1、第4讲 直线与圆的位置关系 考纲要求考点分布考情风向标1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想2011年大纲卷第11题考查圆与圆的位置关系；2011年新课标卷第20题考查直线与圆的综合应用；2014年新课标卷第20题考查直线与圆的综合应用；2015年新课标卷第20题考查直线与圆的位置关系及向量运算从近几年的高考看，对这部分内容的考查呈上升的趋势，逐渐成为热点问题，要引起重视.预计2017年高考仍将以圆与圆、直线与圆的位置为主要考点，尤其是直线与圆的位置关系是重
2、中之重，备考时应特别关注利用圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断位置关系及有关计算的方法直线与圆的位置关系相交相切相离判断直线与圆的位置关系的方法几何法dr代数法0001.直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系内含内切相交外切 外离判断圆与圆的位置关系的方法(rR)dRr dRrRrdRr公切线条数012342.两圆的位置关系3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.|AB|1k2|xAxB|1k2xAxB24xAxB.4.圆的切线方
3、程常用结论 (1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2.1.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()BA.内切B.相交C.外切D.相离解析：两圆心之间的距离为 d 222012 17，两圆的半径分别为 r12，r23，则 r2r11d0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.解析：如图 D35，直线 3x4
4、y50 与圆 x2y2r2(r0)交于 A、B 两点，O 为坐标原点，且AOB120，则圆心(0,0)到直线 3x4y50 的距离为12r，5324212r，r2.图 D35答案：2(2)(2015 年重庆)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_.解析：由点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：x2y25，所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5 即 x2y50，故填：x2y50.答案：x2y50(3)(2015 年新课标)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|()答案：CA.2 6 B.8
5、 C.4 6 D.10解析：由已知，得 kAB321413，kCB27413，所以kABkCB1，所以 ABCB，即ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，2)，半径为 5，所以外接圆方程为(x1)2(y2)225，令 x0，得 y2 62.所以|MN|4 6.故选 C.【规律方法】(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法(根的判别式).(2)关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、弦长的一半所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公式求解.考点 2 圆与圆的位置关系 例2：(1)若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切，则实数m的取值集合是_.解析
6、：圆(xm)2y24 的圆心为 O1(m,0)，半径 r12，圆(x1)2(y2m)29 的圆心为 O2(1,2m)，半径 r23，两圆相切，|O1O2|r1r2 或|O1O2|r2r1.m122m25 或 m122m21.解得 m125 或 m2，或 m0 或 m25.实数 m 的取值集合是125，25，0，2.答案：125，25，0，2(2)(2011年大纲)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|()答案：C【规律方法】(1)判断圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆半径之间的关系；(2)两圆相切包括内切和外切，两圆相离包括外离和内含.A.4 B.4 2
7、C.8 D.8 2解析：由题意知圆心在直线 yx 上并且在第一象限，设圆心坐标为(a，a)(a0)，则 a a42a12，即 a210a170，所以由两点间的距离公式可求出|C1C2|2a1a224a1a2 21004178.【互动探究】C1.(2014年湖南)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0 外切，则 m()A.21B.19C.9D.11解析：圆 C1：x2y21 的圆心为(0,0)，r11，圆 C2：x2y26x8ym0，配方，得(x3)2(y4)225m，圆心为(3,4)，r2 25m.两圆外切，则圆心距 d 324251 25m，m9.考点 3 直线与圆的综合应用例3
8、：已知圆C：x2y2x6ym0和直线x2y30 相交于 P，Q 两点，若 OPOQ，求 m 的值.思维点拨：本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关 系、根与系数的关系及均值不等式等知识点.解：方法一，圆的圆心为 C12，3，设直线与圆的交点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x2y2x6ym0，x2y30.消去y，得5x210 x4m270.设 x1，x2 是方程的两个根，则x1x22，x1x24m275.OPOQ，kOPkOQ1，即y1x1y2x21，有 x1x2y1y20.又点 P，Q 在直线 x2y30 上，y1y214(3x1)(3x2)14x1x293x1x2，即54x1x2
9、9434(x1x2)m30.解得 m3.方法二，由直线 x2y30，得 3x2y.代入圆的方程 x2y2x6ym0，有 x2y213(x2y)(x6y)m9(x2y)20.整理，得(12m)x24(m3)xy(4m27)y20.故得(4m27)yx24(m3)yx(12m)0.kOP，kOQ 是上述方程的两根.故 kOPkOQ1，得 12m4m271，解得 m3.方法三，圆x122(y3)2374 m 的圆心为 C12，3，设弦 PQ 的中点为 M，CMPQ，则 CM 的斜率为 2.CM 的方程为 y32x12，即 y2x4.由方程组y2x4，x2y30，解得 M(1,2)，则以 PQ 为直径
10、的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，坐标原点在该圆上，即121 2(32)25374 m，解得 m3.则(01)2(02)2r25.在RtCMQ中，CM2MQ2CQ2，方法四，设过P，Q的圆系方程为x2y2x6ym(x2y3)0.由OPOQ知，点O(0,0)在圆上.m30，即m3.m3.圆的方程化为x2y2x6y3x2y30，即x2(1)xy22(3)y0.圆心 M12，3.又圆心 M 在 PQ 上，12 2(3)30.1.【规律方法】求解本题时，应避免去求P，Q 两点坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被
11、同学们忽略；方法一显示了解这类题的通法，方法二的关键在于但需要一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法一气呵成.依据直线方程构造出一个关于yx的二次方程，虽然有规律可循，【互动探究】2.(2015年新课标)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求 k 的取值范围；解：(1)由题设，可知直线 l 的方程为 yk(x1)，(2)OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k3k|1k2 1C.k1，或 k1，或 k1 或 k1 时，y 4x2与 ykx2 只有一个交点，即原方程只有一个解.故选 D.
12、图7-4-1答案：D【规律方法】(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法(根的判别式).(2)求弦长的两种方法：几何法：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，利用勾股定理、垂径定理求弦长.(3)本题还要注意，斜率不存在时直线 x30 也符合题意.代数法：弦长公式|AB|1k2|x1x2|.1.解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长l2、弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形，即 r2l22d2；(2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于 x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2或|
13、AB|11k2|y1y2|11k2 y1y224y1y2.2.过一点求圆的切线方程的方法.(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法.先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为形写出切线方程 xx0.1k，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在，则由图(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法.设斜率为 k，切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.注意过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏.特别当算出的 k 值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况.3.直线与圆相交求弦长的两种方法：(2)几何法：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，利用勾股定理、垂径定理求弦长.4.圆系方程.(1)代数法：弦长公式|AB|1k2|x1x2|.(1)设两圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(2)过圆C：x2y2DxEyF0和直线l：axbyc0的交点的圆系方程为x2y2DxEyF(axbyc)0.(3)过两圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(不表示圆C2).
