1、专题3：不等式问题 班级 姓名 一、前测训练1 解下列不等式：(1)3x24x40 (2)2 (3) 4x3280 （4）ax2ax10 答案：(1)(，2)；(2) (，4(1，)； (3)(，；(4)当0a4时，解集为；当a4时，x； 当a0时，x或x2(1)若对任意xR，都有(m2)x22(m2)x40恒成立，则实数m的取值范围是 (2) 若对任意x0，都有mx22x10恒成立，则实数m的取值范围是 (3) 若对任意1m1，都有mx22x1m0恒成立，则实数x的取值范围是 答案：(1)(2，2；(2)(，0；(3)(1，2)3(1)函数y14x(x)的最大值为 (2)已知x0，y0 ，且
2、2，则xy的最小值为 答案：(1)6；(2)84求下列函数的值域：(1)y ； (2)f(x)x，x1，2 答案：(1)；(2)当a1时，值域为1a，2，当1a2时，值域为2，2，当2a4值域为2，1a，当a4时，值域为2，1a5求下列函数的值域： (1)y (x) (2)y (x1) 答案：(1)，)；(2)，0)6设x，y满足约束条件 ，则(1) zx2y的最小值为 ；(2)z2xy的最大值为 ； (3) zx22xy2的最大值为 ；(4) z的最大值为 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)二、方法联想1一元二次不等式从四个方面考虑：(1)二次项系数为0和正负情况；(2)二次方程根
3、是否存在情况(优先用十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情况； (4)二次不等式的不等号方向分式不等式(1) 0等价于f(x)g(x)0； 0等价于f(x)g(x)0(2) 0等价于 0等价于变式1、设,不等式对恒成立,则的取值范围为_.答案：变式2、已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值是_答案： (判别式法)2恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 方法1 结合二次函数图象分析 方法2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题 若关于x的不等式axb0对任意x m，n上恒成立，则若关于x的不等式axb0 对任意xm，n上恒成立，则 变式1、已知当x(0，+)时，不等
4、式9x-m3x+m+10恒成立，求实数m的取值范围.答案：m0，b0，a+b=5，则+的最大值为.解答：3变式2、若不等式x22xya(x2y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为_答案： (结构特征,消元)4f(x)x型函数 对于f(x)x，当a0时，f(x)在(，0)，(0，)为增函数；当a0时，f(x)在(，)，(，)为增函数；在(，0)，(0，)为减函数注意 在解答题中利用函数f(x)x的单调性时，需要利用导数进行证明 变式1、若函数的值域为,则实数的取值范围是 . 答案： (问题转化) 变式2、设k0，若关于x的不等式kx+5在(1，+)上恒成立，则k的最小值为.答案：1解
5、答：原不等式变为k(x-1)+ 5-k，因为x1，所以x-10，所以k(x-1)+ 4，所以45-k，即()2+4-50，解得1，所以k1，即k的最小值为1.5f(x) (或f(x)型令dxet进行换元(即将二次部分用一次部分表示)，转化为f(x)x型函数问题 变式1、已知x，求f(x)最小值答案：变式2、若不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 .答案：2 (结构特征,消元)6利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值变式1、已知函数,且,则的取值范围是 .答案： (看成线性规划问题或同向不等式相加) 变式2、三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是 答案： （线性
6、规划与二次函数、导数等知识结合）变式3、已知是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是 答案： （线性规划与根的分布结合）变式4、已知三个正实数满足，则的取值范围是_答案：（三个变量向两个变量转化的线性规划问题）三、例题分析例1 设函数f(x)x2ax3(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(3)设不等式f(x)a对于满足1a3的一切a的取值都成立，求x的取值范围解：(1)6a2 (2) 7a2思路1：(利用二次函数的图象) 注：此方法可改进，由f(2)a，f(2)a得7a对称轴x，可少讨论一种情况思路2：(求函数的最值)注：此
7、方法可改进，由f(2)a，f(2)a得7a，再进行分类讨论思路3：(变量分离后，再求函数的最值) (3) x3或x0【教学建议】 1本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种，f(x)0，xD恒成立f(x)min0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；选进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)a，xD恒成立f(x)mina利用函数的图象和几何意义； 2本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理 第二问是二次不等式对x2，2恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优例2 设m，nR，若直线(m1)x(n1
8、)y20与圆(x1)2(y1)21相切，求mn的取值范围解 mn(，2222，)思路1：(基本不等式) 思路2：(消元转化为求函数的值域)思路3：(利用图形的几何意义) 【教学建议】 1本题是求二元函数的值域问题这类问题主要有3种解题思路： 直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值；消元转化为一元函数，再求最值；将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域 2本题3种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的要求很高，但比较直观，在小题中使用较好例3 在ABC中，ABAC，D为AC中点，且BD，求A
9、BC的面积的最大值解：S取最大值2思路1：（代数方法）建立目标函数，求最值 思路2：（几何方法）【教学建议】1本题是实际问题中的最值问题这类问题通常有2种思路：根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算；建立目标函数，转化为求函数的最值2本题采用思路2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二3方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质，由于BD已知，因而要使面积最大，只需A到BD的距离最大，由于点A要求满足AB2AD，因而它的轨迹是一个圆，问题就转化为求
10、轨迹上的点到直线BD距离的最大值问题，所以法二采用了建系求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高四、反馈练习(专题3：不等式问题)1. (1)若正实数满足，则的最小值是 ；答案 (考查基本不等式).(2)函数的最小值是 ；答案 9(考查基本不等式).2（1）(2016江苏)已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是 ；答案 (考查线性规划).（2）设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为 ；答案 4(考查线性规划). 3.已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为_；(考查线性规划).答案 14.（1）（2016上海）设若关于的方
11、程组无解，则的取值范围是_;答案(考查基本不等式).（2）已知，则的最小值为 ；答案 12(考查基本不等式).5.若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_；答案(考查基本不等式).6已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，若f(x)恒为正值，则k的取值范围是_；答案(，12)(考查不等式恒成立).7.已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_；答案 2(考查不等式恒成立).8. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_；答案 -6,-2 (考查不等式恒成立).9已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_；答案(考查不等式恒成
12、立).10如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为_.答案 18 (考查函数的单调性, 线性规划).11已知函数f(x)若f(32a2)f(a)，则实数a的取值范围为_；答案(1，) (考查函数性质应用).12已知二次函数f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为_；答案4(考查函数性质应用,基本不等式).13已知f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数m，使得f(msin x)f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解假设实数m存在，依题意，可得即因为sin x的最小值为1，且(sin x)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得
13、m或m3.所以实数m的取值范围是.(考查函数性质应用,基本不等式).14某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数yf(x)的表达式；(总开发费用总建筑费用购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4 0002 0008 000 000(元)800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比
14、其下面一层多：1002 000200 000(元)20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：yf(x)800x209 00010x2790x9 000(xN*)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g(x)10 0005050(279)6 950(元)当且仅当x，即x30时等号成立来源:学。科。网Z。X。X。K答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低 (考查函数性质应用,基本不等式).15某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工据估计
15、，如果能动员x(x0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a0)万元(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值解(1)由题意得3(100x)(12x%)3100，即x250x0，解得0x50，又因为x0，所以00，所以a1恒成立，而15(当且仅当x50时取得等号)所以a的最大值为5. (考查函数性质应用,不等式恒成立).16设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(mn)(1)若m1，n2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn，比较f(x)与m的大小解 (1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)，当m1，n2时，不等式F(x)0，来源:学科网ZXXK即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x1或x2；当a0时，不等式F(x)0的解集为x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，且0xmn，xm0,1anax0.f(x)m0，即f(x)m.(考查函数性质,二次不等式应用).
