1、人教A数学必修四第二章 平面向量2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角天津市武清区河西务中学授课人：李春立人教A数学必修四第二章 平面向量一、回顾复习1、数量积的定义：2、投影：3、数量积的几何意义：ab=|a|b|cos|b|cos叫做向量b在向量a方向上的投影ab等于a的长度|a|与向量b在向量a方向上的投影 _的乘积|b|cos4.向量数量积的运算律(1)ab_(交换律)(2)(a)b_(结合律)(3)(ab)c_(分配律)ba(ab)a(b)acbc人教A数学必修四第二章 平面向量5.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(1)ab_(2)当a与b同向时，ab
2、_，当a与b反向时，ab_(3)aa_或|a|aa a2.(4)cos _(5)|ab|_|a|b|.ab0|a|b|a|b|ab|a|b|a|2人教A数学必修四第二章 平面向量学习导航预习目标重点难点 重点：平面向量数量积的坐标表示难点：利用坐标形式解决向量垂直、向量夹角等问题人教A数学必修四第二章 平面向量探究一：向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示ab呢?a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2=x1x2+y1y2两个向量的数量积
3、等于它们对应坐标乘积的和单位向量i,j分别与x轴,y轴方向相同i i=_,j j=_,i j=_,j i=_.1100YA（x1,y1）aB(x2，y2)bOijX人教A数学必修四第二章 平面向量求热身1:已知(1,3 )，(2,2 3 ),abba解：1(2)3234;ab练习：则),4,3(),1,3(),2,1(cba_)(cba(13,26)人教A数学必修四第二章 平面向量探究二：向量的模和两点间的距离公式向量的模(长度)设a=(x，y),则|a|2=或|a|=_22yx 22yx 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AB|=_221221)()(yyxx两点间距离公式人教A数
4、学必修四第二章 平面向量求|,|热身2:已知(1,3 )，(2,2 3 ),abab12(3 )22,a(2)2(23 )2 4,b(3,3)ab|a b22|3(3)122 3ab 人教A数学必修四第二章 平面向量探究三：向量垂直与平行的坐标表示向量垂直的坐标表示(x1，y1)，(x2，y2)，则ab0a bab1 2120 x xy y向量平行的坐标表示(0/)abab b12210 x yx y人教A数学必修四第二章 平面向量热身3：且起点坐标为(1,2)终点坐标为(x,3x),则,),4,3(abab_b练习：已知a(5,0)，b(3.2,2.4),求证：(ab)b.(ab)babb2
5、5(3.2)02.4(3.2)22.420证明：(ab)b4115 5（，）人教A数学必修四第二章 平面向量探究四：两向量夹角公式的坐标运算设a、b是两个非零向量，其夹角为，若a(x1，y1),b(x2，y2)，那么cos 如何用坐标表示？222221212121cosyxyxyyxxbaba人教A数学必修四第二章 平面向量热身4:已知a(1，3 )，b(2，2 3 ),求a与b的夹角.60214241243132321cos）（baba人教A数学必修四第二章 平面向量典 题 例 证 技 法 归 纳 题型探究 例1已知向量a(3，1)，b(1，2)，求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)(a
6、b)(ab)数量积的坐标运算 人教A数学必修四第二章 平面向量已知向量a(3，1)，b(1，2)，求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)(ab)(ab)【解】(1)a(3，1)，b(1，2)，ab31(1)(2)325.(2)ab(3，1)(1，2)(4，3)，(ab)2|ab|242(3)225.(3)a(3，1)，b(1，2)，a232(1)210，b212(2)25，(ab)(ab)a2b21055.【名师点评】向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来 人教A数学必修四第二章 平面向量互动探究1.在本例中若条件不变，又知c(2，1)，又如何求(b
7、c)a的值呢？向量a(3，1)，b(1，2)，解：(bc)a(1，2)(2，1)(3，1)1(2)(2)1(3，1)(4)(3，1)(12，4)人教A数学必修四第二章 平面向量已知a(1，2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角 两个向量的夹角问题例2人教A数学必修四第二章 平面向量【解】设 a 与 b 的夹角为，|a|1222 5，|b|1 2，ab12.(1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 ab，所以 ab0，所以 120，即 12.(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos 0 且 cos 1
8、，所以 ab0 且 a 与 b 不反向 人教A数学必修四第二章 平面向量由 ab0 得 120，故 0，且 cos 1，所以 ab0 且 a，b 不同向 由 ab0 得 12，由 a 与 b 不同向得 2.所以 的取值范围为12，2(2，)人教A数学必修四第二章 平面向量【名师点评】利用数量积求两向量夹角的步骤 利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积 利用|a|x2y2计算出这两个向量的模 由公式 cos x1x2y1y2x21y21 x22y22直接求出cos 的值 在 0 内，由 cos 的值求角.人教A数学必修四第二章 平面向量两向量垂直的坐标运算例3(本题满分 10 分
9、)已知在ABC 中，A(2，1)，B(3，2)，C(3，1)，AD 为 BC边上的高，求|AD|与点 D 的坐标人教A数学必修四第二章 平面向量BD(x3，y2)，D 在直线 BC 上，即BD 与BC 共线，(x3)(-3)(-6)(y2)，即 x2y10【解】设 D 点坐标为(x，y)，则AD(x2，y1)，BC(6，3)，人教A数学必修四第二章 平面向量又ADBC，AD BC 0.即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0.即 2xy30.由可得x1y1，|AD|（12）2（11）2 5，即|AD|5，点 D 的坐标为(1，1).人教A数学必修四第二章 平面向量变式训练2.已知点
10、A(1，2)和B(4，1)，问能否在y轴上找到一点C，使ACB90，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标 解：假设存在点 C(0，y)使ACB90，则AC BC.AC(1，y2)，BC(4，y1)，AC BC，AC BC 4(y2)(y1)0，y2y20.而在方程 y2y20 中，0，方程无实数解，故不存在满足条件的点 C.人教A数学必修四第二章 平面向量备选例题 1.已知平行四边形 OABC 中(O 为坐标原点)，OA(2，1)，OC(1，2)，则OB AC 等于()A0 B2C4 D5解析：选 A.OB OA OC(21，12)(3，3)，AC OC OA(12，21)(1，1)，OB
11、 AC3(1)310.人教A数学必修四第二章 平面向量解：atb(4，3)t(2，1)(42t，t3)(atb)b(42t，t3)(2，1)5t5.|atb|（42t）2（t3）2 5（t1）220.2.设a(4，3)，b(2，1)，若atb与b的夹角为45，求实数t的值 人教A数学必修四第二章 平面向量由(atb)b|atb|b|cos45，得 5t55 22 （t1）24，即 t22t30.t3 或 t1，经检验 t3 不合题意，舍去，t1.人教A数学必修四第二章 平面向量3.已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1，0)，e2(0，1)(1)试计算ab与|ab|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值解：(1)ae1e2(1,0)(0,1)(1,1),b4e13e24(1，0)3(0，1)(4，3)，得ab413(1)1，人教A数学必修四第二章 平面向量|ab|（41）2（31）225429.(2)由 ab|a|b|cos，得 cos ab|a|b|125 210.人教A数学必修四第二章 平面向量小结1.向量数量积的坐标表示2.向量模的计算3.平面内两点间的距离公式.4.向量垂直的等价条件人教A数学必修四第二章 平面向量
