1、东台市安丰中学20122013学年度第一学期高三数学期中试卷（第卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1、=_2、设集合，_.3、若将复数表示为是虚数单位的形式，则 。 4、已知函数f（x），若f （a）f （1）0，则实数a的值等于 5、函数单调递减区间是 。6、已知，则 _ 7、已知|=3，|=4，(+)(+3)=33，则与的夹角为 _ 8、等比数列的前项和为,已知成等差数列，则等比数列的公比为_9、已知函数.则函数在区间上的值域为_10、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 11、定义在-4,4上的偶函数f
2、(x)在区间0,4上单调递减，若，则实数的取值范围是 12、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 _ 13、已知函数f (x)ax2bx与直线yx相切于点A(1,1)，若对任意x1,9，不等式f (xt)x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为_14、函数的定义域为,若满足在内是单调函数,存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 _ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。15（本题满分14分）已知且（1）求的值；（2）证明：.ABCDEFPQ16、 （本
3、题满分14分）如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AEAD，EF/AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点（1）求证：BDCE；（2）求证：PQ平面ABCD17、（本题满分14分）设等差数列的前项和为且 （1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.18、（本题满分16分）已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：过A，F2两点（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为，直线PF1的倾斜角为，当时，证明：
4、点P在一定圆上 （3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B,C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB,QC的斜率存在且不为0，求证：为定植。19、（本题满分16分）如图一块长方形区域ABCD，AD2（），AB1（）在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角EOF始终为，设AOE，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S（1）当0时，写出S关于的函数表达式；（2）当0时，求S的最大值（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且AOG，求点G在“一个来回”中
5、，被照到的时间G a F E D C B A O （第19题）20、（本题满分16分）已知函数.（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；（3）当，时，求证：.数学（理科附加题） (满分40分，考试时间30分钟)21【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲已知 中，,是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至.求证：的延长线平分.B选修42矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1，属于特征值5的一个特征向量为2=求矩阵A，并写出A的逆矩阵
6、C选修44参数方程与极坐标在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标D选修45不等式证明选讲设均为正数，证明：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 已知函数f(x)=（k0）(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意的x(0,+)，都有f(x)，求k的取值范围.23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为 （1） 求：的值； （2） 证明：为定值 20122013学年度第一学期高三数学期中试卷卷参考答案一、填空题1、 2、 3、1 4、 5、（0,2） 6、 7、12
7、08、 9、 10、4 11、 12、 13、4 14、二、解答题15、解：（1）=（6分）（2）易得，又 所以，（8分） 由（1）可得，所以（14分）16、17、解：（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 2分即解得4分.故. 6分（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，8分.整理得， 11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，； 当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 14分18、解：（1）圆与轴交点坐标为，故，所以，椭圆方程是：4分（2）设点P（x，y），因为（，0），（，0），设点P（x，y），则tan,tan，因为，所以tan()因为tan()，所以化简得
8、x2y22y3H OA B C DE F a G 图所以点P在定圆x2y2-2y3上10分（3）=16分19、解：（1）过O作OHBC，H为垂足当0时，E在边AB上，F在线段BH上（如图），此时，AE，FH， 2分SS正方形OABHSOAESOHF 2分当时，E在线段BH上，F在线段CH上（如图），此时，EH，FH， 4分EFSSOEF 综上所述， 6分（2）当0时，S，即S 8分0，01即1122S2当1时，S取得最大值为2 10分（3）在“一个来回”中，OE共转了2其中点G被照到时，共转了2 则“一个来回”中，点G被照到的时间为（分钟） 16分20、解：（1）， 当时，；当时，；函数在区间
9、（0，1）上为增函数；在区间为减函数 -3分当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.，解得. -5分（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：. -10分（另解：，令，所以，当时，当时，；当时，当时，函数取得极大值为当方程有实数解时，.）（3）函数在区间为减函数，而，即 -12分即，而，结论成立. -16分卷附加题参考答案及评分标准A选修41几何证明选讲解（）设为延长线上一点四点共圆， 3分又 , 5分且, , 7分对顶角, 故, 即的延长线平分. 10分B选修42矩阵与变换解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1可得，即
10、； 3分由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为2，可得5，即， 6分解得即A， 7分A的逆矩阵是 10分C选修44参数方程与极坐标解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系则曲线可化为： 曲线化为x=1, 6分 由可得交点坐标（1，1），所以交点Q的极坐标是10分D选修45不等式证明选讲证明： 3分 9分即得. 10分另证 利用柯西不等式取代入即证.22. 解：(1)f(x)2分令f(x)=0，得x=k.因为k0，所以f(x)与f(x)的变化情况如下:x(-,k)k(k,-k)-k(-k,+)f(x)-0+0-f(x)04k2e-1所以f(x)的单调递减区间是(-,k)和(-k,+)，单调递增区间是(k,-k).6分(2) 因为k0,由(1)知f(x)在(0,+)上的最大值是f(-k)=所以x(0,+),f(x)等价于f(-k)=,解得-k0.故当x(0,+),f(x)时,k的取值范围是-,0).10分23.解：设焦点F（0,1） 消得化简整理得 （定值）5分（2）抛物线方程为过抛物线A、B两点的切线方程分别为和即和联立解出两切线交点的坐标为=（定值）10分