1、专题综合检测六时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013江南十校联考)设i是虚数单位，则复数()A.B.C. D1i答案C解析i，选C.2已知a1、a2(1，)，设P，Q1，则P与Q的大小关系为()APQ BP1，a21，PQ()(1)0，P0且b0且b0，则a2b22|ab|2ab，2；若2，则ab0且b0不一定成立，故选A.6(2013大兴区模拟)执行如图所示的程序框图，若n4，则输出s的值是()A42 B21C11 D43答案C解析程序运行过程依次为：n4S1，i1，in成立S1(2)1
2、1，i112，in仍成立S1(2)23，i213，in仍成立S3(2)35，i314，in仍成立S5(2)411，i415，in不成立输出S的值11后结束7已知a、b分别为直线yx1的斜率与纵截距，复数z在复平面上对应的点到原点的距离为()A1B2C4D.答案B解析由已知得，a1，b1，z2i，故复数z在复平面上对应的点的坐标为(0，2)，所求距离为2，选B.8(文)(2013保定市一模)已知x、y满足不等式组，则z2xy的最大值与最小值的比值为()A. B.C. D2答案D解析作出可行域如图，作直线l0：2xy0，平移l0当经过点A时，zmin3，当经过点C时，zmax6，所求比值为2.(理
3、)(2013西城区月考)设实数x，y满足条件则y4x的最大值是()A4 BC4 D7答案C解析作出可行域如图，令y4xz，则当直线y4xz经过点A(1,0)时，zmax4.9(文)(2013和平区模拟)在如图所示的计算1352013的程序框图中，判断框内应填入()Ai1007 Bi2011Ci20不成立n011，p1(1)22，p20不成立n112，p2(2)26，p20不成立n213，p6(3)215，p20不成立n314，p15(4)231，此时p20成立，输出p的值31后结束10(文)已知点An(n，an)(nN*)都在函数f(x)logax(a0且a1)的图象上，则a2a10与2a6的
4、大小关系为()Aa2a102a6Ba2a101，ylogax为增函数，则loga20loga36，a2a102a6，若0a2a6，故选D.(理)(2012云南宣威二中模拟)ABC满足2，BAC30，设M是ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)(x，y，z)，其中x、y、z分别表示MBC、MCA、MAB的面积，若f(M)(x，y，)，则的最小值为()A9B8C18 D16答案C解析2，BAC30，|4，SABCABACsin30|sin301，f(M)(x，y，)，xySMBCSMCASMABSABC1，xy，()2(xy)2(5)2(52)18，等号在，即x，y时成立11(文)(2012济
5、宁模拟)已知复数z的实部为1，虚部为1，则表示的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析z1i，则i，则对应点在第二象限(理)(2013湖北理，1)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析zi(1i)1i，1i.其对应的点位于第四象限故选D.12(2013耀华中学月考)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)且2，则称A3、A4调和分割A1A2.已知点C(c,0)、D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB
6、的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上答案D解析由(R)，(R)知：四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上，因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，且2，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上)13(2012浙江温州测试)若不等式1ax2bxc1的解集为(1,3)，则实数a的取值范围是_答案(，)解析当a0时，存在b，c，使得相应的不等式1ax2bxc0时，依题意得，1与3是方程ax2bxc1的两根，且ax2bxc1恒成立，于是有，解得0a；当a0时，依题意得，1与3是
7、方程ax2bxc1的两根，且ax2bxc1恒成立，于是有，解得an0，p)上，椭圆的离心率是e，则.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题_答案在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线1(mn0，p)上，双曲线的离心率是e，则.解析由已知命题，根据类比推理可得出答案15(文)(2013陕西文，13)观察下列等式：(11)21；(21)(22)2213；(31)(32)(33)23135；照此规律，第n个等式可为_答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n1到nn，等式右端是积式，第一项是2n，后面是
8、等差数列2n1的前n项的乘积，故第n个等式为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(理)(2013福建理，15)当xR，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn，从而得到如下等式：1()2()3()n1ln2，请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：CC()2C()3C()n1_.答案()n11解析令f(x)CxCx2Cx3Cxn1，则f(x)CCxCx2Cxn(1x)n，由Cx0CxCxn(1x)n两边积分得，16(文)某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是_答案解析程序运行过程依次为k1，S0，k5成立S0，k112，k5成立S，k213，k5成立S，k314，k5成立S，k4
9、15，此时k105y278105173.又173105，y173105681loga(x)(a0，a1)解析原不等式等价于loga(x2x2)loga(ax2)当a1时，式可化为即亦即xa1.当0a1时，原不等式的解集为x|xa1；当0a1时f(x)0.(1)试判断f(x)的单调性；(2)若f(4)1，解关于x的不等式f()f(3x)x1，则1，f()f(x2)f(x1)0，故f(x2)f(x1)，所以f(x)在区间(0，)上是增函数(2)令xy1，则f()f(1)f(1)0，又f()f(1)f(4)011，由f()f(3x)1，得f()f(3x)f()(*)又因f()f(x)f(y)等价于f
10、()f(y)f(x)，因此由(*)得(3x)(0x3)，解得x0，数列H(n)单调递增，nN*时，H(n)H(1)，故p.P的最大值为.(理)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2012是第几行的第几个数？(4)是否存在nN*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227213120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由解析(1)第n1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2.(3)2101024,
11、2112048,102420120时，m2xexxx23mx(exx1)1.设h(x)exx1，h(x)ex10，h(x)在(0，)递增，h(x)h(0)0，g(x)x(exx1)11，从而m1，实数m的取值范围为(，1一、选择题1(2012青岛质检)已知复数z，则复数z的共轭复数为()A1i B1iC1i D1i答案A解析由已知得z1i，故其共轭复数1i.2(文)(2012河南商丘二模)函数f(x)x3()x2的零点所在区间为()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案C解析f(0)40，f(1)10，故选C.(理)(2012广东六校联合体联考)函数f(x)ln(x1)的零点
12、所在的大致区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析利用排除法解题由题知，函数f(x)ln(x1)的定义域为(1,0)(0，)而四个选项均在定义域内，故无法排除选项又f(1)0，所以可知函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是(1,2)3(2013天津十二区县联考)阅读下图的程序框图，则输出的S()A14 B30C20 D55答案B解析程序运行过程依次为S0，i1，S0121，i112，i4不成立，S1225，i213，i4不成立，S53214，i314，i4不成立S144230，i415，此时i4成立，输出S的值30后结束，故选B.4(2012沈阳市模拟)
13、若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1B2C1或2D1答案B解析(a23a2)(a1)i是纯虚数，a2.故选B.5(2013泗县双语中学模拟)不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为()A2 B1 C0 D1答案D解析由于不等式组表示面积为1的直角三角形区域，直线ykx与直线x1垂直或与直线xy40垂直，再由围成面积为1的直角三角形区域知k1.6(2013新课标文，12)若存在正数x使2x(xa)x()x(x0)，令f(x)x()x，则f(x)在(0，)上为增函数，f(x)minf(0)1，a1，故选D.7(2013浙江理，5)某程序框图如图所示，若该程序运行后
14、输出的值是，则()Aa4 Ba5 Ca6 Da7答案A解析由框图的变化规律可知k1234S故a应取4.8(2012青岛模拟)已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“a1”是“点M在第四象限”的()A充要条件 B必要而不充分条件C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析由于z(a2i)(1i)(a2)(a2)i，其对应的点M(a2，a2)位于第四象限的充要条件为2a3成立，输出S值为64.(理)(2013江西八校联考)一个算法的程序框图如下，则其输出结果是()A0 B. C.1 D.1答案B解析依程序框图可知，Ssinsinsinsin251(s
15、insinsin)(sinsinsin)2510(101)，故选B.11(2013求知中学月考)已知x、yR，且满足，则x2y26x的最小值等于()A B4 C0 D1答案A解析作出可行域如图，x2y26x(x3)2y29表示平面区域ABC内的点到点P(3,0)距离的平方减去9，由于|PA|，P到直线yx的距离d，x2y26x，故选A.12(文)(2012东北三校模拟)如图，三棱锥ABCD的底面是等腰直角三角形，AB平面BCD，ABBCBD2，E是棱CD上的任意一点，F、G分别是AC、BC的中点，则在下面的命题中：平面ABE平面BCD，平面EFG平面ABD，四面体FECG的体积最大值是，真命题
16、的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析AB平面BCD，AB平面ABE，平面ABE平面BCD，为真命题；F、G分别为AC、BC中点，FGAB，E为棱CD上任意一点，GE与BD不一定平行，因此平面EFG平面ABD不一定成立，为假命题；FG平面ECG，且FG1为定值，故当EGC的面积最大时，四面体FECG的体积最大，故当E与D重合时，体积取最大值，此时VSGCD1(12)1，故为真命题，选C.(理)(2012洛阳示范高中联考)定义maxa，b，已知实数x、y满足|x|1，|y|1，设zmaxxy,2xy，则z的取值范围是()A，2 B，2C，3 D，3答案D解析由xy2xy得x2y，z，不等式
17、组及表示的平面区域分别为正方形BCEF，被直线AD：x2y分开所成的两部分，作直线l1：xy0和直线l2：2xy0，平移l1可知在平面区域ADEF内zxy在A(1，)处取最小值，在E(1,1)处取最大值，z2；平移l2可知在平面区域ABCD内的点A(1，)处z2xy取最小值，在点C(1，1)处z2xy取最大值，z3，综上知，z的取值范围是z3，故选D.点评作为选择题可在正方形BCEF内取点检验，例如取点C(1，1)，则xy0,2xy3，z3，排除A、B；取B(1，1)，则xy2,2xy1，z1，排除C，故选D.二、填空题13(2012云南宣威二中模拟)已知三个不同的平面、，a、b、c分别为平面
18、、内的直线，若且与相交但不垂直，则下列命题为真命题的是_b，b b，ba，a a，ac，c c，c答案解析当al(l为与的交线)时，a，故为真命题；当c，cm(m为与的交线)时，c，故为真命题，其他为假命题14(2013石家庄市模拟)复数(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_答案1解析，1a0，a1.15(文)(2013北京东城区模拟)不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为_，zxy的最大值为_答案22解析作出区域D如图，其面积S222，当直线zxy过点A(2,0)时，zmax2.(理)如果直线axby50(a0，b0)和函数f(x)mx11(m0，m1)的图象恒过同一个定点，且该定
19、点始终落在圆(xa1)2(yb)2的内部或圆上，那么的取值范围是_答案，解析根据指数函数的性质，可知函数f(x)mx11(m0，m1)恒过定点(1,2)，将点(1,2)代入axby50，可以得到a2b5.对作如下变形：.由于(1,2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a2(b)2.由解得或这说明点(a，b)在以A(1,2)和B(3,1)为端点的线段上运动，所以的取值范围是，2，从而的取值范围是2，进一步可以推得的取值范围是，点评对于指数函数恒过定点的问题，就是让幂指数为零，则函数值必然为1.同时对于点在圆内和圆上的文字语言，只有准确翻译为符号语言，才能得到a，b的关系式，进一步求解后面的问题另外
20、，我们得到a，b表达式后，能否利用，来表示的范围，即为所求的结果，这个是难点，体现了数学中的转化思想的运用16(文)(2013武汉市模拟)设M1(0,0)，M2(1,0)，以M1为圆心，|M1M2|为半径作圆交x轴于点M3(不同于M2)，记作M1；以M2为圆心，|M2M3|为半径作圆交x轴于点M4(不同于M3)，记作M2；以Mn为圆心，|MnMn1|为半径作圆交x轴于点Mn2(不同于Mn1)，记作Mn；当nN*时，过原点作倾斜角为30的直线与Mn交于An，Bn.考察下列论断：当n1时，|A1B1|2；当n2时，|A2B2|；当n3时，|A3B3|；当n4时，|A4B4|；由以上论断推测一个一般
21、的结论：对于nN*，|AnBn|_.答案解析当n4时，圆心为M4(3,0)，又点M5(5,0)，所以半径为|M4M5|8.故圆心M4(3,0)到直线yx的距离为d，故|A4B4|22.因为|A1B1|，|A2B2|，|A3B3|，|A4B4|，由归纳推理得|AnBn|.(理)(2013合肥市质检)先阅读第(1)题的解法，再解决第(2)题：(1)已知a(3,4)，b(x，y)，ab1，求x2y2的最小值解：|ab|a|b|15x2y2，故x2y2的最小值为.(2)已知实数x，y，z满足：2x3yz1，则x2y2z2的最小值为_答案解析设a(2,3,1)，b(x，y，z)，则ab1，因为|ab|a
22、|b|，所以1，所以x2y2z2.三、解答题17(2013南通模拟)已知关于x的不等式组(1)求不等式的解集；(2)若不等式组的解集为空集，求实数a的取值范围解析(1)由0得(x2)(2x)0，所以2x2.即不等式的解集是x|2x0，解得x3或xa.因为原不等式组的解集为空集，所以不等式与不等式的解集的交集为空集，所以a2，即实数a的取值范围为2，)18(文)如图所示，在复平面内有三点P1、P2、P3对应的复数分别为1a、12a、13a，且OA1，|a|2，O为原点，若SP1OP2SP2OP32，求对应的复数a.解析由向量加法的运算法则知，i1,2,3.P1、P2、P3对应的复数分别为1a、1
23、2a、13a，、对应的复数为a、2a、3a，即A、P1、P2、P3共线，设与x轴正方向夹角为.|a|2，SAOP3|sin1|3a|sin3sin.SAOP1|sin1|a|sinsin.显然SP1OP2SP2OP3SOAP3SOAP12sin.从而2sin2，sin1，(0，)，因此a2i.(理)对于任意的复数zxyi(x、yR)，定义运算P(z)x2cos(y)isin(y)(1)集合A|P(z)，|z|1，x、y均为整数，试用列举法写出集合A；(2)若z2yi(yR)，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；(3)直线l：yx9上是否存在整点(x，y)(坐标x、y均为整数的点)，使复数zxy
24、i经运算P后，P(z)对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由解析(1)x2y21，由于x，yZ，得P(1)1，P(i)0，P(0)0，A0,1(2)若z2yi(yR)，则P(z)4cos(y)isin(y)若P(z)为纯虚数，则yk，kZ，|z|，kZ，当k0或1时，|z|min.(3)P(z)对应点坐标为(x2cos(y)，x2sin(y)，由题意得x2sin(x9)x2cos(x9)9，x2sinxx2cosx9.xZ，当x2k，kZ时，得x290不成立；当x2k1，kZ时，得x290，x3成立此时或即z36i或z312i.19(文)若函数f(x)4xa2xa1有
25、零点，求实数a的取值范围解析解法1：令2xt，则t0，f(x)有零点，即方程t2ata10，在(0，)内有解变形为a(t1)222，a的范围是(，22解法2：令t2x，则t0，t2ata10在(0，)内有解，有两解，得1a22.有一解，令g(t)t2ata1，则g(0)0，求m的取值范围解析(1)当m2时，f(x)2lnxx，f (x)1，所以f (1)3，又f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y13(x1)，即3xy20.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f (x)m1.当m0时，由x0知f (x)m10知f (x)m10恒成立，此时f(x)在区间(0，)上单调
26、递增当0m0，得x，由f (x)，此时f(x)在区间(0，)内单调递增，在区间(，)内单调递减(3)由(2)知函数f(x)的定义域为(0，)，当m0或m1时，f(x)在区间(0，)上单调，此时函数f(x)无最大值当0m1时，f(x)在区间(0，)内单调递增，在区间(，)内单调递减，所以当0m0，所以有mlnm0，解之得m.所以m的取值范围是(，1)20看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式公式：S2(n)122232n2(nN*)(1)首先列表计算观察：n12345678S2(n)1514305591140204此处思维过程运用了什么推理？(2)从上表中的数据没有明显的发现，
27、于是联想到正整数之和的公式S1(n)123nn(n1)，二者能否有关系呢？此处思维过程运用了什么推理？(3)再列表计算、比对：n12345678S1(n)1361015212836S2(n)1514305591140204此处思维过程运用了什么推理？(4)从上表中数据没有看出明显的规律，再进一步列表计算：n12345678S1(n)1361015212836S2(n)1514305591140204此处思维过程运用了什么推理？(5)从上表发现了规律：，于是猜想：S2(n)n(n1)(2n1)此处思维过程运用了什么推理？解析(1)通过直接计算得到对应的数字，用的是演绎推理(2)通过比较，用的是类
28、比推理(3)通过直接计算得到对应的数字，用的也是演绎推理(4)通过直接计算得到对应的数字，用的还是演绎推理(5)通过分析规律，加以总结，用的是归纳推理21先阅读下列框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入已知量n时，输出a的结果是什么？试证明之；输出S的结果是什么？写出求S的过程解析(1)当n1时，a；当n2时，a；当n3时，a.(2)(方法一)当输入n时，中输出结果为an，中输出结果为Sn，则a1，anan1(n2)，所以(n2)所以ana1.(方法二)由a1，a2，a3，猜想an.证明：(1)当n1时，结论成立，(2)假设当nk(k1，kN*)时结
29、论成立，即ak，则当nk1时，ak1ak.所以当nk1时，结论成立，故对nN*，都有an成立因为an()，所以Sna1a2an(1)()()(1).22(文)已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象(如图)与x轴有两个不同的公共点，若f(c)0，且0x0.(1)试比较与c的大小；(2)证明：2b1.解析(1)由已知，f(x)的图象与x轴有两个不同的公共点，所以f(x)0有两个不同的实数根x1、x2.因为f(c)0，且x1x2，所以f(x)0的两个根就是c和.如果0，故0，即0c，而当0x0，所以有f()0.这与是f(x)0的根矛盾，所以c.(2)证明：因为f(c)0，所以ac2bcc0.
30、又c0，故acb10.因为a0，c0，所以ac0.于是b10.故b1.又f(x)的图象的对称轴为x，且f(x)0的两根为c和，且c，所以2.故2b1.(理)(2012山东青岛二模)在数列an中，a11，an11，bn，其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求证：bn1(nN*，n2)解析(1)证明：bn1bn1，数列bn为等差数列(2)因为b11，所以bn1(n1)n，bn1n1(n2)，原不等式即为证明n1(nN*，n2)，即1n(nN*，n2)成立用数学归纳法证明如下：当n2时，12成立，所以n2时，原不等式成立；假设当nk时，1k成立；当nk1时，1kkkk1，2k个所以当nk1时，不等式成立，所以nN*，n2，总有bn1成立
