1、专题四高考中的数列问题1.公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,且3a1,a2,a3成等差数列,若a11,则S4_.答案20解析记等比数列an的公比为q,其中q1,依题意有2a23a1a3,2a1q3a1a1q20.即q22q30,(q3)(q1)0,又q1,因此有q3,S420.2.等比数列an的各项均为正数,且a5a6a4a718,则log3a1log3a2log3a10_.答案10解析等比数列an中,a5a6a4a7,又因为a5a6a4a718,a5a69,log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3(a5a6)5log3910.3
2、.若正项数列an满足lg an11lg an,且a2 001a2 002a2 003a2 0102 013,则a2 011a2 012a2 013a2 020的值为_.答案2 0131010解析由条件知lg an1lg anlg 1,即10,所以an为公比是10的等比数列.因为(a2 001a2 010)q10a2 011a2 020,所以a2 011a2 0202 0131010.4.已知数列an满足an12222n1,则an的前n项和Sn_.答案2n12n解析an12222n12n1,Sn(21222n)nn2n12n.5.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内
3、三个数,第四个括号内一个数,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),则第50个括号内各数之和为_.答案392解析将三个括号作为一组,则由501632,知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16696项,第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项,即为2981195,第二个数为2991197,故第50个括号内各数之和为195197392.故填392.题型一等差、等比数列的综合问题例1在等差数列an中,a1030,a2050.(1)求
4、数列an的通项公式;(2)令bn2an10,证明:数列bn为等比数列;(3)求数列nbn的前n项和Tn.思维启迪(1)设出数列an的通项公式,结合已知条件列方程组即可求解;(2)由(1)写出bn的表达式,利用定义法证明;(3)写出Tn的表达式,考虑用错位相减法求解.(1)解由ana1(n1)d,a1030,a2050,得方程组,解得.所以an12(n1)22n10.(2)证明由(1),得bn2an1022n101022n4n,所以4.所以bn是首项为4,公比为4的等比数列.(3)解由nbnn4n,得Tn14242n4n,4Tn142(n1)4nn4n1,得3Tn4424nn4n1n4n1.所以
5、Tn.思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列,其中公比等于1的等比数列也是等差数列.(2)等差数列和等比数列可以相互转化,若数列bn是一个公差为d的等差数列,则abn(a0,a1)就是一个等比数列,其公比qad;反之,若数列bn是一个公比为q(q0)的正项等比数列,则logabn(a0,a1)就是一个等差数列,其公差dlogaq.数列an的前n项和为Sn,若a12且SnSn12n(n2,nN*).(1)求Sn;(2)是否存在等比数列bn满足b1a1,b2a3,b3a9?若存在,求出数列bn的通项公式;若不存在,说明理由.解(1)因为SnSn12n,所以有SnSn12n对n2,nN*成立.即a
6、n2n对n2,nN*成立,又a1S121,所以an2n对nN*成立.所以an1an2对nN*成立,所以an是等差数列,所以有Snnn2n,nN*.(2)存在.由(1)知,an2n对nN*成立,所以有a36,a918,又a12,所以有b12,b26,b318,则3,所以存在以b12为首项,以3为公比的等比数列bn,其通项公式为bn23n1.题型二数列与函数的综合问题例2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f(x)6x2,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn对所有
7、nN*都成立的最小正整数m.思维启迪(1)先求出函数f(x),再利用n,Sn的关系求an.(2)可以利用裂项相消法求出Tn.通过Tn的取值范围确定最小正整数m.解(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0),则f(x)2axb.由于f(x)6x2,得a3,b2,所以f(x)3x22x.又因为点(n,Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上,所以Sn3n22n.当n2时,anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5;当n1时,a1S13122615,所以an6n5(nN*).(2)由(1)得bn,故Tn(1)()()(1).因此,要使(1)对nN*恒成立,则m必须且仅需满足,即m10.所
8、以满足要求的最小正整数为10.思维升华数列与函数的综合一般体现在两个方面:(1)以数列的特征量n,an,Sn等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系;(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)x22x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式;(2)设Qx|xkn,nN*,Rx|x2an,nN*,等差数列cn的任一项cnQR,其中c1是QR中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.解(1)点Pn(n,Sn)都在函数f(x)x22
9、x的图象上,Snn22n(nN*).当n2时,anSnSn12n1,当n1时,a1S13满足上式,所以数列an的通项公式为an2n1.(2)对f(x)x22x求导可得f(x)2x2.过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn,kn2n2,Qx|x2n2,nN*,Rx|x4n2,nN*.QRR.又cnQR,其中c1是QR中的最小数,c16,cn的公差是4的倍数,c104m6(mN*).又110c10cn成立.思维启迪(1)先求an,再构造等比数列求bn;(2)不等式cn1cn恒成立,可以转化为求函数的最值问题.解(1)由已知,得Sn2Sn1(Sn1Sn)1,所以an2an11(n1).又a2a11,
10、所以数列an是以a12为首项,1为公差的等差数列.所以ann1.又bn124(bn2),所以bn2是以4为首项,4为公比的等比数列.所以bn4n2.(2)因为ann1,bn4n2,所以cn4n(1)n12n1.要使cn1cn恒成立,需cn1cn4n14n(1)n2n2(1)n12n10恒成立,即34n3(1)n12n10恒成立.所以(1)n12n1恒成立.当n为奇数时,即2n1恒成立,当且仅当n1时,2n1有最小值1,所以2n1恒成立,当且仅当n2时,2n1有最大值2.所以2,结合可知2cn成立.思维升华数列中有关项或前n项和的恒成立问题,往往转化为函数的最值问题;求项或前n项和的不等关系可以
11、利用不等式的性质或基本不等式求解.(2013天津)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:Sn(nN*).(1)解设等比数列an的公比为q,因为2S2,S3,4S4成等差数列,所以S32S24S4S3,即S4S3S2S4,可得2a4a3,于是q.又a1,所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明由(1)知,Sn1n,Sn1n当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以SnS1.当n为偶数时,Sn随n的增大而减小,所以SnS2.故对于nN*,有Sn.(时间:80分钟)1.已知数列an的前n项和为Sn
12、,且满足:an2SnSn10(n2,nN),a1,判断与an是否为等差数列,并说明你的理由.解因为anSnSn1(n2),又因为an2SnSn10,所以SnSn12SnSn10(n2),所以2(n2),又因为S1a1,所以是以2为首项,2为公差的等差数列.所以2(n1)22n,故Sn.所以当n2时,anSnSn1,所以an1,而an1an.所以当n2时,an1an的值不是一个与n无关的常数,故数列an不是一个等差数列.综上,可知是等差数列,an不是等差数列.2.设数列an满足a10且1.(1)求an的通项公式;(2)设bn,记Snk,证明:Sn1.(1)解由题设1,即是公差为1的等差数列,又1
13、,故n.所以an1.(2)证明由(1)得bn,Snk1(m25m)对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合.(1)证明依题意,得a29a110100,故10.当n2时,an19Sn10,an9Sn110,两式相减得an1an9an,即an110an,10,故an为等比数列,且ana1qn110n(nN*),lg ann.lg an1lg an(n1)n1,即lg an是等差数列.(2)解由(1)知,Tn33(1).(3)解Tn3,当n1时,Tn取最小值.依题意有(m25m),解得1mm2,m,kN*),使得b1、bm、bk成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m、k的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列an的公差为d,则Snna1d.由已知,得即,解得所以ana1(n1)dn(nN*).(2)假设存在m、k(km2,m,kN*),使得b1、bm、bk成等比数列,则bb1bk,因为bn,所以b1,bm,bk,所以()2.整理,得k.以下给出求m、k的方法:因为k0,所以m22m10,解得1m1.因为m2,mN*,所以m2,此时k8.故存在m2,k8,使得b1、bm、bk成等比数列.6.已知数列an的前n项和Sn2an2n1.(1)证明:数列是等差数列;(2)若不等式2n2n30,所以不等式2n2n3,记bn,n2时,所以n3时1,(bn)maxb3,所以.