1、高考资源网（） 您身边的高考专家课时素养评价十一十一数列在日常经济生活中的应用 (20分钟35分)1.一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形,最上面一层铺了21块瓦片,往下每一层多铺一块瓦片,斜面上铺了20层瓦片,共铺了瓦片()A.420块B.630块C.610块D.620块【解析】选C.由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首项的等差数列,求前20项的和,所以共铺了S20=2021+1=610块瓦片.2.某地为了保持水土资源实行退耕还林,如果2018年退耕a万亩,以后每年比上一年增加10%,那么到2025年一共退耕()A.10a万亩B.a万亩C.10a万亩D.a万亩【解题指南】建立等比数列
2、模型后,利用等比数列的前n项和的公式即可得到结果.【解析】选A.记2018年为第一年,第n年退耕an万亩,则为等比数列,且a1=a,公比q=1+10%,则问题转化为求数列的前8项和,所以数列的前8项和为=10a(1.18-1).所以到2025年一共退耕10a万亩.3.某房屋开发商出售一套50万元的住宅,可以首付5万元,以后每过一年付5万元,9年后共10次付清,也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%,按复利计算)并优惠x%,为鼓励购房者一次付款,问优惠率应不低于多少?(x取整数,计算过程中参考以下数据:1.0291.19,1.02101.2,1.02111.24)()A.15%B.16
3、%C.17%D.18%【解析】选B.由题意,知50(1-x%)(1+2%)95(1.029+1.028+1.02+1).整理,得1-x%0.840 3,所以x%15.97%,所以一次付款的优惠率应不低于16%.4.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费元.【解析】根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列an来计算车费.令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,那么
4、当出租车行至14 km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)1.2=23.2(元).答案:23.25.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN+)等于.【解析】设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可得100,即2n51,而25=32,26=64,nN+,所以n6.答案:66.某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(1)求n年内旅游业的总收入;(2)试估计大约几年后,旅
5、游业的总收入超过8 000万元.【解析】(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元,则a1=400,an+1=an=an,所以=,所以数列an是公比为的等比数列,所以Sn=1 600,即n年内旅游业总收入为1 600万元.(2)由(1)知Sn=1 600,令Sn8 000,即1 6008 000,所以6,所以lglg 6,所以n8.029 6.所以大约第9年后,旅游业总收入超过8 000万元. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路,沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳
6、方案是使运输卡车运行()A.11 700 mB.14 600 mC.14 500 mD.14 000 m【解析】选D.由近往远运送,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为an,则a1=1 100,d=300,n=7,所以S7=71 100+300=14 000.2.某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的学生,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的学生,下星期一会有30%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数,则an+1与an
7、的关系可以表示为()A.=an+150B.an+1=an+200C.=an+300D.an+1=an+180【解析】选A.依题意得消去bn,得=an+150.3.(2020成都高一检测)我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何”,翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两鼠相遇,这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1 200尺,则需要几天时间才能打穿(结果取整数)()A.12B.
8、11C.10D.9【解题指南】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列,只是公比不同,然后由等比数列前n项和公式计算可得.【解析】选B.大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成等比数列an,bn,a1=b1=1,数列的公比为q1=2,数列bn的公比为q2=,设需要n天能打穿墙,则(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=+=2n+1-,n=10时,2n+1-=1 025-1 0251 200,因此需要11天才能打穿.4.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg 20.301 0)()A.5B.10C.14D.15【解析】
9、选C.设原杂质数为1,由题意,得每次过滤杂质数成等比数列,且a1=1,公比q=1-20%,故an+1=(1-20%)n.由题意可知(1-20%)n5%,即0.8n0.05.两边取对数,得nlg 0.8lg 0.05,因为lg 0.8,即n=13.41,故取n=14.5.已知甲、乙两车间的月产值在2018年1月份相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2018年7月份发现两车间的月产值又相同,比较甲、乙两个车间2018年4月份月产值的大小,则()A.甲大于乙B.甲等于乙C.甲小于乙D.大小不确定【解析】选A.设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值
10、a,乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x,甲、乙两车间的月产值在2018年1月份同为m,则由题意得m+6a=m(1+x)6,4月份甲的产值为m+3a,4月份乙的产值为m(1+x)3,由知,(1+x)6=1+,即4月份乙的产值为m=.因为(m+3a)2-(m2+6ma)=9a20,所以m+3a,即4月份甲的产值大于乙的产值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在超市中购买一个卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为m.【解析】纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列,则纸的长度为:l=d1+d
11、2+d3+d60,其中d1+d2+d3+d60=60=480 cm,即l=d1+d2+d3+d60=4804803.1415(m).答案:157.2020年广州市某单位拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,依名次类推都得剩下的一半多一万元,到第6名恰好将资金分完,则需要拿出资金万元.【解析】设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列an,则a1为全部资金,第一名领走资金后剩a2,a2=a1-1,依此类推,an+1=an-1,所以an+1+2=(an+2).所以an+2是一个等比数列,公比为,首项为a1+2,所以an+2=,所以an=-2.所
12、以第6名领走资金后剩余为a7=-2=0,所以a1=126,即全部资金为126万元.答案:1268.用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,全部欠款付清后,买这件家电实际付款元.【解题指南】每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列an,可得付款数an组成等差数列,公差d=-0.5,再利用等差数列的前n项和公式,求得结论.【解析】购买时付了150元,欠款1 000元.每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列an,则a1=50+1 0
13、000.01=60,a2=50+(1 000-50)0.01=60-0.5,a3=50+(1 000-502)0.01=60-0.52,类推,得an=60-0.5(n-1)(1n20).所以付款数an组成等差数列,公差d=-0.5,全部贷款付清后,付款总数为 150+S20=150+20a1+=150+2060-=1 255.答案:1 255三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020上海高一检测)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合
14、动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn;(2)该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.【解析】(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知,数列是首项为128、公比为1+50%=的等比数列;数列是首项为400、公差为a的等差数列,所以数列的前n项和Sn=256,数列的前n项和Tn=400n
15、+a,所以经过n年,该市更换的公交车总数Fn=Sn+Tn=256+400n+a; (2)因为256,400n+a(a0)是关于n的单调递增函数,因此Fn是关于n的单调递增函数,所以满足a的最小值应该是F710 000,即256+4007+a10 000,解得a,又aN*,所以a的最小值为147.10.(2020如皋高一检测)某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套旧设备.(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比
16、率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?下列数据提供计算时参考:1.19=2.361.004 99=1.041.110=2.61.004 910=1.051.111=2.851.004 911=1.06【解析】(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为=1.05b,设今年起学校的合格实验设备为数列,则a1=1.1a-x,an+1=1.1an-x,令an+1+=1.1,则an+1=1.1an+0.1,所以0.1=-x,即=-10x,所以数列是首项为1.1a-11x,公比为1.1的等比数列,所以an-10x=1.1n
17、-1,即an=10x+1.1n-1,所以a10=10x+1.192.6a-16x,由题意得=2,解得x=,所以每年应更换的旧设备为套.(2)全部更换旧设备共需a=16年.1.有这样一首诗:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日添增一倍多,问君每日读多少?”(注:孟子全书约34 685字,“一倍多”指一倍),由此诗知该君第二日读了字.【解析】设第一日读的字数为a,由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项,公比为2的等比数列,可求得三日共读的字数为=7a=34 685,解得a=4 955,则2a=9 910,即该君第二日读的字数为9 910.答案:9 9102.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处
18、同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第1次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?【解析】(1)设n分钟后第1次相遇,依题意,有2n+5n=70,整理得n2+13n-140=0.解之得n=7或n=-20(舍去).第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设m分钟后第2次相遇,依题意,有2m+5m=370,整理得m2+13m-420=0.解之得m=15或m=-28(舍去).第二次相遇是在开始运动后15分钟.关闭Word文档返回原板块- 12 - 版权所有高考资源网
