1、高考资源网（） 您身边的高考专家2019-2020高二（下）理科数学期中试卷一.选择题（每题只有一个正确选项，计125=60分）1.命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）A. 假设至少有一个钝角B. 假设至少有两个钝角C. 假设三角形的三个内角中没有一个钝角D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角【答案】B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选2.已知a，b，c为不全相等的实数，Pa2b2c23，Q2(abc)，则
2、P与Q的大小关系是()A. PQB. PQC. P0，即PQ.【点睛】本题主要考查了比较大小常用的方法，作差法，属于基础题.3.已知展开式中，的系数为，则（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】D【解析】【分析】利用二项式的通项公式求得，从而求得的值.【详解】在展开式中，得二项式的通项公式 ，令，解得，所以的系数为，即.所以.故选：D【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题4.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转
3、化过程比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.【详解】可设，则，解得：故选：【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.5.10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分两步：1.首先先从后排6人中选2人出来；2.将这2人与前排4人排列，且前排4人的相
4、对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人，其他4人按原顺序排列，再由乘法原理计算即可.【详解】首先先从后排6人中选2人出来，共种不同选法，将这2人与前排4人排列，且前排4人的相对顺序不变，可以看成有6个位置，先选2个位置排这2人有种不同排法，其余位置按4人原顺序排好只有1种排法，由乘法原理，得不同调整方法的总数是.故选：C【点睛】本题考查排列与组合的应用，涉及到定序排列问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.6.已知随机变量服从正态分布，则（ ）A. 4B. 6C. 8D. 11【答案】C【解析】【分析】由已知条件求得，再由，即可求解.【详解】由题意，随机变量服从正态分布，可得
5、，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.7.一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是 ( )A. P(0X2)B. P(X1)C. P(X=1)D. P(X=2)【答案】B【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P（X=1）和P（X=0），即可判断等式表示的意义【详解】由题意可知 ，表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P（X1），故选B【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道
6、解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数8.已知离散型随机变量X的分布列为X123Pba则D(X)的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分布列中概率和为1可得的范围和的值，再求出的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题.【详解】，又，对称轴为，故选：C.【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.9.函数在上不单调，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导，转化函数在上不单调
7、为在存在变号零点，得到，即得解【详解】由题意函数在上不单调，即在存在变号零点令，可得（舍去）， 故 即故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题10.已知直线与函数的图象相切，且有两个不同的切点，则实数的值为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解【详解】由題意，知直线与函数在，上的图象均相切，由直线与的图象相切得，联立方程组，整理得，由，解得，此时切点为，直线方程为，设直线与的图象切于点，由函数，则，所以，所以，所以点的坐标为
8、，因为点在直线上，所以，解得故选：D【点睛】本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力11.设函数，若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数解析式，代入后求得导函数，并分离参数，即可由函数单调性和值域确定参数取值范围，进而由2个极值点得的取值范围.【详解】当时，所以，令，得，因为在上单调递减，则，所以当时，有一个极值点；当或时无极值点；当时，所以令，因为不是极值点，所以，记，因为，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以的图像大致如下：.因为函数有2个极值点，所以，即时有
9、两个极值点，综上当时有两个极值点故选：C.【点睛】本题考查导函数与函数单调性和极值最值的关系，分离参数法由构造函数法的综合应用，由极值点个数确定参数的取值范围，属于中档题12.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由求导公式和法则求出f（x），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围详解】解：由题意得，f（x），因为在1，+）上是单调函数，所以f（x）0或f（x）0在1，+）上恒成立，当f（x）0时，则在1，+）上恒成立，即a，设g（x）
10、，因为x1，+），所以（0，1，当1时，g（x）取到最大值是：0，所以a0，当f（x）0时，则在1，+）上恒成立，即a，设g（x），因为x1，+），所以（0，1，当时，g（x）取到最大值是：，所以a，综上可得，a或a0，所以数a的取值范围是（，0，+），故选：B【点睛】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题二.填空题（每题5分，计20分）13.一批产品的一等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的一等品件数，则_。【答案】9【解析】【分析】根据题意知，抽到一等品件数满足二项分布,然后求解方差即
11、可【详解】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型，其中，则故答案为：【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的方差的求法，属于容易题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用.14.关于变量的一组样本数据，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）恰好都在直线上，则根据这组样本数据推断的变量的相关系数为_【答案】-【解析】所有样本点都在直线上，说明这两个变量间完全负相关，故其相关系数为-1，故填-115.已知，则_.【答案】【解析】【分析】取，得出，再取，得出，最后由得出答案【详解】取，得出取，得出则故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理与数列求和的应用，属于中档题.16.曲
12、线的切线中，斜率最小的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出导函数，由基本不等式求得最小值，得最小的切线斜率，及切点坐标，然后可得切线方程【详解】由题意，当且仅当且，即时等号成立，又时，即斜率为1，切点为，切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用基本不等式求最值，属于中档题三解答题17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）（1）写出直线的普通方程和圆的极坐标方程；（2）已知点，直线与圆交于，两点，求的值【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）消去参数方程中的参数，
13、求得直线与圆的普通方程，根据直角坐标方程和极坐标方程的转化公式，求得圆的极坐标方程.（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，化简后写出根与系数关系，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得的值【详解】（1）由，两式相减并化简得直线的普通方程为：，由，消去参数，得圆的普通方程为：，所以圆的极坐标方程为：（2）把直线的参数方程（为参数）带入到圆的普通方程：中化简可得：，设，对应的参数分别为，则，异号，【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查直线参数方程中参数的几何意义的运用，属于中档题.18.019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者
14、，为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据：（1）请将列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？有接触史无接触史总计有武汉旅行史4无武汉旅行史10总计2545（2）已知在无武汉旅行史的10名患者中，有2名无症状感染者.现在从无武汉旅行史的10名患者中，选出2名进行病例研究，记选出无症状感染者的人数为，
15、求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中.【答案】（1）填表见解析；能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）根据表格中数据可得列联表，根据公式计算可得观测值，根据观测值，结合临界值表可得答案；（2）根据题意，的值可能为0，1，2，根据古典概型的概率公式可得的各个取值的概率，从而可得分布列，根据数学期望的公式计算可得数学期望.详解】（1）列联表补充如下：
16、有接触史无接触史总计有武汉旅行史15419无武汉旅行史101626总计252045随机变量的观测值为所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系.（2）根据题意，的值可能为0，1，2.则，故的分布列如下：故的数学期望：.【点睛】本题考查了独立性检验，考查了古典概型的概率公式，考查了随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.19.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，若曲线与曲线关于直线对称.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1
17、）求出曲线的直角坐标方程，根据对称性即可求得曲线的直角坐标方程；（2）分别写出两个曲线的极坐标方程，求出直线与曲线的交点的极坐标，根据几何意义即可求解.【详解】（1）曲线的参数方程为，化为直角坐标方程：，即圆心坐标，半径为2的圆，曲线与曲线关于直线对称，曲线也是半径为2的圆，设圆心坐标，有，解得，所以，曲线的直角坐标方程；（2）曲线是圆心坐标，半径为2的圆，其极坐标方程为：，曲线是圆心坐标，半径为2的圆，极坐标方程为：，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，所以，.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的互化，涉及求圆关于直线对称的圆的方程，根据极坐标求弦长.20.某“双一流A类”大学就
18、业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；（2）同一组数据用该区间的中点值作代表.（i）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差；（ii）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同
19、学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元.方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？参考数据：.【答案】（1）；（2）（i）2，；（ii）方案一.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出前2组中的人数，由分层抽样得抽取的人数，然后把6人编号，可写出任取2人的所有组合，也可得出获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的所有组合，从而可计算出概率（2）根据频率分布直方图计算出均值和方差，然
20、后求出区间，结合频率分布直方图可计算出两方案收取的费用【详解】（1）第一组有人，第二组有人.按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为，第二组抽5人，记为，.从这6人中抽2人共有15种：， ，.获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种：， ，.于是获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率.（2）（i）这100人月薪收入的样本平均数和样本方差分别是；（ii）方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）； 月薪落在区间收活动费用约（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；、因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）.方案二：这50人共收活动费用约为（万元）.故方案
21、一能收到更多的费用.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型属于基础题这类问题在计算均值、方差时可用各组数据区间的中点处的值作为这组数据的估计值参与计算21.已知函数，(1)若，求的单凋区间；(2)若函数是函数的图象的切线，求的最小值【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由 ，可得，得出，利用，即可求解函数的单调区间； （2）设起点坐标为，得出 ，设，利用导数求解函数的单调性与最值，即可得到的最小值.试题解析：(1)时， ，解得，解得，的单调增区间为，单调减区间为区间为(2)设切点坐标为设切点坐标为，切线斜率，又，,令， ，解得，解得，在上递减，在上递增，
22、的最小值为点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数求解函数在某点处的切线，利用导数求解函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，根据题意设出切点，得出，进而设出函数，利用导数研究函数的性质是解答的关键.22.已知函数.（）若，求的极值；（）已知有两个极值点，且.（i）求的取值范围；（ii）求证：.【答案】（），；（）（i）；（ii）见解析【解析】【分析】（）利用导数可求得函数单调性，由极值定义可知极大值为，极小值为，代入可求得极值；（）（i）将问题转化为有两个不等正根问题的求解，利用一元二次方程根的分布的知识可构造不等式组求得结果；（ii）由和可知，利用导数可求得的单调性，进而得到最值，使得结论得证.【详解】（）当时，当和时，；当时，在，上单调递增，在上单调递减，极大值为；极小值为.（）（i），令，则有两个极值点等价于有两个不等正根，解得：.（ii）由（i）知：，令，则单调递增，即.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、根据极值点个数求解参数范围、利用导数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够通过放缩的方式将问题转化为函数最值的求解问题.- 20 - 版权所有高考资源网
