1、湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“任意xR，都有x2+x+10”的否定为（）A对任意xR，都有x2+x+10B不存在xR，都有x2+x+10C存在x0R，使得x02+x0+10D存在x0R，使得x02+x0+102（5分）已知命题：p：对任意xR，总有|x|0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq3（5分）设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必
2、要条件D既不充分也不必要条件4（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）ABCy=1Dy=25（5分）双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A2B2C4D46（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=17（5分）过双曲线C：=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=18（5分）已知y=x3+bx2+（b
3、+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（）Ab1或b2Bb2或b2C1b2D1b29（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A3BCD10（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A2个B1个C3个D4个11（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x）且f（0）=1，则不等式1的解为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）12（5分）（平）若二次函数y=ax2+bx+c（
4、ac0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，4）则点（b，c）所在曲线为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）命题“若x0，则x20”的否命题是14（5分）函数y=lnxx的递增区间是15（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点若线段AB的中点坐标为（1，1），则椭圆的方程为16（5分）若函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤17（10分）直线y=x4与
5、抛物线y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求ABF的面积18（12分）已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围19（12分）已知函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|c，求实数c的最小值20（12分）已知A（2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，APB面积的最大值为2（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线AP的倾斜角为，且与
6、椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明21（12分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知P（4，0），过P的直线与椭圆交于M、N两点（）求椭圆C的方程 （）求的取值范围22（12分）已知函数f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函数f （x）的单调区间；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范围湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
7、有一项是符合题目要求的1（5分）命题“任意xR，都有x2+x+10”的否定为（）A对任意xR，都有x2+x+10B不存在xR，都有x2+x+10C存在x0R，使得x02+x0+10D存在x0R，使得x02+x0+10考点：命题的否定；全称命题 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特此命题即可得到结论解答：解：命题为全称命题，命题的否定是存在x0R，使得x02+x0+10，故选：D点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2（5分）已知命题：p：对任意xR，总有|x|0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq考点：复合命题的真假 专题：简易逻
8、辑分析：判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论解答：解：根据绝对值的性质可知，对任意xR，总有|x|0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=30，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则pq，为真命题，故选：A点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础3（5分）设条件p：a0；条件q：a2+a0，那么p是q的（）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：条件q：a2+
9、a0，解得a0，或a1，由于条件p：a0，所以p是q的充分不必要条件故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础4（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）ABCy=1Dy=2考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：将抛物线方程化为标准方程，由抛物线x2=2py的准线方程为y=，计算即可得到所求准线方程解答：解：抛物线y=x2即为x2=4y，由抛物线x2=2py的准线方程为y=，可得x2=4y的准线方程为y=1故选：C点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程，属于基础题5（5分）双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为
10、2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A2B2C4D4考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论解答：解：=1（a0，b0）的离心率为2，e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bxay=0，则c=2a，b=，焦点F（c，0）到渐近线bxay=0的距离为，d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C点评：本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础6（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2
11、的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程解答：解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选：A点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）过双曲线C：=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为
12、圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=1考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程解答：解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令x=a，则y=b，即A（a，b），右焦点F（4，0），|FA|=4，（a4）2+b2=16，a2+b2=16，a=2，b=2，双曲线C的方程为=1故选：A点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题8（5分）已知y=x3+bx
13、2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（）Ab1或b2Bb2或b2C1b2D1b2考点：函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质 分析：三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题解答：解：已知y=x3+bx2+（b+2）x+3y=x2+2bx+b+2，y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，x2+2bx+b+20恒成立，0，即b2b20，则b的取值是1b2故选D点评：本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题，属于基础题9（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则
14、点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A3BCD考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PM|MF|，再求出|MF|的值即可解答：解：依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则F（，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|MF|=即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B点评：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数
15、学思想10（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A2个B1个C3个D4个考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值解答：解：如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，在点B的左侧f（x）0，右侧f（x）0，且f（xB）=0函数f（x）在点B处取得极小值故选：B点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理
16、能力，属于基础题11（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x）且f（0）=1，则不等式1的解为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论解答：解：设F（x）=，则F（x）=，f（x）f（x），F（x）0，即函数F（x）在定义域上单调递减f（0）=1，不等式1等价为F（x）F（0），解得x0，故不等式的解集为（0，+）故选：B点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键12（5分）（平
17、）若二次函数y=ax2+bx+c（ac0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，4）则点（b，c）所在曲线为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线考点：轨迹方程；二次函数的性质 专题：综合题分析：确定以线段PQ为直径的圆的圆心坐标，利用|CM|=|CQ|，及二次函数y=ax2+bx+c（ac0）图象的顶点坐标，化简，即可求得点（b，c）所在曲线解答：解：由题意，以线段PQ为直径的圆的圆心坐标为C，则由|CM|=|CQ|，可得二次函数y=ax2+bx+c（ac0）图象的顶点坐标为，b24ac=1b2+64a2=1，a=c2+4b2=4b2
18、+=1点（b，c）所在曲线为椭圆故选B点评：本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，解题的关键是建立等式|CM|=|CQ|，正确化简二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）命题“若x0，则x20”的否命题是若x0，则x20考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：利用“否命题”的定义即可得出解答：解：命题“若x0，则x20”的否命题是：“若x0，则x20”故答案为：若x0，则x20点评：本题考查了“否命题”的定义，属于基础题14（5分）函数y=lnxx的递增区间是（0，1考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用分析：利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可解答：解：函数的定义域
19、为（0，+），y=1=，由0得0x1，故函数的单调递增区间是（0，1填（0，1）也给满分故答案为：（0，1点评：本题考查利用导数求函数的单调区间知识，属基础题15（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点若线段AB的中点坐标为（1，1），则椭圆的方程为考点：椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减可得，线
20、段AB的中点坐标为（1，1），=，直线的斜率为=，=，右焦点为F（3，0），a2b2=9，a2=18，b2=9，椭圆方程为：故答案为：点评：本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题16（5分）若函数f（x）=x2lnx+1在其定义域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：求f（x）的定义域为（0，+），求导f（x）=2x=；从而可得（a1，a+1）；从而求得解答：解：f（x）=x2lnx+1的定义域为（0，+），f（x）=2x=；函数f（x）=x2lnx+1在其定义
21、域内的一个子区间（a1，a+1）内存在极值，f（x）=2x=在区间（a1，a+1）上有零点，而f（x）=2x=的零点为；故（a1，a+1）；故a1a+1；解得，a；又a10，a1；故答案为：点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤17（10分）直线y=x4与抛物线y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求ABF的面积考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线交x轴于C（4，0），知F（1，0），|FC|=3，则SABF=，联立方程组可解得y1，y2，从而
22、得|y2y1|，代入公式即可求得答案解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线交x轴于C（4，0），知F（1，0），|FC|=3，由得y24y16=0，解得y=，|y2y1|=4，SABF=点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力18（12分）已知命题p：|4x|6，q：x22x+1a20（a0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法 专题：计算题分析：先解不等式分别求出p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围解答：解：p：|4
23、x|6，x10，或x2，A=x|x10，或x2q：x22x+1a20，x1+a，或x1a，记B=x|x1+a，或x1a而pq，AB，即，0a3点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断和应用，解题的关键是正确求解不等式19（12分）已知函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|c，求实数c的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）由题意可得，解得即可（2）利用导数求出此
24、区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|c，求出即可解答：解：（1）函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR），f（x）=3ax2+2bx3函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0，切点为（1，2），即，解得f（x）=x33x（2）令f（x）=0，解得x=1，列表如下：由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值，且f（1）=2；当x=1时，函数f（x
25、）取得极小值，且f（1）=2又f（2）2，f（2）=2f（x）=x33x在区间2，2上的最大值和最小值分别为2，2对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=|2（2）|=4c即c得最小值为4点评：熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键20（12分）已知A（2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，APB面积的最大值为2（I）求椭圆C的标准方程；（）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明考点：直
26、线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由题意可设椭圆C的方程为（ab0），F（c，0）由题意知，解得即可得出（II）以BD为直径的圆与直线PF相切由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=x2则点D坐标为（2，4），BD中点E的坐标为（2，2），圆的半径r=2直线AP的方程与椭圆的方程联立可得7x2+16x+4=0可得点P的坐标可得直线PF的方程为：4x3y4=0利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d只要证明d=r解答：解：（）由题意可设椭圆C的方程为（ab0），F（c，0）由题意知，解得故椭圆C的方程为（）以BD为直径的圆与直线PF相切证明如
27、下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=x2则点D坐标为（2，4），BD中点E的坐标为（2，2），圆的半径r=2由得7x2+16x+4=0设点P的坐标为（x0，y0），则点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x3y4=0点E到直线PF的距离d=2d=r 故以BD为直径的圆与直线PF相切点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（12分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知P（4，0），过P的直
28、线与椭圆交于M、N两点（）求椭圆C的方程 （）求的取值范围考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由题意知，又a2=b2+c2联立解出即可（II）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x4）与椭圆方程联立可得（2k2+1）x216k2x+32k24=0由于0，可得设点M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系及其数量积运算可得=x1x2+y1y2=22，即可得出解答：解：（）由题意知，又a2=b2+c2解得，故椭圆C的方程（）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x4）由得（2k2+1）x216k2x+32k24=0，设点M（
29、x1，y1），N（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x14）（x24）=k2x1x24（x1+x2）+16=，=x1x2+y1y2=22，点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得0及其根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（12分）已知函数f （x）=axex（aR），g（x）=（I）求函数f （x）的单调区间；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）f（x）=aex，xR对a分类讨论
30、，利用导数研究函数的单调性即可得出；（）由x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，即a设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出解答：解：（）f（x）=aex，xR当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递减；当a0时，令f（x）=0得x=lna由f（x）0得f（x）的单调递增区间为（，lna）；由f（x）0得f（x）的单调递减区间为（lna，+）（）x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，则，即a设h（x）=，则问题转化为a，由h（x）=，令h（x）=0，则x=当x在区间（0，+） 内变化时，h（x）、h（x）变化情况如下表：xh（x）+0h（x）单调递增极大值单调递减由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
