1、东台市安丰中学20122013学年度第一学期高三数学期中试卷(第卷)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题纸相应位置上)1、=_2、设集合,_.3、若将复数表示为是虚数单位的形式,则 。 4、已知函数f(x),若f (a)f (1)0,则实数a的值等于 5、函数单调递减区间是 。6、已知,则 _ 7、已知|=3,|=4,(+)(+3)=33,则与的夹角为 _ 8、等比数列的前项和为,已知成等差数列,则等比数列的公比为_9、已知函数.则函数在区间上的值域为_10、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 11、定义在-4,4上的偶函数f
2、(x)在区间0,4上单调递减,若,则实数的取值范围是 12、已知存在实数,满足对任意的实数,直线都不是曲线的切线,则实数的取值范围是 _ 13、已知函数f (x)ax2bx与直线yx相切于点A(1,1),若对任意x1,9,不等式f (xt)x恒成立,则所有满足条件的实数t的值为_14、函数的定义域为,若满足在内是单调函数,存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 _ 二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。15(本题满分14分)已知且(1)求的值;(2)证明:.ABCDEFPQ16、 (本
3、题满分14分)如图,空间几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直,且AEAD,EF/AD,其中P,Q分别为棱BE,DF的中点(1)求证:BDCE;(2)求证:PQ平面ABCD17、(本题满分14分)设等差数列的前项和为且 (1)求数列的通项公式及前项和公式;(2)设数列的通项公式为,问: 是否存在正整数t,使得成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.18、(本题满分16分)已知椭圆E:的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:过A,F2两点(1)求椭圆E的方程;(2)设直线PF2的倾斜角为,直线PF1的倾斜角为,当时,证明:
4、点P在一定圆上 (3)直线BC过坐标原点,与椭圆E相交于B,C,点Q为椭圆E上的一点,若直线QB,QC的斜率存在且不为0,求证:为定植。19、(本题满分16分)如图一块长方形区域ABCD,AD2(),AB1()在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角EOF始终为,设AOE,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S(1)当0时,写出S关于的函数表达式;(2)当0时,求S的最大值(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且AOG,求点G在“一个来回”中
5、,被照到的时间G a F E D C B A O (第19题)20、(本题满分16分)已知函数.(1)若函数在区间上有极值,求实数的取值范围;(2)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围;(3)当,时,求证:.数学(理科附加题) (满分40分,考试时间30分钟)21【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲已知 中,,是外接圆劣弧上的点(不与点重合),延长至.求证:的延长线平分.B选修42矩阵与变换已知矩阵,若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1,属于特征值5的一个特征向量为2=求矩阵A,并写出A的逆矩阵
6、C选修44参数方程与极坐标在极坐标系中,求曲线与的交点的极坐标D选修45不等式证明选讲设均为正数,证明:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 已知函数f(x)=(k0)(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意的x(0,+),都有f(x),求k的取值范围.23.在平面直角坐标系中,已知焦点为的抛物线上有两个动点、,且满足, 过、两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为 (1) 求:的值; (2) 证明:为定值 20122013学年度第一学期高三数学期中试卷卷参考答案一、填空题1、 2、 3、1 4、 5、(0,2) 6、 7、12
7、08、 9、 10、4 11、 12、 13、4 14、二、解答题15、解:(1)=(6分)(2)易得,又 所以,(8分) 由(1)可得,所以(14分)16、17、解:(1)设等差数列的公差为d. 由已知得 2分即解得4分.故. 6分(2)由(1)知.要使成等差数列,必须,即,8分.整理得, 11分因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当时,;当时,; 当时,.故存在正整数t,使得成等差数列. 14分18、解:(1)圆与轴交点坐标为,故,所以,椭圆方程是:4分(2)设点P(x,y),因为(,0),(,0),设点P(x,y),则tan,tan,因为,所以tan()因为tan(),所以化简得
8、x2y22y3H OA B C DE F a G 图所以点P在定圆x2y2-2y3上10分(3)=16分19、解:(1)过O作OHBC,H为垂足当0时,E在边AB上,F在线段BH上(如图),此时,AE,FH, 2分SS正方形OABHSOAESOHF 2分当时,E在线段BH上,F在线段CH上(如图),此时,EH,FH, 4分EFSSOEF 综上所述, 6分(2)当0时,S,即S 8分0,01即1122S2当1时,S取得最大值为2 10分(3)在“一个来回”中,OE共转了2其中点G被照到时,共转了2 则“一个来回”中,点G被照到的时间为(分钟) 16分20、解:(1), 当时,;当时,;函数在区间
9、(0,1)上为增函数;在区间为减函数 -3分当时,函数取得极大值,而函数在区间有极值.,解得. -5分(2)由(1)得的极大值为,令,所以当时,函数取得最小值,又因为方程有实数解,那么,即,所以实数的取值范围是:. -10分(另解:,令,所以,当时,当时,;当时,当时,函数取得极大值为当方程有实数解时,.)(3)函数在区间为减函数,而,即 -12分即,而,结论成立. -16分卷附加题参考答案及评分标准A选修41几何证明选讲解()设为延长线上一点四点共圆, 3分又 , 5分且, , 7分对顶角, 故, 即的延长线平分. 10分B选修42矩阵与变换解:由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1可得,即
10、; 3分由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为2,可得5,即, 6分解得即A, 7分A的逆矩阵是 10分C选修44参数方程与极坐标解:以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系则曲线可化为: 曲线化为x=1, 6分 由可得交点坐标(1,1),所以交点Q的极坐标是10分D选修45不等式证明选讲证明: 3分 9分即得. 10分另证 利用柯西不等式取代入即证.22. 解:(1)f(x)2分令f(x)=0,得x=k.因为k0,所以f(x)与f(x)的变化情况如下:x(-,k)k(k,-k)-k(-k,+)f(x)-0+0-f(x)04k2e-1所以f(x)的单调递减区间是(-,k)和(-k,+),单调递增区间是(k,-k).6分(2) 因为k0,由(1)知f(x)在(0,+)上的最大值是f(-k)=所以x(0,+),f(x)等价于f(-k)=,解得-k0.故当x(0,+),f(x)时,k的取值范围是-,0).10分23.解:设焦点F(0,1) 消得化简整理得 (定值)5分(2)抛物线方程为过抛物线A、B两点的切线方程分别为和即和联立解出两切线交点的坐标为=(定值)10分