1、学案14导数在研究函数中的应用0导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值自主梳理1导数和函数单调性的关系：(1)若f(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是_函数，f(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为_区间；(2)若f(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是_函数，f(x)1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a1.多角度审题(1)先求导，根据参
2、数a的值进行分类讨论；(2)若x1x2，结论等价于f(x1)x1f(x2)x2，若x1x2，问题等价于f(x1)x1f(x2)x2，故问题等价于yf(x)x是单调增函数【答题模板】(1)解f(x)的定义域为(0，)f(x)xa.2分若a11，即a2时，f(x).故f(x)在(0，)上单调递增若a11，故1a2时，则当x(a1,1)时，f(x)0，故f(x)在(a1,1)上单调递减，在(0，a1)，(1，)上单调递增若a11，即a2时，同理可得f(x)在(1，a1)上单调递减，在(0,1)，(a1，)上单调递增6分(2)证明考虑函数g(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx.则g(x)x(a1
3、)2(a1)1(1)2.由于1a0，即g(x)在(0，)上单调递增，从而当x1x20时，有g(x1)g(x2)0，即f(x1)f(x2)x1x20，故1.10分当0x11.综上，若a1.12分【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题1求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域
4、内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性2可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值
5、是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值4求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011大连模拟)设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f(x)、g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(x)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(x)f(b)g(
6、b)Df(x)g(x)f(a)g(a)2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 ()A1个B2个C3个D4个3(2011嘉兴模拟)若函数ya(x3x)在区间上为减函数，则a的取值范围是 ()Aa0B1a1D0aCmDm3BaDa0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值答案 自主梳理1(1)增增(2)减减(3)增减2.(1)f(x)0f(x)0f(x)0(2)f(x)0f(x)0极大值极小值自我检测1C2.D3.C4.C518解析f(x)3x22axb，由题意即得a4，b11或a3，b3.但当a3
7、时，f(x)3x26x30，故不存在极值，a4，b11，f(2)18.课堂活动区例1解题导引(1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f(x)0或f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x0，x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即x2(a2)xa0对x(1,1)恒成立设h(x)x2(a2)xa只须满足，解得a.(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能
8、的故函数f(x)不可能在R上单调递减若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立而x2(a2)xa0不可能恒成立，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数变式迁移1解(1)由题意得f(x)3x22(1a)xa(a2)，又，解得b0，a3或a1.(2)由f(x)0，得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不单调，即或解得或所以a的取值范围为(5，)(，1)例2解题导引本题研究函数的极值问题利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解判断函数极值时要
9、注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值解(1)由题意可知f(x)3ax2b.于是，解得故所求的函数解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数的大致图象如图，故实数k的取值范围为(，)变式迁移2解(1)f(x)2bx1，.解得a，b.(2)f(
10、x)()1.函数定义域为(0，)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减x1是f(x)的极小值点，x2是f(x)的极大值点例3解题导引设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0；当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由解得
11、a2，b4，又切点的横坐标为x1，f(1)4.1abc4.c5.(2)由(1)，得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x2或x，f(x)0的解集为，即为f(x)的减区间3，2)、是函数的增区间又f(3)8，f(2)13，f，f(1)4，yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.变式迁移3解(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，
12、因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22，令g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)，(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在区间(，)上是增函数由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).课后练习区1C2.A3.A4.A5.B63解析f(x)()，又x1为函数的极值，f(1)0.121a0，即a3.7解析观察函数f(x)的导函数f(x)的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断8(，3
13、)(6，)解析f(x)3x22mxm60有两个不等实根，则4m212(m6)0，m6或m3.9解f(x)()，由f(x)0得x2,1.(4分)当x(，2)时f(x)0，故x2是函数的极小值点，故f(x)的极小值为f(2)；(8分)当x(2,1)时f(x)0，当x(1，)时f(x)0，得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)(2，)；由f(x)0，得0x2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2)(8分)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值 (10分)由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值(12分)综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值(14分)
