1、高考资源网（） 您身边的高考专家梁河一中2021届7月理科数学试题本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.第卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 已知集合,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】
2、试题分析：为在集合A但不在集合B中的元素构成的集合，因此考点：集合的交并补运算2. 设为虚数单位，若复数满足，则复数（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意得到，根据复数的除法运算法则，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，所以距离为.考点：双曲线与渐近线4. 设向量、满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将等式两边平方，可求得的值，进而可求得的值，由此可求
3、得的值.【详解】将等式两边平方得，所以，因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.8，则连续两天为优良的概率是（ ）A. 0.6B. 0.75C. 0.8D. 0.45【答案】A【解析】【分析】根据独立事件的概率公式计算【详解】某天空气质量优良为事件，随后一天的空气质量优良为事件，则，故选：A【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，掌握独立事件的概率公式是解题基础6. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出
4、的尺寸（单位：），则该几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：试题分析：此几何体为三棱锥,此三棱锥的体积为.故C正确.考点：三视图.7. 阅读右侧的算法框图，输出结果的值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】=8. 设曲线在点处有极值，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】求出导数，由时的导数值为0求得，并验证此时1是极值点即可【详解】由题意，是极值点，则，当时，时，时，是极大值点，满足题意故选：D【点睛】本题考查导数与极值的关系，由极值点求参数值一般在由导数值为0求出参数值后需检验9. 已知点在曲线上，点在不等式组所表示的平
5、面区域上，那么的最小值是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，点在在圆上，圆心为，半径为，由图形可知只要求得直线的距离，再减去半径即得所求最小值【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图内部（含边界），点在圆上，圆心为，半径为，到直线的距离为，的最小值为2，的最小值为故选：C【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查两点间距离的最小值，解题关键是把两点间距离的最值转化为求点到直线的距离10. 钝角三角形的面积是，则边上的高等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角形的面积公式求得的值，分角为锐角和钝角两种情况讨
6、论，求得的长，利用等面积法可求得边上的高.【详解】由题意可得，.若角为锐角，则，由余弦定理得，则，此时，则，所以，为直角三角形，不合乎题意；若角为钝角，则，由余弦定理得，则.设边上的高为，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用三角形的面积公式计算底边上的高的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.11. 长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的
7、空间直角坐标系， 则、，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.12. 用表示a，b两个数中最小值.已知，设，则R的最大值为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值【详解】，当时，时，时，当时，当时，时，又当，即，的最大值是，的最大值是故选：C【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键理解新定义，根据新定义化简函数，变为已知的熟悉的函数，然后求解第卷二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 抛物线的准线方程是，则_【答案
8、】【解析】【分析】利用抛物线准线方程可求得实数的值.【详解】抛物线的准线方程为，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用抛物线的准线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14. 已知的展开式的常数项是第7项，则_.【答案】8【解析】【分析】通过计算通项，令次数为0即可得到答案.【详解】根据题意，可知第7项为，而常数项是第7项，则，故.故答案为：8.【点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题.15. 已知，则_【答案】【解析】【分析】可令，得出的值，再代入可得答案【详解】解：令，得，解得故答案为【点睛】本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题16. 中，则A的取值范围为_【答案】【解析】【分
9、析】由正弦定理将sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C 变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围【详解】因为sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，所以，即 所以 ，因为，所以【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边三.解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知数列满足，时，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）试比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明见解析，；（2）当或2
10、时；当时，；当时，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，注意要强调，由此可求得，再构造新数列是等比数列，从而可得通项公式；（2）由（1）可直接比较时两式大小，时，由，利用二项式定理可比较它与的大小【详解】（1）证明：当时，又，数列是以2为首项以2为公比的等比数列，数列是以为首项以为公比的等比数列，数列的通项公式为（2）由（1）知：当时，当时，当时，当时，综上：当或2时；当时，；当时.【点睛】本题考查等比数列证明，考查构造新数列求通项公式，考查二项式定理的应用构造新数列是解题关键18. 四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA= AB =1，AD =2，
11、点M是PB的中点，点N在BC边上移动（I）求证：当N是BC边的中点时，MN平面PAC; （）证明，无论N点在BC边上何处，都有PNAM；（）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45【答案】（）见解析；（）见解析；（）【解析】【分析】（）取AB的中点E，连接EN，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而可得平面MNE平面PAC，利用面面平行的性质，可得MN平面PAC；（）先证明BC平面PAB，可得线面垂直，进而可证AM平面PBC，利用线面垂直的性质，可得无论N点在BC边的何处，都有PNAM；（）建立空间直角坐标系，可得平面PDN的法向量，利用向量的夹角公式，结合PA与平面PDN所成
12、角的大小为45，即可求得BN的值【详解】（）证明：取AB的中点E，连接EN，M是PB的中点，N是BC中点，MEPA，NEACMENEE，PAACA，平面MNE平面PAC又MN平面MNE，MN平面PAC（）证明：PAAB1，M是PB的中点，AMPB又PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC又BCAB，PAABA，BC平面PAB又AM平面PAB，AMBCPBBCB，AM平面PBC又PN平面PBC，PNAM所以无论N点在BC边的何处，都有PNAM；（）分别以AD，AB，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BNm，则A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，1，0），C（2，1，
13、0），N（m，1，0），P（0，0，1），设平面PDN的法向量为（x，y，z），则，令x1得y2m，z2，则设PA与平面PDN所成的角为，则，解得或（舍去）【点睛】本题考查线面平行，线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定，正确运用空间向量，属于中档题19. 现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）频数赞成人数（I）根据以上统计数据填写下面列联表，并回答是否有的把握认为月收入以元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？月收入不低于百元的人数月收入低于百元的人
14、数合计赞成不赞成合计（II）若从月收入在、的被调查对象中各随机选取两人进行调查，记选中的人中不赞成“楼市限购政策”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：，其中.【答案】（）列联表见解析，没有的把握认为月收入以元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异；（）分布列见解析，.【解析】【分析】（）根据题中信息可完善列联表，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；（）由题意可知随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望.【详解】（）根据题目得22列联表：月收入不低于百元的人数月收入低于百元的人数合计赞成不赞成合计假设月收入以元为
15、分界点对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据可得到，假设不成立，所以没有的把握认为月收入以元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异.（）的可能取值有、.，.所以的分布列如下表所示：所以的期望值是.【点睛】本题考查列联表的完善、利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望的计算，考查学生数据处理能力与计算能力，属于中等题.20. 已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）设是椭圆上动点，求的取值范围，并求取最小值时点的坐标.【答案】（1）；（2）取值范围是；点P为和.【解析】【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点即得椭圆的焦点坐标和一个顶
16、点坐标，从而得，再求得即得椭圆离心率；（2）由三角形的性质易得当共线时，为最大值，当是线段的垂直平分线与椭圆交点时，取得最小值0【详解】（1）依题意，所以，.所以椭圆的离心率.（2），当且仅当时，.当且仅当P是直线与椭圆C的交点时，.所以的取值范围是.设，由得.由.解得或.所求点P为和.【点睛】本题考查求椭圆离心率，考查椭圆是距离问题的范围，求出是求椭圆方程的基本方法，平面上点到两定点距离之差的绝对值的最值问题，可利用三角形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此易得结论21. 已知函数在处的切线斜率为零（）求和的值；（）求证：在定义域内恒成立；() 若函数有最小值，且，求实
17、数的取值范围.【答案】（）（）证明：见解析；() 【解析】【分析】()求导根据求出的值,再根据曲线f(x)过点,求出b的值.()证明:f(x)在R上的最小值恒大于或等于零即可.利用导数研究单调性极值,求出最值即可.()先求出,然后分、和三种情况进行讨论.分别研究其最小值,令最小值m2e即可【详解】（）解：.由题意有即，解得或（舍去）得即，解得 （）证明：由（）知， 在区间上，有；在区间上，有故在单调递减，在单调递增，于是函数在上的最小值故当时，有恒成立 () 当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存
18、在最小值，不合题意综上，实数的取值范围是请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. 如图，是的直径，是弦，的平分线交于，交延长线于点，交于点（I）求证：是的切线；（II）若，求的值【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】【分析】（I）连接，可得，从而得到，根据垂直关系可证得，从而证得结论；（II）过作于，设，可表示出，根据可构造方程求得；利用求得结果.【详解】（I）连接，如下图所示：可得 又 是的切线（II）过作于则有 设，则，由可得： 又 【点睛】本题考查圆的切线的证明、利用相似求解线段的比例关系问题；求解比例问题的关键是能够利用相似
19、三角形对应边成比例将所求比例进行转化，属于常考题型.23. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于.（）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（）若成等比数列，求的值.【答案】（），；（）1.【解析】【分析】（）由化极坐标方程为直角坐标方程，消云参数可化参数方程为普通方程；（）把直线参数方程代入抛物线的直角坐标方程，由韦达定理得，由，及已知等比数列可求得【详解】解：（）由得，所以的直角坐标方程是，由消云参数得直线的普通方程是：（）直线的参数方程为（为参数），代入得到，则有，因为，所以，解得【点睛】本题考查极坐标方程与
20、直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查直线标准参数方程中参数的几何意义，属于中档题24. 已知函数（）求不等式的解集；（）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（）；（）或.【解析】分析】（）根据绝对值定义分类讨论去绝对值符号，然后解相应的不等式，最后求并集可得；（）利用绝对值的性质求出的最小值，再解相应不等式即得【详解】解：（）原不等式等价于或或解之得或或，不等式的解集为（）.，解此不等式得或.【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式有解问题（1）解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去绝对值符号，解题关键是确定分类的标准（2）不等式有解问题与恒成立问题有一个共同特征：转化为求函数的最值，区别是根据不等号方向一个是求最大值，一个是求最小值，解题时需区分清楚- 22 - 版权所有高考资源网
