1、数系的扩充与复数的引入导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义自主梳理1数系的扩充数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为_，实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念(1)复数的概念形如abi (a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的_和_若_，则abi为实数，若_，则abi为虚数，若_，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做
2、复平面_叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点表示_；除原点外，虚轴上的点都表示_；各象限内的点都表示_复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作_或_，即|z|abi|_.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；除法：_(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1
3、z2_，(z1z2)z3_.自我检测1(2011山东改编)复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第_象限2(2011广东改编)设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z_.3(2011大纲全国改编)复数z1i，为z的共轭复数，则zz1_.4(2011重庆改编)复数_.5(2011江苏)设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_.探究点一复数的基本概念例1设mR，复数z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z为实数，则m_；(2)若z为纯虚数，则m_.变式迁移1已知复数z(a25a6)i (aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)
4、纯虚数探究点二复数的运算例2计算：(1)；(2)2 012.变式迁移2计算：(1)；(2)；(3).探究点三复数的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数变式迁移3(2010苏北四市期末)复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC是钝角，则实数c的取值范围为_2乘法法则：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法法则：i(cdi0)特别地：(abi)2a22abib2a2b22abi，(abi)(abi)a2b
5、2.3进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30 (nN)；(2)(1i)22i，(1i)22i，i，i.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2011江西改编)若z，则复数_.2(2010北京)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数为_3若(，)，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在第_象限4(2011课标全国改编)复数的共轭复数是_5下面四个命题：(1)0比i大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数
6、；(3)xyi1i的充要条件为xy1；(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是_6已知z12i，z213i，则复数的虚部为_7已知复数z1m2i，z234i，若为实数，则实数m_.8(2010上海九校联考)复数zxyi (x，yR)满足|z1|x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为_二、解答题(共42分)9(12分)已知|z|z12i，求复数z.10(14分)(2011海口调研)已知复数z0ai和zz0|z0|1(1)i，i为虚数单位，a为实数求证：复数z不可能为纯虚数11(16分)已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)zR；(2)z
7、是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线xy30上学案68数系的扩充与复数的引入答案自主梳理1自然数系有理数系实数系NQR2.(1)实部虚部b0b0a0且b0(2)ac，bd(3)ac，bd(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数原点(5)|z|abi|3.(1)(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)z2z1z1(z2z3)自我检测1四解析zi，复数z对应的点的坐标为(，)，在第四象限21i解析方法一设zxyi，则(1i)(xyi)xy(xy)i2，故应有解得故z1i.方法二z1i.3i解析z1i，1i，z|z|22，zz12(1i)1i.4.
8、i解析i.51解析设zabi(a、bR)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.课堂活动区例1解题导引根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值利用概念解题时，要看准实部与虚部答案(1)1或2(2)解析z(2m23m2)(m23m2)i.(1)若z为实数，则m23m20.m1或2.(2)若z为纯虚数，则解得m.变式迁移1解(1)当z为实数时，则有，a6，即a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有a25a60且a210，a1且a6且a1.a1且a6.当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，有，.不存在实数a使z
9、为纯虚数例2解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误解(1)i.(2)原式1 0061 0060i(i)1 006ii2i11i.变式迁移2解(1)13i.(2)i.(3)1.例3解题导引根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复
10、数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.变式迁移3c且c9解析在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c6)，由BAC是钝角得0且B、A、C不共线，由(3，4)(c3,2c10)，其中当c9时，(6,8)2，三点共线，故c9.课后练习区12i解析z2i，2i.224i解析复数65i对应A点的坐标为(6,5)，23i对应B点的坐标为(2,3)由中点坐标公式知C点坐标为(2,
11、4)，点C对应的复数为24i.3二解析由三角函数线知识得当(，)时，sin cos 0.故点在第二象限4i解析方法一i，的共轭复数为i.方法二i.的共轭复数为i.50解析(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)xyi1i的充要条件为xy1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；(4)当a0时，没有纯虚数和它对应61解析i，故虚部为1.7解析是实数，64m0，故m.8y22x1解析由|z1|x得|(x1)yi|x，故(x1)2y2x2，x0，整理得y22x1.9解设zabi (a、bR)，则(abi)12i.
12、(2分)由两复数相等的充要条件得(8分)解得.所以所求复数为z2i.(12分)10证明因为2a10，所以a，所以|z0|a1|a1，(4分)zai(a1)1(1)i(a)(a1)i，若使z为纯虚数，则有(10分)解方程得a1(a)，代入不符合，故z不可能为纯虚数(14分)11解(1)当z为实数时，则有m22m30且m10得m3，故当m3时，zR.(4分)(2)当z为纯虚数时，则有解得m0，或m2.当m0或m2时，z为纯虚数(8分)(3)当z对应的点位于复平面第二象限时，则有，.解得m3或1m2，故当m3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限(12分)(4)当z对应的点在直线xy30上时，则有(m22m3)30，得0，解得m0或m1.当m0或m1时，点Z在直线xy30上(16分)
