1、学案18三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性自主梳理1周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定域内的每一个x值，都满足_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数_叫做这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期2三角函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域值域周期性奇偶
2、性单调性在_上增，在_上减在_上增，在_上减在定义域的每一个区间_内是增函数对称性对称中心(k，0)(kZ)(k，0)(kZ)(，0)(kZ)对称轴xk，(kZ)xk，(kZ)无自我检测1设点P是函数f(x)sin x(0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是_2函数y32cos(x)的最大值为_，此时x_.3函数ytan(x)的定义域是_4比较大小：sin()_sin()5如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为_探究点一求三角函数的定义域例1求函数y的定义域变式迁移1函数ylg(2sin x1)的定义域为_探究点二
3、三角函数的单调性例2求函数y2sin的单调区间变式迁移2(1)求函数ysin，x，的单调递减区间；(2)求函数y3tan的周期及单调区间探究点三三角函数的值域与最值例3已知函数f(x)2asin(2x)b的定义域为0，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值变式迁移3设函数f(x)acos xb的最大值是1，最小值是3，试确定g(x)bsin(ax)的周期转化与化归思想例(14分)求下列函数的值域：(1)y2sin2x2cos x2；(2)y3cos xsin x，x0，；(3)ysin xcos xsin xcos x.【答题模板】解(1)y2sin2x2cos x22cos2x2cos
4、x2(cos x)2，cos x1,1当cos x1时，ymax4，当cos x时，ymin，故函数值域为，44分(2)y3cos xsin x2cos(x)x0，x，ycos x在，上单调递减，cos(x)，y3，故函数值域为，39分(3)令tsin xcos x，则sin xcos x，且|t|.yt(t1)21，当t1时，ymin1；当t时，ymax.函数值域为1，14分【突破思维障碍】1对于形如f(x)Asin(x)，xa，b的函数在求值域时，需先确定x的范围，再求值域同时，对于形如yasin xbcos xc的函数，可借助辅助角公式，将函数化为ysin(x)c的形式，从而求得函数的最
5、值2关于yacos2xbcos xc(或yasin2xbsin xc)型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域1熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)2三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题3函数yAsin(x) (A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看作一个整体，利用ysin x的单调区间来求(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1函数yAsin(
6、x) (A，为常数，A0，0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_.2(2010江苏6校高三联考)已知函数ytan x (0)与直线ya相交于A、B两点，且|AB|最小值为，则函数f(x)sin xcos x的单调增区间是_3(2011江苏四市联考)若函数f(x)2sin x(0)在，上单调递增，则的最大值为_4把函数ycos(x)的图象向左平移(0)个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是_5关于函数f(x)4sin(2x)(xR)有下列命题：(1)由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍；(2)yf(x)的表达式可改写为y4cos(2x)；(3)yf(x)的图象关于点(，0)对称；(
7、4)yf(x)的图象关于x对称其中正确命题的序号是_(把你认为正确的命题序号都填上)6(2011泰州调研)定义函数f(x)给出下列四个命题：该函数的值域为1,1；当且仅当x2k(kZ)时，该函数取得最大值；该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当2kx2k(kZ)时，f(x)0)与g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)当x0，时，f(x)的最小值为2，求a的值10(14分)已知函数f(x)，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性11(14分)(2010宿迁高三二模)已知向量a(sin x，2sin x)，b(
8、2cos x，sin x)，定义f(x)ab.(1)求函数yf(x)，xR的单调递减区间；(2)若函数yf(x) (05.课堂活动区例1解题导引求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可解要使函数有意义，则得所以函数的定义域为.变式迁移1，kZ解析由题意得，解得，即x，kZ.例2解题导引求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0)时，所列不等式的方向与y
9、sin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)解方法一y2sin化成y2sin.ysin u(uR)的递增、递减区间分别为 (kZ)、(kZ)，令2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，令2kx2k (kZ)，解得2kx2k (kZ)函数y2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为(kZ)、 (kZ)方法二y2sin可看作是由y2sin u与ux复合而成的又ux为减函数，由2ku2k(kZ)，即2kx2k (kZ)，得2kx2k (kZ)，即(kZ)为y2sin的递减区间由2ku2k (kZ)，即2kx2k (kZ)，得2kx2k (kZ)，即(kZ)为y2s
10、in的递增区间综上可知，y2sin的递增区间为(kZ)；递减区间为 (kZ)变式迁移2解(1)由ysin，得ysin，由2k2x2k得kxk，kZ，又x，x，x，x.函数ysin，x，的单调递减区间为，.(2)函数y3tan的周期T4.由y3tan得y3tan，由kk得4kx0，则，解得；若a0，则，解得；若a0，则，解得.所以g(x)sin(2x)或g(x)sin(2x)，周期为.课后练习区13解析由图可知，T，3.2. (kZ)3.4.解析向左平移个单位后的解析式为ycos(x)，当k(kZ)时，函数ycos(x)为偶函数，k(kZ)当k2时，min.5(2)(3)解析(1)不正确可举反例
11、，如f()f()0但.(2)正确y4sin(2x)4cos(2x)4cos(2x)4cos(2x)(3)正确f()0，yf(x)的图象与x轴交于(，0)点(4)不正确f()既不是y的最大值也不是y的最小值故答案为(2)(3)61解析当2kx2k(kZ)时，sin xcos x，所以f(x)sin x，f(x)，1；x2k(kZ)时，该函数取得最大值；当且仅当2kx2k(kZ)时，f(x)0.当2kx2k(kZ)时，sin xcos x，所以f(x)cos x，f(x)，1；x2k(kZ)时，该函数取得最大值；当且仅当2kx2k(kZ)时，f(x)0.综合得：错误，正确，周期还是2，所以错误74
12、解析由f(x1)f(x)f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，而当2k，即x8k2 (kZ)时，f(x)取最小值；而2k，即x8k2 (kZ)时，f(x)取最大值，|x1x2|的最小值为4.8.解析线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x5tan x，x，解得sin x.所以线段P1P2的长为.9解(1)f(x)和g(x)的对称轴完全相同，二者的周期相同，即2，f(x)2sin(2x)a，(3分)f(x)的最小正周期T. (5分)(2)当2k2x2k，即kxk(kZ)时，函数f(x)单调递减，故函数f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)(10
13、分)(3)当x0，时，2x，(12分)当x时，f(x)取得最小值，2sin(2)a2，a1.(14分)10解由题意知cos 2x0，得2xk，解得x (kZ)f(x)的定义域为xR|x，kZ(4分)又f(x)cos2x1sin2x，(8分)又定义域关于原点对称，f(x)是偶函数(10分)显然sin2x1,0，又x，kZ，sin2x.原函数的值域为.(14分)11解f(x)2sin xcos x2sin2xsin 2x2sin 2xcos 2x2sin.(4分)(1)令2k2x2k，kZ解得单调递减区间是，kZ.(8分)(2)f(x)2sin.根据三角函数图象性质可知，yf(x) 在x0处取最值，sin1，2k，kZ.(12分)又0，解得.(14分)
