1、天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷本试卷分为第卷（选择题）、第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!一、选择题：1.已知集合Ax|x2x20，Bx|1，则AB（）A. （1，2）B. （1，2C. （0，1）D. （0，2）【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【详解】集合Ax|x2x20x|1x2，Bx|1x|0x2，ABx|1x2（1，2故选：B【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.对一切，恒成立，则实数的取值范围是（）A.
2、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为，再解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】解：对一切，恒成立，转化为：的最大值，又知，的最大值为；所以，解得或.故选：B.【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【
3、详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出，由此选出正确结论.【详解】解：，；.故选：C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题.5.若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得的值.【详解】解：，则,故选：C.【点睛】
4、本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.6.已知是定义在上的奇函数，若，则的值为（ ）A. -3B. 0C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】根据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数的周期，即可求出结果.【详解】为奇函数，.又，所以，因此，函数是周期为4的周期函数，所以.又，因此.故选A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，灵活运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.7.用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（ ）A. B. C
5、. D. 【答案】C【解析】【分析】设截去小正方形的边长为x,求出铁盒的容积的解析式，再利用导数求函数的最值和此时x的值得解.【详解】设截去的小正方形的边长为x,则铁盒的长和宽为18-2x,高为x,所以，所以，所以函数在（0,3）单调递增，在（3,9）单调递减，所以当x=3时，函数取最大值.故选:C【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理应用能力.8.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先注意到，是函数的一个零点.当时，将分离常数得到，构造函数，画出的图像，根据“函数与函数有一个交点”结合图像
6、，求得的取值范围.【详解】解：由恰有两个零点，而当时，即是函数的一个零点，故当时，必有一个零点，即函数与函数必有一个交点，利用单调性，作出函数图像如下所示，由图可知，要使函数与函数有一个交点，只需即可.故实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.已知函数，其中，其图象关于直线对称，对满足的，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解
7、析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.【详解】解：已知函数，其中，其图像关于直线对称，对满足的，有，.再根据其图像关于直线对称，可得，.，.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令，求得，则函数的单调递减区间是，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.二、填空题：10.已知复数的实部为1，则_【答案】【解析】【分析】化简为的形式，根据实部为求得的值，由此求得，进而求得.【详解】解：，即.，则.故答案：.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数实部
8、的概念和运算，考查复数模的求法，属于基础题.11.已知，则值是_.【答案】【解析】【分析】先将已知条件两边平方，求得，再根据，求得的值.【详解】解：把，两边平方得：，即，则，则.故答案为：.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式的运用，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求得函数的导函数，利用切点和斜率列方程，解方程求得的值.【详解】解：得，曲线在点处的切线方程为.，即，解得，故答案为：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关曲线切线方程
9、的问题，考查方程的思想，属于基础题.13.已知函数f(x)|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.【答案】9.【解析】【分析】先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，再分析得到0m2m1，则f(x)在m2，1)上单调递减，在(1，n上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解.【详解】因为f(x)|log3x|,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn且f(m)f(n)，可得,则,所以0m2m1，则f(x)在m2，1)上单调递减，在(1，n上单调递增，所以f(m2)f(m)f(n)，则f(
10、x)在m2，n上的最大值为f(m2)log3m22，解得m，则n3，所以9.故答案为：9【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.14.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放在甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数为，则的值为_【答案】【解析】【分析】当抽取个球时，的取值为，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取个球时，的取值为，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.【详解】解：甲盒中含有红球的个数的取值为1，2，则，.则；甲盒中含有
11、红球的个数的值为1，2，3，则，.则.故答案为：.【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法，考查古典概型概率计算公式，考查组合数的计算，属于中档题.15.已知函数，有以下结论：若，则；在区间上是增函数；的图象与图象关于轴对称；设函数，当时，。其中正确结论为_。【答案】【解析】【分析】首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.【详解】 当时，函数的周期为，或 ，所以不正确；时，所以是增函数，正确；函数还可以化简为，所以与关于轴对称，正确；，当时， ，正确故选【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.三、解答题：16.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（）2
12、（）【解析】【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值.（II）先求得的值,再利用二倍角公式结合齐次式计算求得、的值,再利用两角和的正弦公式求得的值.【详解】解：（I）已知，.（II），【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.17.已知函数，为的导数（）求曲线在点处的切线方程；（）证明：在区间上存在唯一零点；（）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（）；（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程。（）设，则，由导函
13、数研究的单调性进，而得出答案。（）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解。【详解】（），所以，即切线斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.（）设，则.当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（）由已知，转化为， 且的对称轴所以 . 由()知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.所以，即，因此，的取值范围是.【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题。18.已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+2cos2x
14、，其中0，且函数f（x）的最小正周期为（1）求的值；（2）求f（x）的单调增区间（3）若函数g（x）=f（x）-a在区间-，上有两个零点，求实数a的取值范围【答案】(1)1.(2) -+k，+k，kZ，(3)见解析.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用三角函数周期公式可求的值（2）由正弦函数的单调性可求的单调增区间（3）作出函数在上的图象，从图象可看出 ，可求当曲线与在上有两个交点时，2，即可得解实数的取值范围【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2 -）+2=sin2 +cos2 +sin2 -cos2 +1+cos2=
15、sin2 +cos2 +1， 又因为T=，所以（2）由2k- 2+ 2k+，kZ，解得：-+k +k，kZ，可得f（x）的单调增区间为：-+k，+k，kZ， （3）作出函数在上的图象如图：函数g（x）有两个零点，即方程有两解，亦即曲线与在x上有两个交点，从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，所以当曲线与在x上有两个交点时，则2 ，即实数的取值范围是【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题19.设椭圆的
16、右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.（）求椭圆的标准方程；（）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）根据离心率和弦长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设出两点的坐标，利用的面积与面积的关系得到，利用向量结合平面向量共线的坐标运算，求得两点横坐标的关系.分别联立直线的方程与直线、直线的方程与椭圆的方程，根据两点横坐标的关系列方程，解方程求得的值.【详解】（）设椭圆的焦距为，由已知得，所以，椭圆的方程为.（）设点，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即.易知直线的方
17、程为，由消去，可得由方程组消去，可得.由，可得，整理得，解得，或.当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去.所以，的值为.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查两条直线交点、直线和椭圆交点坐标的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.20.已知函数，（）当，时，求曲线在处的切线方程；（）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（）当，时，若方程有两个不同的实数解，求证：.【答案】（）（）（）详见解析【解析】【分析】（）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（）对，都成立，则对，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；（）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可.【详解】解：（）当时，时，当时，当时.曲线在处的切线方程为；（）当时，对，都成立，则对，恒成立，令，则.令，则，当，此时单调递增；当时，此时单调递减，的取值范围为；（）当，时，由，得，方程有两个不同的实数解.令.则.令.则，当时.此时单调递增；当时.此时单调递减，又，只要证明，就能得到.即只要证明，令，则，在上单调减，则，即，证毕.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查恒成立问题的求解策略，考查利用导数求函数的单调区间、最值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.
