1、北京市西城区20192020学年度第一学期期末试卷高二数学一选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.已知椭圆的一个焦点为,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用，求得的值.【详解】由于，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.2.已知数列满足,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用递推关系式，依次求得的值.【详解】依题意.故选：B【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.3.已知命题:,则为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析
2、】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A选项不正确，C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题.4.已知,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立.【详解】对于A选项，若，如，但是，即，所以A选项错误.对于B选项，若，如，但是，即，所以B选项错误.对于C选项，若，如，但是，即，所以C选项错误.对于D选项，若，则，则，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.5.已知向量,且,那么( )A. B. C.
3、D. 【答案】A【解析】【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得，从而求得.【详解】由于，所以，解得，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.6.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面和平面必有公共点，即平面和平面相交，充分性成立；当“平面和平面相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.【此处有视频，请去附件查看】7.已
4、知向量,若共面,则等于( )A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值.【详解】由于共面，所以存在，使得，即，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.8.德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数,其中表示不超过的最大整数,比如. 根据以上定义,当时,数列,( )A. 是等差数列,也是等比数列B. 是等差数列,不是等比数列C. 是等比数列,不是等差数列D. 不是等差数列,也不是等比数列【答案】D【解析】【分析】求得,，由此判断出正确选项.
5、【详解】由于，所以，所以，即三个数为.而，所以数列,不是等差数列,也不是等比数列故选：D【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.9.设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出这个数，根据已知条件列方程组，由此求得表达式，进而求得的取值范围.【详解】设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为，所以，由（3）（4）得，所以即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得.故选：B【点睛】本小题主要考查等差数
6、列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.曲线.给出下列结论:曲线关于原点对称;曲线上任意一点到原点的距离不小于1;曲线只经过个整点(即横纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将代入，化简后可确定的真假性.对分成等种情况进行分类讨论，得出，由此判断曲线上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出正确.对于，首先求得曲线的两个整点，然后证得其它点不是整点，由此判断出正确.【详解】，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故错误.，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应
7、.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，所以.当时，所以.当时，且，所以.综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以正确.，由的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故正确.综上所述，正确的为.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.11.设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义，求得到右焦点的距离
8、.【详解】依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12.不等式的解集为_【答案】【解析】因为所以，即不等式的解集为.13.能说明“若,则”为假命题的一组值是_,_.【答案】 (1). 1 (2). (答案不唯一)【解析】【分析】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需为正数且为负数即可满足题意.【详解】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需为正数且为负数，所以可取，此时.故答案为：(1). 1 (2). (答案不唯一)【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到
9、一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.15.某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.若该渔船预计使用年,其总花费(含购买费用)为_ 万元;当_时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得年总花费，总花费除以后，利用基本不等式求得
10、当为何值时，平均花费最低.【详解】每年的费用是首项为，公差为的等差数列，所以总费用.平均费用为，当且仅当时，等号成立，也即时，该渔船年平均花费最低.故答案为：(1). (2). 【点睛】本小题主要考查等差数列前项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，属于基础题.16.若 表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;(2)灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的,要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要_次操作;如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要
11、使所有灯都开着最少需要_次操作.【答案】 (1). 3 (2). 21【解析】【分析】（1）利用列举法求得把灯关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前个灯最少需要的操作次数，然后乘以再加上，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.【详解】（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下，共次.（2）关闭前个灯最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下：，共次.此时前盏灯的状态如下：，操作次，变为，打开.将步骤倒过来做一遍，打开前个灯，共次操作.综上所述，如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少
12、需要次操作故答案为：(1). 3 (2). 21【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.三解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的公比为,且,成等差数列.()求的通项公式;()设的前项和为,且,求的值.【答案】() . () 的值是.【解析】【分析】（I）利用等差中项的性质列方程，并转成的形式，解方程求得的值，进而求得数列的通项公式.（II）根据等比数列前项和公式求得，令解方程，求得的值.【详解】()因为为公比为的等比数列,所以, 依题意得 , 即,整理得, 解得.所以数列的通项公式为. ()依题意 ,. 所以,整理得, 解得所以
13、的值是.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题.18.已知函数,.()若,求的取值范围;()若对恒成立,求的取值范围;()求关于的不等式的解集.【答案】() 或. () . ()见解析【解析】【分析】（I）由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围.（II）将不等式对恒成立转化为，结合二次函数的性质列一元二次不等式，解不等式求得的取值范围.（III）对分成三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得不等式的解集.【详解】()由得,整理得, 解得或. ()对恒成立,则, 所以, 整理得,解得.()解,得,当时,
14、即时,或 ; 当时,即时,或 ; 当时,即时, . 综上,当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19.已知椭圆的右焦点为,离心率为.()求椭圆的方程;()设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.【答案】() () 【解析】【分析】（I）根据焦点坐标、离心率以及，求得的值，进而求得椭圆的方程.（II）利用椭圆方程和，求得点的坐标，由此求得的面积.【详解】()依题意 , 解得,所以椭圆的方程为. ()设点,因为点在椭圆上,所以,因为
15、,所以,得, 由消去得,解得(舍), 代入方程得,所以, 所以,又, 所以的面积【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.20.如图,四棱锥中,平面, .,是的中点.()证明:平面;()若二面角的余弦值是,求的值;()若,在线段上是否存在一点,使得. 若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.【答案】()见解析 () . ()不存在，见解析【解析】【分析】（I）通过证明，证得平面.（II）建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.（III）设出点的坐标，利用列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的点不存在.【详解】()证明:因为 平面,所
16、以 平面.又因为 平面,所以 . 在中,是的中点,所以 . 又因为 ,所以 平面. ()解:因 平面,所以,. 又因为 ,所以 如图建立空间直角坐标系.则,. 设平面的法向量为.则 即 令,则,于是. 因为平面,所以. 又,所以平面.又因为, 所以 取平面的法向量为.所以 , 即,解得.又因为,所以.()结论:不存在.理由如下:证明:设.当时,.,. 由知,.这与矛盾. 所以,在线段上不存在点,使得.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知抛物线,抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.()求抛
17、物线的方程及其准线方程;()过的直线交抛物线于不同的两点,交直线于点,直线交直线于点. 是否存在这样的直线,使得? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线的方程.【答案】() ，. ()存在，或.【解析】【分析】（I）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（II）设出直线方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等（或者转化为），由此列方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程.【详解】()因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以 所以准线方程为. ()显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.联立得 消
18、去得. 由,解得. 所以且.由韦达定理得,.方法一:直线的方程为,又,所以,所以, 因为,所以直线与直线的斜率相等又,所以. 整理得,即,化简得,即. 所以,整理得,解得. 经检验,符合题意.所以存在这样的直线,直线的方程为或 方法二:因为,所以,所以.整理得,即, 整理得.解得,经检验,符合题意.所以存在这样的直线,直线的方程为或.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.22.若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.()求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;()求证:若数列为“和谐数列”,则数列
19、从第项起为等差数列;()若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.【答案】()见解析 () 见解析() .【解析】【分析】（I）利用等差数列的定义，证得等差数列为“和谐数列”.（II）利用等差数列定义，通过证明，证得数列从第项起为等差数列.（III）对依次进行验证，当时，结合（II）的结论和等差数列前项和公式进行列式，求得的可能取值.【详解】()证明:因为数列为等差数列,所以对任意两个正整数,有 , 所以 .所以 数列为“和谐数列”. ()证明:因为数列为“和谐数列”,所以 当,时,只能成立, 不成立.所以 ,即. 当,时,也只能成立,不成立.所以 ,即,所以. 令,则数列满足.所以,数列从第3项起为等差数列.()解:若,则,与矛盾,不合题意. 若,则,但,不合题意若,则,由,得, 此时数列为:,符合题意.若,设,则.所以,即 .因为,所以.所以不合题意.所以. 因为p为整数,所以为整数,所以.综上所述,p的所有可能值为.【点睛】本小题主要考查新定义数列的概念的理解和运用，考查等差数列的定义，考查等差数列前项和公式，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.
