一、三象

73、限，一次函数=4(0)总是经过点(4,0)，且点 C 在直线上，此时点 C 的坐标为：(0,2)，如图所示：=12 2 ()=12 2 (+2 )=12 2 2=2【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形面积的计算，求一次函数与 x 轴的交点坐标，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，确定点 C 的坐标 3（2022 秋江苏扬州八年级校考期末）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(3,0)，点 B 的坐标为(0,4)，点 C 在 y 轴上，作直线点 B 关于直线的对称点刚好在 x 轴上，连接 (1)写出点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；(2)点 D 在

74、线段上，连接、，当 是等腰直角三角形时，求点 D 坐标；(3)如图 2，在（2）的条件下，点 P 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度向原点 O 运动，到达点 O 时停止运动，连接，过 D 作的垂线，交 x 轴于点 Q，问点 P 运动几秒时 是等腰三角形【答案】(1)(2,0)；=12 +32(2)(1,1)(3)点 P 运动 1 或5 5或154 秒时，是等腰三角形 【分析】（1）由题意求出，根据与关于直线对称，求出坐标，设点(0,)，求出(0,3)，设直线的解析式为=+(0)，把 A，C 代入可得表达式；（2）由已知可得 是等腰直角三角形，过点作 轴，轴，证明 ，得出=，设点(,)代

75、入=12 +32中，即可求出点 D 坐标；（3）过点 D 作 轴，轴，由（2）可得=，证明 ，得到=，分当=时，当=时，当=时，三种情况分别进行讨论【详解】（1）解：点 A 的坐标为(3,0)，点 B 的坐标为(0,4)，=3,=4，=90，=5，B 与关于直线对称，垂直平分，=,=5，(2,0)，设点(0,)，=，=4 ，在Rt 中，=90，2+22=(4 )2，=32，(0,32)，设直线的解析式为=+(0)，把(3,0)，(0,32)代入得：3+=0=32，解得：=12=32 直线的解析式为=12 +32；（2）解：垂直平分，=，是等腰直角三角形，=90，过点 D 作 轴，轴，=90，=

76、360 ,=90，=90，=，=，(AAS)，=，设点(,)，代入=12 +32中，得：=12 +32，解得：=1，(1,1)；（3）解：过点 D 作 轴，轴，同（2）可得=，=1,=90，(AAS)，=，当=时，轴，=2，=2，=1，点 P 运动时间为 1 秒；当=时，(3,0)、(1,1)，=5，=5 2，=5 2，=5 5，点 P 的运动时间为(5 5)秒；当=时，设=，则=2 ，在Rt 中，=90，12+2=(2 )2，=34，=34，=+=154，点 P 的运动时间为154 秒；综上所述：点 P 的运动时间为 1 秒或5 5秒或154 秒【点睛】本题考查一次函数的图象及性质和等腰三角

77、形的判定和性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形全等知识解题是关键 4（2022 秋辽宁沈阳八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点(1,0)，(0,2)，(1,2)，直线和直线的图象相交于点 A，连接 (1)求直线和直线的函数表达式；(2)请直接写出 的面积为_，在第一象限，直线上找一点 D，连接，当 的面积等于 的面积时，请直接写出点 D 的坐标为_(3)点 E 是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点 F，连接，当 是以为底边的等腰直角三角形时，请直接写出 的面积为_【答案】(1)直线的函数表达式为1=2+2，直线的函数表达式为2=1(2)3，(3,2)(3)2 或269 或17

78、9 或 5 【分析】（1）用待定系数法，即可求解直线和直线的函数表达式；（2）先求出直线与 y 轴的交点坐标，再用割补法求 的面积即可；根据 的面积等于 的面积可得=，过点 C 作 轴于点 F，过点 D 作 轴于点 G，通过证明 (AAS)，即可得出=2,=2，即可求出点 D 的面积；（3）根据题意，进行分类讨论，当点 F 在 x 轴上，点 F 在 y 轴上，分别过点 E 和 F 作坐标轴的垂线，通过证明三角形的全等，得出点 E 和点 F 的坐标，即可求解【详解】（1）解：设直线的函数表达式为1=1+1(1 0)，把(1,0)，(0,2)代入得：0=1+12=1，解得：1=21=2，直线的函数

79、表达式为1=2+2，设直线的函数表达式为2=2+2(2 0)，把(1,0)，(1,2)代入得：0=2+22=2+2，解得：2=12=1，直线的函数表达式为2=1；（2）把=0代入2=1得：2=1，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,2)，=2 (1)=3，点 A 到 y 轴距离为 1 个单位长度，点 C 到 y 轴距离为 1 个单位长度，=+=12 3 1+12 3 1=3，过点 C 作 轴于点 N，过点 D 作 轴于点 G，(1,2)，(1,0)，=2,=2，设 在边上的高为 h，=，12 =12 ，=，在 和 中，=，(AAS)，=2,=2，(3,2)故答案为：3，(3,2)；（3）

80、如图：当点 F 在 x 轴负半轴上时，过点 C 作 轴于点 P，过点 E 作 轴于点 Q，点 E 在直线上，点 F 在 x 轴上，设(,2+2),(,0)，是以为底的等腰直角三角形，=,=90，+=90，+=90，=，在 和 中，=，(AAS)，=2,=，(1,0),(,0)，=2|1|=|2+2|，解得：=1=1，(1,0),(1,0)，=2,=2,=12 2 2=2；如图：当点 F 在 x 轴正半轴上时，过点 C 作 轴于点 P，过点 E 作 轴于点 Q，同理可得：(AAS)，=2,=，(1,0),(,0)，=2 (1)=2+2，解得：=13=53，(13,43),(53,0)，=(53+

81、13)2+(43)2=2133，=12 21332133=269；如图：当点 F 在 y 轴上时，过点 C 作 轴于点 H，过点 E 作 轴于点 I，点 E 在直线上，点 F 在 x 轴上，设(,2+2),(0,)，同理可得：(AAS)，=1,=，(0,2),(0,2+2)，(2+2)=1 (2)=，解得：=53=13，(53,43),(0,13)，=(53)2+(43+13)2=343，=12 343 343=179；或(2+2)=12 =，解得：=3=5，(3,4),(0,5)，=32+1=10，=12 10 10=5；综上：的面积为 2 或269 或179 或 5 故答案为：2 或269

82、 或179 或 5【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，具有分裂讨论的思想 5（2022 春广东汕头八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为=3 3，此直线交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 A，直线=2与 x 轴交于点 N (1)求 A，P 两点的坐标；(2)如图 1，若点 M 在 x 轴上方，且在直线=2上，若 面积等于 9，请求出点 M 的坐标；(3)如图 2，已知点(2，4)，若点 B 为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点 Q，使 是以为底边的等腰直角

83、三角形，直角顶点为 Q，若存在，请直接写出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(0，3)，(1，0)；(2)(2,9)；(3)存在，的坐标为(72，0)或(0，74)或(0，132)【分析】（1）分别令=0，=0即可得出答案；（2）过作/交轴于，连接，将的面积转化为的面积求出点 D 的坐标，再根据/，设直线为=3+，将点 D 的坐标代入即可求得直线的解析式，最后根据点 M 在直线上，即可得出答案；（3）设(，3 3)，分三种情况，当点 Q 在轴负半轴时，过 B 作 轴于 E，证明 (AAS)，得到=+，即4 =2+3 3，求出 t 值即可；当 Q 在 y 轴正半轴上时，过 C 作

84、轴于 F，过 B 作 轴于 G，证明 (AAS)，得到=，即3 3 2=4 ，求出 t 即可；当 Q 在 y 轴正半轴上时，过点 C 作 轴于 F，过 B 作 轴于T，同可证 (AAS)，得到=+=+，即3 3+2=4+，求出 t 值即可【详解】（1）直线=3 3交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 A，令=0，=3 令=0，=1 (0，3)，(1，0)（2）过作/交轴于，连接，如图：/，面积等于 9，面积等于 9，12|=9，即12 3=9，=6，(5，0)/，设直线为=3+，则0=3 (5)+，=15，直线为=3+15，令=2得=9，(2，9)；（3）存在，设(,3 3)，当点 Q 在 x

85、轴负半轴时，过 B 作 轴于 E，如图，=，=3 3，是以为底边的等腰直角三角形，=，=90，=90 =，又=，()，=3 3，=4，=+，即4 =2+3 3，=12，=72，(72，0)；当 Q 在 y 轴正半轴上时，过 C 作 轴于 F，过 B 作 轴于 G，连接，如图：=，=3 3，是以为底边的等腰直角三角形，=，=90，=90 =，又=90，(AAS)，=2，=，=，即3 3 2=4 ，=94，=4 =74，(0，74)；当 Q 在 y 轴正半轴上时，过点 C 作 轴于 F，过 B 作 轴于 T，如图，=，=3 3，同可证 (AAS)，=，=2，=+=+，即3 3+2=4+，=52，=

86、4+=132，(0，132)；综上，Q 的坐标为(72，0)或(0，74)或(0，132)【点睛】本题为一次函数与图形的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定即性质，等腰直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定即性质是解题的关键 6（2022 秋江西吉安八年级统考期末）模型建立：如图 1，等腰直角三角形中，=90，=，直线经过点，过作 于，过作 于 (1)求证：(2)模型应用：已知直线1:=43 +4与轴交与点，将直线1绕着点顺时针旋转45至2，如图 2，求2的函数解析式(3)如图 3，矩形，为坐标原点，的坐标为(8,6)，、分别在坐标轴上，是线段上动点，设=，已知点在第一象限，

87、且是直线=2 6上的一点，若 是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标【答案】(1)见解析(2)2的解析式：=17 +4(3)点(4,2)，(203,223)，(283,383)【分析】（1）根据同角的余角相等可得=，再由AAS可证得 ；（2）过点作 于点，交2于点，过作 轴于，根据=45可得 为等腰直角三角形，由（1）可知 ，由全等三角形的性质得出 C 点坐标，利用待定系数法求出直线2的函数解析式即可；（3）设(,2 6)，点为直角顶点，分两种情况：当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则=2 6，利用三角形全等得到关于 x 的方程，得 D 点坐标；当点在矩形的

88、外部时，利用三角形全等得到关于 x 的方程，得 D 点坐标；点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则=2 6，利用三角形全等得到关于 x 的方程，得 D 点坐标，即可【详解】（1）证明：，=90，=90，+=180 90=90，又+=90，=，在 与 中，=(AAS)；（2）解：过点作 于点，交2于点，过作 轴于，如图，=45，为等腰直角三角形，由（1）得：，=，=，直线1:=43 +4，(0,4)，(3,0)，=4，=3，=4+3=7，(7,3)，设2的解析式为=+(0)，把点(0,4)，(7,3)代入得：3=7+4=，解得：=17=4，2的解析式：=17 +4；（3）解：当点位于直线=2 6

89、上时，分两种情况：设(,2 6)，点为直角顶点，分两种情况：当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，则=2 6，=6 (2 6)=12 2，=8 ；由（1）得：，=，即12 2=8 ，解得：=4；(4,2)；当点在矩形的外部时，则=2 6，=2 6 6=2 12，=8 ；由（1）得：，=，即2 12=8 ，解得：=203；(203,223)；点为直角顶点，此时点位于矩形的外部，则=2 6，=2 6 6=2 12；同（1）得，=8，=8；=8 (8)=16 ；2 12=16 ，解得：=283；(283,383)；综合上面情况可得：点的坐标为(4,2)或(203,223)或(283

90、,383)【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用 7（2022 秋江苏八年级期末）【模型建立】如图 1，在中，=90，=，直线经过点，过点作 于点，过点作 于点，易证明 我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型解决一些问题；【模型应用】(1)如图 1，若=3,=4，则的面积为_；(2)如图 2，已知直线1:=43 +4与坐标轴交于点 A、B，将直线1绕点 A 逆时针旋转 45至

91、直线2，求直线2的函数表达式；(3)如图 3，在平面直角坐标系中，直线的函数关系式为：=2+1，点(3,2)在直线上找一点，使直线与直线的夹角为 45，直接写出点的坐标【答案】(1)252 (2)=7 21(3)点 B 坐标为（0，1）或（2，5）【分析】（1）利用“ASA”求证 ，继而可得 CE=AD=3，BE=CD=4，AC=BC，由勾股定理可得AC，继而利用三角形面积公式求解；（2）由直线1:=43 +4可知点点 A、B 坐标，过点 B 作 BC直线 l2，过点 C 作 CDx 轴于点 D，过点 C作 CEy 轴于点 E，证明 （AAS），推导出=，=，设=，继而求出 a 的值，继而可得

92、点 C 坐标，利用待定系数法即可求解；（3）求出点 E 坐标，在直线 l 上取一点 F（2，5），连接 AE、AF，证明AEF 是等腰直角三角形即可解决问题【详解】（1）如图 1 所示：=90，BCE+ACD=90，BCE+CBE=90，CAD+ACD=90，ACD=CBE，BCE=CAD，又=，（ASA）,CE=AD=3，BE=CD=4，AC=BC，在 RtACD 中，由勾股定理可得：2=2+2=32+42=5 =5，=90，=12 =12 5 5=252，故答案为：252；（2）如图 2 所示，直线1:=43 +4与坐标轴交于点 A、B，令=0，则=4，令=0，则=3，点 A（-3，0）、

93、B（0，4），过点 B 作 BC直线 l2于点 C，过点 C 作 CDx 轴于点 D，过点 C 作 CEy 轴于点 E，OAOB，四边形 CDOE 是矩形，=，=，CECD，+=90,BC直线 l2，+=90,=,由旋转得：=45，=45,=,又=90,（AAS），=，=，=，设=，=，即4 =3+，解得：=12，即=12，=72,点 C 坐标为（72，72），设直线2的函数表达式为：=+，将点 A、C 代入得：0=3+72=72 +，解得：=7=21，直线2的函数表达式为：=7 21，（3）如图 3 所示，直线 =2+1，令=0，则=1，点 E（0，1），在直线 l 上取一点 F（2，5），

94、连接 AE、AF，A（3，2），=(0 3)2+(1 2)2=9+1=10,=(2 3)2+(5 2)2=1+9=10，=(2 0)2+(5 1)2=4+16=20，2+2=2，=，=90，=45，当点 B 与 E 或 F 重合时，直线 AB 与直线 l 的夹角为 45，此时 B（0，1）或（2，5）【点睛】本题考查一次函数综合题，主要涉及到一次函数的图象及其性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及其性质，熟练掌握一次函数的图象及其性质，正确做辅助线是解题的关键 8（2022 秋广东深圳八年级统考期末）如图 1，直线的解析式为=+6，点坐标为(8,0)，点关于直线的对称点点在直

95、线上 （1）求直线的解析式；（2）如图 2，在轴上是否存在点，使 与 的面积相等，若存在求出点坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图 3，过点(5,2)的直线:=+当它与直线夹角等于 45时，求出相应的值【答案】（1）直线的解析式为=2+6；（2）(6,0)；（3）=13或=3【分析】（1）在中，利用勾股定理确定=10，由对称设=，=6，=4，再利用勾股定理即可确定点 B 的坐标，然后代入解析式即可；（2）由（1）得，BC=OB=3，根据 O 点关于直线 AB 的对称点 C 点在直线 AD 上，可得 ，即两个三角形的面积相同，使的面积与的面积相同，只需要找到的面积与的面积相同的点即可，设点(,

96、0)，两个三角形的高均为线段 OA 长度，只需要底相同即可，根据底相同列出方程求解即可得；（3）设若直线、与直线夹角等于45，由图可得为等腰直角三角形，作 于，于，可得=90，=，利用全等三角形的判定及性质可得=，=，直线过(5,2)，直线的解析式为：=+2 5，设坐标为(,2+6)，则(5,2+6)，由各线段间的数量关系可得点坐标为(1+2,3)，将其代入直线 AB 的解析式，即可得出 t 的值，然后点 E、F 坐标，代入解析式求解即可【详解】解：（1）=+6，(0,6)，即=6，又(8,0)，=8，设直线的解析式为=+6，将点(8,0)代入得，直线的解析式为=34 +6.在中，=62+82

97、=10，点、点关于直线对称，设=，=6，=4，=8 ，在中，2+42=(8 )2，=3，(3,0)，将点 B 代入=+6 直线的解析式为=2+6；（2）由（1）得，BC=OB=3，如图所示：O 点关于直线 AB 的对称点 C 点在直线 AD 上，=，使=，则设点(,0)，两个三角形的高均为线段 OA 长度，使底相同即：|=|3|=3，解得：=6或=0（舍去），(6,0)；（3）如图，设若直线、与直线夹角等于45，即为等腰直角三角形，作 于，于，=90，=，=90，+=90，+=90，=，在与中，=，=，=，直线过(5,2)，即2=5+，解得：=2 5，直线的解析式为：=+2 5，设坐标为(,2

98、+6)，则(5,2+6)，=5 ，=2+6 2=2+4，由线段间的关系可得：点坐标为(1+2,3)，点在直线上，=2(1+2)+6，解得：=75，(75,165)，(195,85)，当直线过点时，75 +2 5=165，解得：=13；当直线过点时，195 +2 5=85，解得：=3；所以=13或=3【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，作出相应图象，根据图象之间的关系进行求解是本题解题的关键 1（2022 秋陕西西安八年级西安市铁一中学校考期末）已知直线=+5与 y 轴交于 A 点，与 x 轴交于 B 点，过点(1,2)的正比例函数图象上有一个

99、动点 P，则的最小值为（）A5 B25 C3 D4【答案】A 必考点 6 一次函数与动点最值问题 【分析】先求出点 A、B 的坐标，由点 P 是直线上的动点，可得当 时最小，根据勾股定理的逆定理可判断=90，然后即可利用 AAS 证明 ，可得=，进而问题可求解.【详解】对于直线=+5，当=0时，=5，所以(0,5)，当=0时，=5，所以(5,0)，=因为点 P 在直线上，所以当 时，最小，如图，因为2=(5 1)2+22=20,2=12+22=5,=5，所以2+2=2,所以=90，因为=90，所以+=90,+=90,所以=，所以 （AAS），所以=5 故选：A.【点睛】本题考查了一次函数图像上

100、点的坐标特点、勾股定理的逆定理、坐标系中两点间的距离、垂线段最短等知识，准确理解题意、明确求解的方法是解题的关键.2（2022 秋江苏宿迁八年级统考期末）如图，已知点(1,3)，点(3,4)，点 D 是一次函数=+2上的点，连接，则+的最小值是（）A25 B33 C42 D5【答案】D【分析】设直线=+2与 y 轴交于点 M，与 x 轴交于点 C，连接，并延长到点，使=，过点 A 作 于点 E，过点作 轴于点，证明直线=+2垂直平分，连接交直线=+2于一点 D，连接，求出(1,1)，求出即可【详解】解：设直线=+2与y轴交于点M，与x轴交于点C，连接，并延长到点，使=，过点A作 于点 E，过点

101、作 轴于点，把=0代入=+2得：=2，则点(0,2)，把=0代入=+2得：=2，则点(2,0)，=2，=90，=12 90=45，(1,3)，=1，=3，=3 2=1，=，=90，=12 90=45，=180 45 45=90，直线=+2垂直平分，连接交直线=+2于一点 D，连接，=，+=+=，此时+最小，=12+12=2，=45，=90，=90 45=45，=，=，2+2=2=(2)2=2，=1，=2 1=1，(1,1)，(3,4)，=(1 3)2+(1 4)2=5，+最小值为 5，故 D 正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质

102、，勾股定理，轴对称的性质，直角坐标系中两点之间距离，解题的关键是作出辅助线，找出使+时，点 D的位置 3（2022 秋陕西西安八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为=+4，点 E 是的中点，点 P 是上一动点，则+的最小值是_ 【答案】25【分析】作点 B 关于的对称点，连接交于点，+的最小值为，分别求出点 A，C 的坐标，证明四边形是正方形即可求出点的坐标，即可求出的长度【详解】解：如下图所示，作点 B 关于的对称点，连接交于点，线段所在直线的解析式为=+4，当=0时，=4，当=0时，=4，=4，,相互垂直平分，四边形是正方形，点(4,4)，点(0,2)+的最小值为

103、=42+(4 2)2=25，故答案为：25【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用一次函数的解析式求出点 A，C 的坐标 4（2022 秋江苏镇江八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数=+(0)的图像经过(4,0)、(0,4)两点 (1)=_，=_(2)已知(1,0)、(3,0)，在直线上找一点 P，使=用无刻度直尺和圆规作出点 P（不写画法，保留作图痕迹）；点 P 的坐标为_；点 Q 在 y 轴上，那么+的最小值为_【答案】(1)1，4(2)见解析；(1,3)；5 【分析】（1）将 A，B 坐标代入=+(0)中，解方程组可得结果；（2）作线段的垂直平分线，交于点 P 即可

104、；根据 M，N 坐标求出点 P 的横坐标，代入直线表达式，可得点 P 坐标；找到点 N 关于 y 轴对称点为(3,0)，根据对称的性质得到+=+=，再利用勾股定理计算即可【详解】（1）解：将(4,0)、(0,4)代入=+(0)中，得：0=4+4=，解得；=1=4，故答案为：1，4；（2）如图，点 P 即为所求；由作图可知：点 P 在的垂直平分线上，(1,0)、(3,0)，点 P 的横坐标为 1，代入=+4中，得：=1+4=3，(1,3)；(3,0)，点 N 关于 y 轴对称点为(3,0)，则=，+=+=，+的最小值为(3 1)2+(0 3)2=5 【点睛】本题考查了最短路径，尺规作图，待定系数

105、法求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是掌握基本知识，结合图像解决问题 5（2022 秋江苏泰州八年级统考期末）已知，一次函数=(2 )+4与=(+1)2的图像相交于点 P，分别与 y 轴相交于点 A、B其中 t 为常数，2且 1 (1)求线段的长；(2)试探索 的面积是否是一个定值？若是，求出 的面积；若不是，请说明理由；(3)当 t 为何值时，的周长最小，并求出 周长的最小值【答案】(1)6(2)是，6(3)=12，周长最小值为213+6 【分析】（1）分别令=0，求出 y 值，得到 A 和 B 的坐标，从而可得的长；（2）求出点 P 坐标，利用三角形面积公式求出 的面积即可；（3）画出

106、图形，分析得出要 的周长最小，则要+最小，作点 A 关于直线=2对称的点(4,4)，连接，找到此时点 P 的位置，求出直线的表达式，可得点 P 坐标，可得 t 值，再根据点的坐标求出周长的最小值【详解】（1）解：在=(2 )+4中，令=0，则=4，在=(+1)2中，令=0，则=2，(0,4)，(0,2)，=4 (2)=6；（2）图像相交于点 P，令(2 )+4=(+1)2，解得：=2，代入=(2 )+4中，=2(2 )+4=2，(2,2)，=12|=12|2|6=6；（3）如图，(2,2)，点 P 在直线=2上，若要 的周长最小，而=6，当+最小即可，作点 A 关于直线=2对称的点(4,4)，

107、连接，与直线=2交于点 P，此时+，设直线的表达式为=+，则4=4+2=，解得：=32=2，直线的表达式为=32 2，令=2，则=1，即(2,1)，则2=1，解得：=12，此时=22+32=13，=22+32=13，的周长最小值为+=213+6 【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意（3）中分析出要 的周长最小，则要+最小 6（2022 秋山西大同八年级大同市第六中学校校考期末）如图，已知 的三个顶点的坐标分别为(6,4)，(4,0)，(2,2)(1)作 关于 y 轴的轴对称图形得 111，画出图形，并直接写出点1的坐标_；(2)已知点 P 是 x 轴上一点，

108、则当1+的最小值时，点 P 的坐标是_【答案】(1)绘图见解析，(6,4)(2)(0,0)【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图并求解即可；（2）作1关于轴的对称点2，得2(2,2)，连接2，当刚好为2与轴交点时1+的值最小，设2解析式为=+(0)，将(2,2)，2(2,2)代入解析式求得解析式为=，当=0时=0，即可得出点坐标为(0,0)【详解】（1）解：如图为所求作的图形，点1的坐标为(6,4)（2）解：作1关于轴的对称点2，得2(2,2)，连接2 当刚好为2与轴交点时1+的值最小 (2,2)，2(2,2)设2解析式为=+(0)将(2,2)，2(2,2)代入解析式得：2+=22+=2 得=

109、0,=1 2解析式为=当=0时=0 点坐标为(0,0)【点睛】此题考查了作图-轴对称图形，求一次函数解析式，最短距离的求法，掌握轴对称图形的性质是解题关键 7（2022 秋陕西西安八年级西安市铁一中学校考期末）问题提出：(1)如图 1，在等腰直角 中，=90，=，为高上的动点，过点作 于，则的值为_ 问题探究：(2)如图 2，在平面直角坐标系中，直线=3+23与轴、轴分别交于点、若点是直线上一个动点，过点作 于，求+的最小值 问题解决：(3)如图 3，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，在轴上，且(6,8)点在边上，且=2，点在边上，将 沿翻折，使得点恰好落在边上的点处，那么在折痕上是否存在

110、点使得22 +最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由【答案】(1)=22；(2)+的最小值为：3(3)32+6 【分析】（1）证明=45=，可得=2，从而可得答案；（2）如图，先求解(0,23)，(2,0)，=4，取的中点，连接，过作 于，延长至，使=，连接交于，证明，关于直线对称，此时+=+=最小，从而可得答案；（3）如图，过作 于，证明=4，=90，=，=，可得=42 22=23由（2）的结论可得：=60，=30，=82 42=43，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，则=22，当，三点共线时，22 +=+=最小，此时=30+45=75，在上取点，使=30，设=，则=2，=3，再利用勾

111、股定理求解即可得到答案【详解】（1）解：等腰直角 中，=90，=，为高，=45，=45=，=，2=2+2=22，=2，=2=22 （2）解：如图，直线为：=3+23，当=0，则=23，即(0,23)，当=0，则=2，即(2,0)，=22+(23)2=4，取的中点，连接，过作 于，延长至，使=，连接交于，=2，而=2，为等边三角形，=60，=30，=60=，而=，=，关于直线对称，此时+=+=最小，=2，=30，=1，+的最小值为：1+2=3（3）解：如图，过作 于，将 沿翻折，使得点恰好落在边上的点处，(6,8)，=2，=4，=90，=，=，=42 22=23 由（2）的结论可得：=60，=3

112、0，=60，=30，=30，=8，=82 42=43，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，=45，=，2=2+2=22，=22，当，三点共线时，22 +=+=最小，此时=30+45=75，=15，在上取点，使=30，=15=，=，设=，则=2，=3，=(2+3)，2=2+(2+3)22=(8+43)2，=(6+2)，（负根舍去），(6+2)=43，=436+2=32 6，=(2+3)(32 6)=32+6，22 +的最小值为32+6【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，一次函数的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次根式的混合运算，

113、作出适当的辅助线，细心的计算是解本题的关键，本题计算难度大，属于压轴题 1（2022 春福建厦门八年级期末）某自动贩卖机售卖 A、B 两种盲盒，B 种盲盒的价格比 A 种盲盒价格的6 倍少 60 元，该贩卖机存储的 A 种盲盒不低于 22 个，B 种盲盒的数量不少于 A 种的 2 倍，且最多可存储两种盲盒 100 个，某天上午售卖后，工作人员及时补货，将售卖机装满，该天下午，由于系统 bug，B 种盲盒的价格变为原来 A 种的价格，而 A 种的价格变为原来价格的 5 倍少 50 元后再打了个六折，下午 A 种盲盒的销量变为上午的 2 倍，而 B 种盲盒的销量不变，结果上午的销售额比下午多 39

114、0 元，其中两种盲盒的价格均为整数，则下午贩卖的盲盒的销售额最多可为_元【答案】8080【分析】设 A 种盲盒的价格为元，则 B 种盲盒的价格为(6 60)元，A 种盲盒的数量为个，则 22，B种盲盒的数量为，设上午种盲盒售出个，B 种盲盒售出个，则上午的销售额为+(6 60)该天下午，A 种盲盒的价格为(5 50)0.6即(3 30)元，B 种盲盒的价格为元，种盲盒售出2个，B 种盲盒售出个，种盲盒售出2个，B 种盲盒售出个，进而求得下午的销售额，根据题意列出关系式，根据不等式确定的范围，进而根据一次函数的性质，确定的值，根据 78 的因数为 2,3,13，进而求得,的值，根据一次函数的性质

115、确定取最大值时，下午的销售额取得最大值即可求解【详解】解：设 A 种盲盒的价格为元，则 B 种盲盒的价格为(6 60)元，A 种盲盒的数量为个，则 22，B种盲盒的数量为，根据题意可得，22 2+100，必考点 7 一次函数的应用 22 3344 78 6 60 0，则 10 设上午种盲盒售出个，B 种盲盒售出个，则上午的销售额为+(6 60)该天下午，A 种盲盒的价格为(5 50)0.6即(3 30)元，B 种盲盒的价格为元，种盲盒售出2个，B 种盲盒售出个，则下午的销售额为+2(3 30)=+6 60 由上午的销售额比下午多 390 元，可得 +(6 60)2(3 30)=390且2 22

116、 33，2 ，为整数 0 16，78 即(5 5)60+60=390且0 16()(12)=78且0 0 则当取最大值时候，销售额取得最大值，0 0 则当取得最大值，取得最大值，(16)(12)=78 78=2 3 13=6 13或3 26或2 39或1 78，78 16=6 12=13 或 16=13 12=6，16=3 12=26 或 16=26 12=3 16=2 12=39 或 16=39 12=2，16=1 12=78 或 16=78 12=1 解得=22=25 或=29=18，=19=38 或=42=15，=18=51 或=55=14，=17=80 或=93=13（舍去），当=17

117、=80 时，=(+96)960=(17+96)80 960=8080 故答案为：8080【点睛】本题考查了一次函数的性质，不等式组的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键 2（2022 春黑龙江鹤岗八年级期末）哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把 248 吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共 20 辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆 16 吨和 10 吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：车型 绥化（元/辆）鹤岗（元/辆）大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？(2)若安排 9 量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗

118、，设前往绥化的大货车为 a 辆，且运往绥化的物资不少于120 吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？【答案】(1)大货车用 8 辆，小货车用 12 辆(2)共有 4 种方案，使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车、4 辆小货车前往绥化地；3 辆大货车、8 辆小货车前往鹤岗地 【分析】（1）根据大、小两种货车共 20 辆，以及两种车所运的货物的和是 248 吨，据此即可列方程或方程组即可求解；（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为 w 元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于 120 吨，即可列出不等式求得 a 的范围，再根据 a 是

119、整数，即可确定 a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案【详解】（1）设大货车用 x 辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得 16x+10（20-x）=248，解得 x=8，20-x=20-8=12 答：大货车用 8 辆，小货车用 12 辆（2）设运往绥化地的大货车是 a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），w=620a+700（8-a）+400（9-a）+55012-（9-a）=70a+10850，则 w=70a+10850（0a8 且为整数）；根据题意得：16a+10（9-a）120，解得 a5，又0a8，5

120、a8 且为整数 a=5，6，7，8，共有 4 种方案，w=70a+10850，k=700，w 随 a 的增大而增大，当 a=5 时，W 最小 答：共有 4 种方案，使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车、4 辆小货车前往绥化地；3 辆大货车、8 辆小货车前往鹤岗地【点睛】主要考查了函数的应用解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值 3（2022 秋江苏扬州八年级统考期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销

121、售总额为1100元(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元；求关于的函数关系式 该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润【答案】(1)普通练习本：3元；精装练习本：10元(2)=2+1500；普通练习本进375本，精装练习本进125本，利润最大，最大为750元 【分析】（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额100精装练习本销售额=1

122、450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额=1100元，列出方程，解方程即可；（2）购买普通练习本个，则购买精装练习本(500 )个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；先求出的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得：150+100=1450200+50=1100，解得：=3=10，答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元（2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本(500 )个，根据题意得：=(3 2)+(10 7)(500 )=2+1

123、500；普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，3(500 )500 0，解得：375 500，=2+1500中=2 0，随的增大而减小，当=375时，取最大值，500 375=125（个），最大=2 375+1500=750（元），答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式 4（2022 春广东广州八年级统考期末）已知 A，B 两地相距 25km甲 8：00 由 A 地出发骑电动自行车去B 地，平均速度为 20km/h

124、；乙在 8：15 由 A 地出发乘汽车也去 B 地，平均速度为 40km/h(1)分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式，在同一坐标系中画出函数的图象；(2)乙能否在途中超过甲？如果能超过，请结合图象说明，何时超过？(3)设甲、乙两人之间的距离为 d，试写出关于时刻的函数解析式，并画出此函数的图象【答案】(1)甲：=20 160(8 9.25)，乙：=40 330(8.25 8.875)图象见解答；(2)乙能在途中超过甲，理由见解答，8:30后乙超过甲；(3)=20 160(8 8.25)20+170(8.25 8.5)20 170(8.5 8.875)20+185(8.875 8.5时，=

125、20 160落在=40 330的下方，即乙超过甲 答：8:30后乙超过甲；(3)当8 8.25时，=20 160；8.25 8.5时，=20 160 (40 330)=20+170；当8.5 8.875时，=40 330 (20 160)=20 170；当8.875 9.25时，=25 (20 160)=20+185；图象如图所示：综上所述，关于时刻的函数解析式为=20 160(8 8.25)20+170(8.25 8.5)20 170(8.5 8.875)20+185(8.875 0，w 随 x 的增大而增大，240 x 0 x 40 0 x 0300 x 0，40 x 240，当x=40时

126、，w 取得最小值，此时w=9280，此时240 x=200，x 40=0，300 x=260，答：w 与 x 之间的函数关系式是w=2x+9200，总运费最小的调运方案是 A 地运往 C 灾民安置点 200 吨，运往 D 灾民安置点 0 吨；B 地运往 C 灾民安置点 40 吨，运往 D 灾民安置点 260 吨【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答 6（2022 秋江苏八年级期末）某大学生创业，购进 A、B 共 300 件，进货时发现：8 件 A 商品和 4 件 B商品进货需要 72 元；4 件 A 商品和

127、 3 件 B 商品进货需要 38 元，设 B 的件数 80 x200，A，B 的总售价分别为函数 z1，z2.z1与销售件数之间是一次函数的关系，如下表：销售件数 x0 1 2 3 4 总售价 0 10 20 30 40 z2与 x 的函数关系如图所示：(1)直接写出 z1，z2与 x 的函数关系；(2)设销售 A，B 两种商品所获利总利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数解析式；(3)大学生引进的 300 件 A，B 商品全部售完，共获利 350 元，他计划每件 A，B 商品捐给学校基金分别捐 2m元，m 元，捐款数恰好为总成本的 10%，求 m 的值【答案】(1)z1=10 x，2=3

128、（80 100）2.5+50（100 200）(2)=+600(80 100)1.5+650(100 200)(3)0.2 【分析】（1）根据表格和图像运用待定系数法求解即可；（2）先求出 A、B 的单价，根据“总利润=商品 A 利润+商品 B 利润”和“利润=售价-成本”列函数解析式即可；（3）当 80 x100 时，500y520，350 不在此范围内；当 100 x200 时，350 x500，350 在此范围内，当y=350 时，z 最大，最大值为 200，求得售量为 200，然后解方程即可解得【详解】（1）解：设 z1与 x 的函数关系为 z1=k（300-x）+b根据表格可得：0=

129、300+10=299+，解得 =10=3000 z1=-10 x+3000 当 80 x100，设 z2与 x 的函数关系为 z2=cx+d根据函数图像可得：300=100+240=80+，解得=3=0 z2=3x（80 x100）当 100 x200，设 z2与 x 的函数关系为 z2=mx+n根据函数图像可得：300=100+550=200+，解得=2.5=50 z2=2.5x+50（100 x200）z1=10 x，2=3（80 100）2.5+50（100 200）（2）解：设 A 商品的进货单价为 a 元，B 商品的进货单价为 b 元，根题意可得：8+4=724+3=38，解得：=8

130、=2 由题意可得：=1+2 8(300 )2=+600(80 100)1.5+650(100 200)所以 y 与 x 之间的函数解析式=+600(80 100)1.5+650(100 200)（3）解：当 80 x100 时，500y520，350 不在此范围内；当 100 x200 时，350y 0）元，乙供应商的单价提高了 15%若在乙供应商处购买的门锁数量不少于甲的一半，则如何安排进货才能使装修公司的进货成本最少？最少进货成本是多少？【答案】(1)五月份甲、乙供应商门锁的单价分别是 88 元和 80 元(2)4时，从甲供应商处购买 20 把门锁时，进货成本最小，为(20+18320)元；=4，从甲供应商处购买 20 至 133 把门锁时，进货成本都最小，为 18400 元；0，即 4时，w 随 m 的增大而增大，从甲供应商处购买 20 把门锁时，进货成本最小，为(20+18320)元；当 4=0，即=4时，w 总等于 18400 元，从甲供应商处购买 20 至 133 把门锁时，进货成本都最小，为 18400 元；当 4 0，即 4时，w 随 m 的增大而减小，从甲供应商处购买 133 把门锁时，进货成本都最小，为(133+17868)元【点睛】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式，一次函数，理解题意列出方程与不等式是解题的关键