1、1.2.1 充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的定义2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件.1.“若 p，则 q”为真命题，它是指当 p 成立时，q 一定成立换句话说，p 成立可以_，即 pq，此时我们称 p 是 q 的充分条件2“若 p，则 q”为真命题是指：当 p成立时，_.即 pq，q 必须成立，我们称 q 是 p 的必要条件推出 q 成立q 一定成立思考探究若 p 是 q 的充分条件，则 p 唯一吗？提示：不唯一如 x3 是 x0 的充分条件，x5，x2都是 x0 的充分条件1.已知 b 不是 a 的必要条件，b 是c 的必要条件则下列为真命题的是()A若 a，则 b
2、B若 b，则 cC若 a，则 c D若c，则a解析：依题意 ab，cb，abc.答案：B2对于任意的实数 a，b，c，在下列命题中，真命题是()A“acbc”是“ab”的必要条件B“acbc”是“ab”的必要条件C“acbc”是“a2 的一个必要不充分条件是()Ax1 Bx3 Dx2x1，但 x1 x2.答案：A4若A 是 B 的充分不必要条件，则 A 是B 的_条件解析：由题知AB，则BA，反之不成立必要不充分5下列各题中，p 是 q 的什么条件？(1)在ABC 中，p：A60，q：sinA 32；(2)p：m0，q：关于 x 的方程 x22xm0 有实根解：(1)因为在ABC 中，A60
3、sinA 32，如当A120时，sinA 32；在ABC 中，sinA 32 A60，所以 p 是 q 的必要不充分条件(2)因为 m0关于 x 的方程 x22xm0 的 44m0，即方程有实根；关于 x 的方程 x22xm0 有实根，即 44m0 m0，所以 p 是 q 的充分不必要条件“若 p，则 q”为真命题指当 p 成立时，q 一定也成立，换句话说，p 成立可以推出 q 成立在这种情况下，记作 pq，并把 p 叫做 q 的充分条件，q 叫做 p 的必要条件pq可以理解为一旦 p 成立，q 一定也成立，即 p 对于 q 的成立是充分的；换个角度思考，一旦 q 不成立，p 一定也不成立，即
4、 q 对于 p 的成立是必要的当命题“若 p，则 q”为假命题时，记 p q.在这种情况下，p 是 q 的不充分条件，q 是 p 的不必要条件例如：“若 ab，则 a2b2”是真命题，可写成 aba2b2.ab 叫做 a2b2 的一个充分条件，a2b2 是 ab的一个必要条件而“若 a2b2，则 ab”是假命题，可写成 a2b2ab，a2b2 是 ab 的一个不充分条件，ab是 a2b2的一个不必要条件.充分条件与必要条件的判断例 1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件(1)p：|a|2，aR，q：方程 x2axa30 有实根；(2)p：ab0，q：a2b20；(3)p：四边形是矩形；q：
5、四边形的对角线相等分析 判断 p 是 q 的什么条件，主要判断 pq 及 qp 两命题的正确性，若 pq 真，则 p 是 q 成立的充分条件；若 qp 真，则 p 是 q 成立的必要条件解(1)当|a|2 时，如 a3，则方程 x23x60无实根，而方程 x2axa30 有实根则必有 a2 或a6 可推出，|a|2，故 p 是 q 的必要不充分条件(2)ab0D a2b20；a2b20ab0，故 p 是q 的必要不充分条件(3)四边形的对角线相等 D 四边形是矩形；四边形是矩形四边形的对角线相等，故 p 是 q 的充分不必要条件点拨 关于充分条件、必要条件的判断问题，当不易判断 pq 真假时，
6、也可从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的练 1 给出下列命题：(1)p：x20；q：(x2)(x3)0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等(3)p：m2；q：方程 x2xm0 无实根试分别指出 p 是 q 的什么条件解(1)x20(x2)(x3)0；而(x2)(x3)0 x20.p 是 q 的充分不必要条件(2)两个三角形相似 两个三角形全等；但两个三角形全等两个三角形相似p 是 q 的必要不充分条件(3)m2方程 x2xm0 无实根；方程 x2xm0 无实根 m2.p 是 q 的充分不必要条件.利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例 2
7、 已知 p：关于 x 的不等式|2x3|m，q：x(x3)0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是什么？分析 可借助集合间的关系进行判断设|2x3|m，x(x3)0 的解集分别为 A，B，由于 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A B.解 由题意知 Bx|0 x0 时，Ax|3m2 x0，3m2 0，得 0m3.综上，实数 m 的取值范围是 m0 x0y0 B.xy0 x0C.xy0y0D.xy0 x0 且 y0解析：A 中，x、y 同号即可；B 中，y 也可以为零；C 中，x，y 异号即可答案：D2a0，b0 的一个必要条件为()A.ab0C.ab1 D.ab1解析：
8、a0，b0，则一定有 ab0.答案：A3“2x25x30”的一个必要不充分条件是()A12x3 B0 x2C1x2 D12x4解析：2x25x3012x3，(12，3)(12，4)12x4 是 2x25x30 的必要不充分条件答案：D4关于 x 的一元二次方程 ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()Aa0 Ca1 Da1解析：因为方程 ax22x10 有一个正根和一个负根，所以 x1x21a0，即 a0，所以设 Aa|a0，当 B A 时，B是 A 的充分不必要条件，故选 C.答案：C5设 m，n 是平面 内的两条不同直线，l1，l2是平面 内的两条相交直线，则 的一
9、个充分而不必要条件是()A.m 且 l1 B.ml1且 nl2C.m 且 n D.m 且 nl2解析：因 m，l1，若，则有 m 且 l1，故 的一个必要条件是 m 且 l1，排除 A.因 m，n，l1，l2 且 l1与 l2相交，若 ml1且 nl2，因 l1与 l2相交，故 m 与 n 也相交，；若，则直线 m 与直线 l1 可能为异面直线，故 的一个充分而不必要条件是ml1且 nl2，应选 B.答案：B6一元二次方程(a1)x2x20(a1)有两个异号实根的一个充分不必要条件是()Aa1 Ba1 Da0解析：一元二次方程(a1)x2x20(a1)有两个异号实根a10 x1x20a1，结合
10、选项，所求的一个充分不必要条件是 a1”是“1a11a1，反之，a0 也满足1a1，故为充分不必要条件充分不必要8“b2ac”是“a，b，c 成等比数列”的_条件解析：由 b2ac a，b，c 成等比数列，例如：a0，b0，c5.若 a，b，c 成等比数列，由等比数列的定义知 b2ac.必要不充分9下列命题中是真命题的是_(填序号)f(x)ax2bxc 在0，)上是增函数的一个充分条件是 b2a0，b2a0，从而不正确；若 x1 且 y2，则 xy3.从而逆否命题是充分不必要条件，所以正确三、解答题10指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件，q 是 p 的什么条件(1)p：|x|y|；q：
11、xy；(2)p：0 x3；q：|x1|2；(3)p：ABC 为直角三角形；q：ABC 为等腰三角形解：(1)因为“pq”为假命题，“qp”为真命题，所以 p 是 q 的必要不充分条件，q 是 p 的充分不必要条件(2)0 x3|x1|2，|x1|2 0 x3，所以 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件(3)p q，q p，p、q 互为既不充分又不必要条件11是否存在实数 p，使“4xp0”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；若不存在，请说明理由解：x2x20 x2 或 x1；4xp0 xp4.当p41，即 p4 时，有 xp41x0，故当 p4 时，“4xp0”的充分条件12已知命题 p：21x13 2，q：x22x1m20(m0)若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，试求实数 m的取值范围解：由21x13 2 得，2x10，所以綈 p：Ax|x10由 x22x1m20(m0)，得 1mx1m，所以綈 q：Bx|x1m，m0因为綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，所以 B 是 A 的真子集，所以m0，1m10，1m0，1m10，1m2，解得满足条件的 m 的取值范围是9，)
