1、第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算考情展望1.给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合运算的结果，考查集合间的基本关系.4.以新概念或新背景为载体，考查对新情境的应变能力一、集合的基本概念1集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；2元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为和.3常见数集的符号表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN(N*)ZQR4.集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法描述法的一般形式的结构特征在描述法的一般形式xI|p(x)中，“x”是集合中元素的代表
2、形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略二、集合间的基本关系1子集：若对xA，都有xB，则AB或BA.2真子集：若AB，但xB，且xA，则AB或BA.3相等：若AB，且BA，则AB.4空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集子集与真子集的快速求解法一个含有n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集三、集合的基本运算并集交集补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBUAx|xU，且xA1集合间的两个等价转换关系(1)ABAAB；(2)ABABA2集合间运算的两个常用结论：(1)
3、U(AB)(UA)(UB)；(2)U(AB)(UA)(UB)1已知集合A0,1，则下列式子错误的是()A0AB1ACAD0,1A【答案】B2已知集合Ax|x1，Bx|1x2，则AB()Ax|1x2Bx|x1Cx|1x1Dx|1x2【答案】D3已知集合M1,2,3，NxZ|1x4，则()AMNBNMCMN2,3DMN(1,4)【答案】C4集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为()A0B1C2D4【答案】D5(2014广东高考)已知集合M1,0,1，N0,1,2，则MN()A0,1B1,0,2C1,0,1,2D1,0,1【答案】C6(2014湖北高考)已知全集U1,2
4、,3,4,5,6,7，集合A1,3,5,6，则UA()A1,3,5,6B2,3,7C2,4,7D2,5,7【答案】C考向一 001集合的基本概念(1)(2013山东高考)已知集合A0,1,2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1B3C5D9(2)已知集合Am2,2m2m，3，若3A，则m的值为_【答案】(1)C(2)规律方法11.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性对点训练(1)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xy
5、A，则B中所含元素的个数为()A3B6C8D10(2)已知集合Ax|ax23x20，若A，则实数a的取值范围为_【答案】(1)D(2)考向二 002集合间的基本关系(1)已知aR，bR，若a2，ab,0，则a2 014b2 014_.(2)已知集合Ax|x23x100，Bx|m1x2m1，若ABA，则实数m的取值范围是_【答案】(1)1(2)(，3规律方法21.解答本例(2)时应注意两点：一是ABABA；二是BA时，应分B和B两种情况讨论2已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观
6、对点训练(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4(2)若集合Mx|x2x60，Nx|ax20，aR，且MNN，则实数a的取值集合是_【答案】(1)D(2)考向三 003集合的基本运算(1)(2014课标全国卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1B1,2)C1,1D1,2)(2)(2014辽宁高考)已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)()Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1【答案】(1)A(2)D规律方法31.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义
7、求解2求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍4在解决有关AB，AB等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解对点训练(1)(2014江西高考)设全集为R，集合Ax|x290，Bx|1x5，则A(RB)()A(3,0)B(3，1)C(3，1D(3,3) (2)如图111，已知U1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，集合A2,3,4,5,6,8，B1,3,4,5,7，C2,4,5,7,8,9，用
8、列举法写出图中阴影部分表示的集合为_【答案】(1)C(2)2,8思想方法之一数形结合思想在集合中的妙用数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：(1)利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系(2)利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题1个示范例已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.【解析】Ax|5x1，Bx|(
9、xm)(x2)0，且ABx|1xn如图所示由图可知ABx|1x1，故n1，m1.【答案】111个对点练设Ax|2x1，或x1，Bx|x2axb0已知ABx|x2，ABx|1x3，则a_，b_.【解析】如图所示设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合x|1x3时符合题意根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，可知1与3是方程x2axb0的两根，a(13)2，b(1)33.【答案】23课时限时检测(一)集合的概念与运算(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1(2013北京高考)已知集合A1,0,1，Bx|1xy，则x|y|”的逆命题是真命题；命题“若x
10、1，则x2x20”的否命题是真命题；命题“若x2y20，则xy0”的逆否命题为“若x0或y0，则x2y20”；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价【答案】考向二 005充分条件与必要条件的判定(1)(2014湖北高考)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件(2)(2013山东高考)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A规律方法2充分、必要条件的三种判断方
11、法1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件2等价法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件对点训练(1)(2014安徽高考)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2015长沙模拟)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：xAB，命题q：xA或xB，则綈q是綈p的()A充分且必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件
12、D非充分且非必要条件【答案】(1)B(2)B考向三 006充分条件与必要条件的应用设命题p：2x23x10；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_【答案】规律方法31.借助命题间的等价关系直接建立参数a的不等关系，避免了繁琐转换计算，将失误降到最低2解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解3注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件对点训练已知命题p：命题q：1mx1m，m0，若q
13、是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为_【答案】9，)易错易误之一“条件”与“结论”颠倒黑白酿失误1个示范例下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1Bab1Ca2b2Da3b3【解析】要求ab成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出ab，而由ab推不出选项此处在求解中，常误认为“由ab推出选项，而由选项推不出ab”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件，哪个是结论”在选项A中，ab1能使ab成立，而ab时ab1不一定成立，故A正确；在选项B中ab1时ab不一定成立，故B错误；在选项C中，a2b2时ab也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3b
14、3是ab成立的充要条件，故D也错误【防范措施】充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”，如“A是B成立的条件”，其中A是条件；“A成立的条件是B”，其中B是条件1个防错练设集合Ax|x2x60，Bx|mx10，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是_【解析】A3,2，当B时，BA，此时m0，当B时，B，则3或2，m或m.故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m0(答案不唯一)【答案】m0(答案不唯一)课时限时检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1命题“若一个数是负数，则它的平方是正
15、数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】B2(2014广州市培正中学模拟)“a1”是“(a1)(a2)0”成立的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A3有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆否命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中的真命题为()ABCD【答案】C4(2013福建高考)已知集合A1，a，B1,2
16、,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A5“关于x的不等式x22axa0的解集为R”是“0a1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A6已知集合Ax|x5，集合Bx|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()Aa5Ba5Ca5Da5【答案】A二、填空题(每小题共5分，共15分)7命题“若m0，则关于x的方程x2xm0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_【答案】28设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_
17、.【答案】3或49若p：x(x3)0是q：2x3m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_【答案】3，)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论【解】(1)否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)该命题是真命题，证明如下：ab0，ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数f(a)f(b)，f(b)f(a)，因此f(a)f(b)f(a)f(
18、b)，否命题为真命题(2)逆否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.真命题，可证明原命题为真来证明它因为ab0，所以ab，ba，f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题11(12分)设函数f(x)lg(x2x2)的定义域为集合A，函数g(x)的定义域为集合B.已知：xAB，：x满足2xp0.且是的充分条件，求实数p的取值范围【解】依题意，得Ax|x2x20(，1)(2，)，B(0,3，AB(2,3设集合Cx|2xp0，则x.是的充分条件，(
19、AB)C.则需满足3p6.实数p的取值范围是(，612(13分)求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.【证明】必要性：若方程ax2bxc0有一个根为1，则x1满足方程ax2bxc0，abc0.充分性：若abc0，则bac，ax2bxc0可化为ax2(ac)xc0，(axc)(x1)0，当x1时，ax2bxc0，x1是方程ax2bxc0的一个根综上，关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情展望1.以选择题的形式考查含有逻辑联结词的命题的真假.2.以选择题或填空题
20、的形式考查含有一个量词的命题的否定.3.与函数、方程、不等式等知识相结合，考查全称命题或特称命题的真假一、命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真常见词语的否定形式正面词语是都是至多有一个至少有一个任意所有的否定不是不都是至少两个一个也没有某个某些二、全称量词与存在量词1全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)2存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存
21、在量词，并用符号“”表示(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0M，p(x0)三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)1已知命题p：xR，sin x1，则()A綈p：x0R，sin x01B綈p：xR，sin x1C綈p：x0R，sin x01D綈p：xR，sin x1【答案】C2若p是真命题，q是假命题，则()Apq是真命题Bpq是假命题C綈p是真命题D綈q是真命题【答案】D3下列命题中为真命题的是()AxR，x22x10Bx0R，0CxN*，log2x
22、0Dx0R，cos x0x2x03【答案】B4命题“x0R,2x3ax090”为假命题，则实数a的取值范围为_【答案】2，25(2014安徽高考)命题“xR，|x|x20”的否定是()AxR，|x|x20BxR，|x|x20Cx0R，|x0|xy，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命题是()ABCD(2)(2015潍坊模拟)已知命题p，q，“綈p为真”是“pq为假”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A规律方法11.“pq”、“pq”、“綈p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命
23、题p、q的真假；(3)确定“pq”、“pq”、“綈p”形式命题的真假2p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”对点训练(1)已知命题p：0，q：11,2，由它们构成的“pq”，“pq”，“綈p”形式的命题中，真命题有()A0个B1个C2个D3个(2)已知命题p：方程x2mx10有实数解，命题q：x22xm0对任意x恒成立若命题q(pq)真、綈p真，则实数m的取值范围是_【答案】(1)B(2)1m2考向二 008全称命题、特称命题的真假判断下列命题中是假命题的是()Ax，xsin xBx0R，sin x0cos x02CxR,3x0Dx0
24、R，lg x00【答案】B规律方法21.(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值xx0，使p(x0)不成立即可2要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题对点训练(2015潍坊模拟)下列命题中的假命题是()AxR，ex0BxN，x20Cx0R，ln x01Dx0N*，sinx01【答案】B考向三 009含有一个量词的命题的否定写出下列命题的“否定”，并判断其真假(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩
25、形；(3)r：x0R，x2x020；(4)s：至少有一个实数x0，使x10.【尝试解答】(1)綈p：x0R，xx00，真命题，这是由于xR，x22x2(x1)2110成立(4)綈s：xR，x310，假命题这是由于x1时，x310.规律方法31.弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提2要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，因为p与綈p的真假相反对点训练(2014天津高考)已知命题p：x0，总有(x1)ex1，则綈p为()Ax00，使得(x01)ex01Bx00，使得(x01)ex01Cx0，总有(x1)ex1Dx0，总有(x1)ex1【答案】B易错易误之二
26、命题的否定否命题1个示范例(2013四川高考)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA,2xB，则()A綈p：xA,2xBB綈p：xA,2xBC綈p：xA,2xBD綈p：xA,2xB【解析】由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得命题p是全称命题： xA,2xB，则綈p是特称命题：xA,2xB.故选D.该处在求解时易出现错选A或B的情形，出错的原因有两点：(1)把命题的否定与否命题相混淆致误(2)没有改写量词或未对结论进行否定【防范措施】1.命题的否定是只否定这个命题的结论；而对于“若p，则q”形式的否命题为“若綈p，则綈q”2对于全(特)称命题的否定，书写时应从两方面着手
27、：一是对量词或对量词符号进行改写；二是对命题的结论进行否定两者缺一不可1个防错练(2014湖北高考)命题“xR，x2x”的否定是()AxR，x2xBxR，x2xCxR，x2xDxR，x2x【解析】因为命题为真命题，故其否定为：xR，x2x.【答案】D课时限时检测(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈p是()Ax1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Bx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0Cx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)
28、0Dx1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)x2Cab0的充要条件是1Da1，b1是ab1的充分条件【答案】D5(2013课标全国卷)已知命题p：xR,2x3x；命题q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()ApqB綈pqCp綈qD綈p綈q【答案】B6已知a0，函数f(x)ax2bxc，若x1满足关于x的方程2axb0，则下列选项的命题中为假命题的是()Ax0R，f(x0)f(x1)Bx0R，f(x0)f(x1)CxR，f(x)f(x1)DxR，f(x)f(x1)【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7命题：“对任意k0，方程x2xk0有实根”的否定是_【答案】存在k0，
29、方程x2xk0无实根8若命题“xR，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是_【答案】8,09已知命题p：mR，m10，命题q：xR，x2mx10恒成立若pq为假命题，则实数m的取值范围为_【答案】(，2(1，)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知命题p：关于x的方程x22xa0有实数解，命题q：关于x的不等式x2axa0的解集为R，若(綈p)q是真命题，求实数a的取值范围【解】因为(綈p)q是真命题所以綈p和q都为真命题，即p为假命题且q为真命题若p为假命题，则144a0，即a1.若q为真命题，则2a24a0，所以0a4.由知，实数a的取值范围是a|1a411(12
30、分)已知命题p：方程a2x2ax20上1,1有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x22ax2a0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围【解】方程a2x2ax2(ax2)(ax1)0有解，显然a0，x或x.x1,1，故1或1，|a|1，只有一个实数满足x22ax2a0，即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点，4a28a0，a0或a2.命题p或q为真命题时，|a|1或a0，命题p或q为假命题，a的取值范围为a|1a0或0a112(13分)已知c0，设命题p：函数ycx为减函数命题q：x，xc.如果pq为真命题，pq为假命题，求实数c的取值范围【解】若命题p为真，则0c1.若命题q为真，则cmin，又当x时，2x，则必须且只需2c，即c2.因为pq为真命题，pq为假命题，所以p、q必有一真一假当p为真，q为假时，无解；当p为假，q为真时，所以1c2.综上，c的取值范围为1,2)
