1、2016年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）ABCD2设集合M=x|x0，N=x|lnx1，则下列结论正确的是（）ABM=NCMRN=RDMRN=M3要从编号为150的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，324已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=loga（xb）的图象是（）ABCD5下
2、列命题中，真命题是（）AxR，2xx2BxR，ex0C若ab，cd，则acbdDac2bc2是ab的充分不必要条件6已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若，则tan（+）=（）A7BC7D7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD8九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积
3、约是（）A6平方米B9平方米C12平方米D15平方米9已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A20B16C10D510已知函数f（x）=，g（x）=kx1，若函数y=f（x）g（x）有且仅有4个不同的零点则实数k的取值范围为（）A（1，6）B（0，1）C（1，2）D（2，+）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11如图所示的程序框图中，x2，2，则能输出x的概率为12在平行四边形中，AC与BD交于点O， =，CE的延长线与AD交于点F，若=+（，R），则+=13已知奇函数f（x）满足对任意xR
4、都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=14（x+y）（xy）7的展开式中，x3y5的系数为15双曲线C：=1（a0，b0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=4x的准线1围成区域，对于区域（包含边界），对于区域内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在，上的值域；（2）在ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B17如图，在四棱锥PABCD中，底
5、面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，DAC=AOB（1）求证：BE平面PAD；（2）若二面角PCDA的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值18已知等比数列an满足an+1+an=104n1（nN*），数列bn的前n项和为Sn，且bn=log2an（I）求bn，Sn；（）设cn=，证明： +Sn+1（nN*）19甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛双方约定：比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利比赛结束）双方各派出三名队员前三场每位队员各比赛场已知甲俱乐部派出队员A1、A2A3，其中A3只参加第三场比赛另外两名队员A1、
6、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2B3，其中B1参加第一场与第五场比赛B2参加第二场与第四场比赛B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表： A1 A2 A3 B1 B2 B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序使得取胜的概率最大？（）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）20已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by=0的距离为（I）求椭圆C1的方程；（）过点P的直线l交椭圆
7、C1于A、B两点（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2： =1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由21已知函数f（x）=axx2bln（x+1）（a0），g（x）=exx1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若x0，g（x）f（x）+x2，求a的取值范围2016年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，则复数的虚
8、部为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=，复数的虚部为故选：A2设集合M=x|x0，N=x|lnx1，则下列结论正确的是（）ABM=NCMRN=RDMRN=M【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】N=x|lnx1=（0，e，利用集合的运算性质即可得出【解答】解：集合M=x|x0，N=x|lnx1=（0，e，则上述结论正确的是MRN=M故选：D3要从编号为150的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，32【
9、考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为505=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B4已知函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，则函数g（x）=loga（xb）的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据f（x）的图象可以求出a，b的范围，根据对数函数的图象和性质即可判断【解答】解：函数f（x）=（xa）（xb）（其中ab）的图象如图所示，1b0，a1，g（x）=loga（xb）为增函数，xb0，xb，g（x）=loga（xb）由y=logax的图象向左平移|b|的单位得到
10、的，故选：B5下列命题中，真命题是（）AxR，2xx2BxR，ex0C若ab，cd，则acbdDac2bc2是ab的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；D主要是对c=0特殊情况的考查【解答】解：A当x=2时，2x=x2，故错误；B根据指数函数性质可知对任意的x，都有ex0，故错误；C若ab，cd，根据同向可加性只能得出a+cb+d，故错误；Dac2bc2，可知c0，可推出ab，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确故选D6已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4）
11、，若，则tan（+）=（）A7BC7D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的化简求值【分析】根据平面向量垂直时数量积为0求出tan，再利用两角和的正切公式求值即可【解答】解：=（x，y），向量=（3，4），且，3x+4y=0，则=，tan=，tan（+）=故选：D7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，由此能求出该几何体的体积【解答】解：由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，该几何体的体积为V=（）
12、=故选：B8九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A6平方米B9平方米C12平方米D15平方米【考点】扇形面积公式【分析】在RtAOD中，由题意OA=4，DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解【解答】解：如图，由题意可得：AOB=，OA=4，在RtAOD中，可得：AOD=，DAO=，OD=AO=，可得：矢=
13、42=2，由AD=AOsin=4=2，可得：弦=2AD=22=4，所以：弧田面积=（弦矢+矢2）=（42+22）=49平方米故选：B9已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A20B16C10D5【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（1，a），B（m，n），且n2=8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得【解答】解：由抛物线C：y2=8x，可得F（2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=8m，1+2=3（m+2），m=3，n=2，a=3n，a=6，|AB|=20故选：A10已知函数
14、f（x）=，g（x）=kx1，若函数y=f（x）g（x）有且仅有4个不同的零点则实数k的取值范围为（）A（1，6）B（0，1）C（1，2）D（2，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简可得函数f（x）=与g（x）=kx1的图象有四个不同的交点，从而作图，结合图象求导，利用导数的几何意义求解【解答】解：函数y=f（x）g（x）有且仅有4个不同的零点，函数f（x）=与g（x）=kx1的图象有四个不同的交点，作函数f（x）=与g（x）=kx1的图象如下，易知直线y=kx1恒过点（0，1）；设A（x，x2+4x），y=2x+4；故2x+4=，故x=1；故k=2+4=2；设B（x，xlnx），
15、y=lnx+1，则lnx+1=，解得，x=1，故k=ln1+1=1，结合图象可知，实数k的取值范围为（1，2），故选C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11如图所示的程序框图中，x2，2，则能输出x的概率为【考点】程序框图【分析】由|x|+|x1|2，可解得：x，即当x，时满足框图的条件，能输出x的值，结合x2，2，利用几何概型即可计算得解【解答】解：|x|+|x1|2，或，或，解得：x0，或0x1，或1x，即x，时满足框图的条件，能输出x的值x2，2，能输出x的概率为： =故答案为：12在平行四边形中，AC与BD交于点O， =，CE的延长线与AD交于点F，若=+（，R），则+
16、=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用三角形的相似关系，求得=，再根据向量的加法的三角形法则，求得和的值【解答】解：FEDCEB，DF：CD=DE：EA=1：3，过点F作FGBD交AC于G，FG：DO=2：3，AG：AO=2：3，=，=+=，=+，=，+=故答案为：13已知奇函数f（x）满足对任意xR都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=1【考点】抽象函数及其应用【分析】根据奇函数的性质可得f（0）=0，由条件可得f（3）=f（3）+f（3）=0，f（x）=f（x+6），函数为周期函数，进而求出结果【解答】解：奇函数f（x）满足对任意xR都有f（x+6）=f
17、（x）+f（3）成立，f（0）=0，f（3）=f（3）+f（3）=0，f（x）=f（x+6），函数为周期函数，f=f（5）+f（0）=f（5）=f（1）+f（3）=f（1）=f（1）=1故答案为114（x+y）（xy）7的展开式中，x3y5的系数为14【考点】二项式系数的性质【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：（xy）7的展开式的通项公式Tr+1=，令r=5，满足7r=2，此时T6=，令r=4，7r=3，此时T5=，x3y5的系数为+=14故答案为：1415双曲线C：=1（a0，b0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=4x的准线1围成区域，对于区域（包含边界），对于区域内任意一点（x，y）
18、，若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域，由=1的几何意义是点（x，y）与点P（3，1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围【解答】解：双曲线C：=1的渐近线方程为y=x，抛物线y2=4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=4x的准线1围成区域，如图，=1的几何意义是点（x，y）与点P（3，1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得10，可得3，即3ab，9a2b2=c
19、2a2，即c210a2，即有ca可得1e故答案为：（1，）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16函数f（x）=2sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在，上的值域；（2）在ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B【考点】正弦函数的图象【分析】（1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得值，代点（，2）可得值，可得解析式，再由x，和三角函数的值域可得；（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcos
20、B，计算可得【解答】解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足T=，解得T=，=2，故f（x）=2sin（2x+），又函数图象经过点（，2），故2sin（2+）=2，故sin（+）=1，结合0可得=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+），由x，可得2x+0，sin（2x+）0，1，2sin（2x+）0，2，故函数的值域为0，2；（2）在ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，f（A）=2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，结合三角形内角的范围可得2A+=，A=，由余弦定理可得BC2=32+22232，BC=，cosB=，故sinB=，sin2B=2sinBcosB=2=1
21、7如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，DAC=AOB（1）求证：BE平面PAD；（2）若二面角PCDA的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明平面OBE平面PAD，即可证明BE平面PAD；（2）建立空间坐标系，根据二面角PCDA的正切值为2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【解答】（1）证明：，DAC=AOBADOB，E是PC的中点，
22、O是AC的中点，OE是PAC的中位线，OEPA，PAAD=A，平面OBE平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD；（2）AC是圆O的一条直径，ACAD，PA平面ABCD，PACD，则CD平面PAD，则CDPD，则PDA是二面角PCDA的平面角，若二面角PCDA的正切值为2，则tanPDA=2，即AD=1，建立以D为坐标原点，DA，DC，垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（，0），P（1，0，2），=（，2）D（0，0，0），C（0，0），则=（0，0），=（1，0，2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=2，y=
23、0，即=（2，0，1），则直线PB与平面PCD所成角的正弦值sin，=|cos，|=|=18已知等比数列an满足an+1+an=104n1（nN*），数列bn的前n项和为Sn，且bn=log2an（I）求bn，Sn；（）设cn=，证明： +Sn+1（nN*）【考点】数列的求和【分析】（I）设等比数列an的公比为q，运用等比数列的通项公式，可得首项为2，公比为4，可得an=22n1，由对数的运算性质可得bn=2n1，运用等差数列的求和公式即可得到Sn；（）求得cn=n，原不等式即为+（n+1）2运用数学归纳法证明结合分析法，注意运用假设，化简整理，即可得证【解答】解：（I）设等比数列an的公比为
24、q，由an+1+an=104n1（nN*），可得a1（1+q）qn1=104n1，即有q=4，a1（1+q）=10，解得a1=2，则an=24n1=22n1，bn=log2an=log222n1=2n1，Sn=（1+2n1）n=n2；（）证明：cn=n，不等式+Sn+1，即为+（n+1）2运用数学归纳法证明当n=1时，左边=，右边=4=2，不等式成立；假设n=k时，不等式+（k+1）2当n=k+1时， +（k+1）2+，要证（k+1）2+（k+2）2即证（k+2）2（k+1）2=（2k+3），平方可得k2+3k+2k2+3k+，即有2成立可得n=k+1时，不等式也成立综上可得， +Sn+1（n
25、N*）19甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛双方约定：比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利比赛结束）双方各派出三名队员前三场每位队员各比赛场已知甲俱乐部派出队员A1、A2A3，其中A3只参加第三场比赛另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2B3，其中B1参加第一场与第五场比赛B2参加第二场与第四场比赛B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表： A1 A2 A3 B1 B2 B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序使得取胜的概率最大？（）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五
26、场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）先求出A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛甲俱乐部计划以3：0取胜的概率，再求出A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率由此能求出甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（）设A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，甲俱乐部计
27、划以3：0取胜的概率p1=设A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p2=p1p2，甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，P（X=3）=，P（X=4）=+=，P（X=5）=1P（X=3）P（X=4）=，X的分布列为： X 3 4 5 PEX=20已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by=0的距离为（I）求椭圆C1的方程；（）过点P的直线l交椭圆C1于A、B两点（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2： =1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，
28、求出该定点坐标；若不是，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆的离心率，其右焦点到直线2ax+by=0的距离为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程（）（i）椭圆C2的方程为=1，设直线l方程为y=kx，代入，得=0由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C2内部（ii）当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），再证明Q（0，1）适合题意，从而以AB为直径的圆恒过定点（0，1）【解答】解：（）椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by=0的距离为，解得a=，b=c=1
29、，椭圆C1的方程为=1证明：（）（i）椭圆C2的方程为=1，当直线l垂直于x轴时，AB的中点为（0，）在椭圆C2内部当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx，代入，并整理，得=0=，G（，），+=1恒成立，点G恒在椭圆C2内部解：（ii）当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为，由，得，由此可知若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），下面证明Q（0，1）适合题意由（i）知：，=（x1，y11）（x2，y21）=x1x2+（y11）（y21）=（1+k2）x1x2=（1+k2）+=0，即Q（0，1）在以AB为直径的圆上综上，以
30、AB为直径的圆恒过定点（0，1）21已知函数f（x）=axx2bln（x+1）（a0），g（x）=exx1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若x0，g（x）f（x）+x2，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）f（x）=ax，（x1），g（x）=ex1由曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，可得f（0）=g（0），b=a因此f（x）=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出（2）由g（x）=ex1，x0时，g（x）0，可得exx+
31、1，从而xln（x+1）设F（x）=g（x）f（x）x2=ex+aln（x+1）（a+1）x1，F（x）=ex+（a+1），对a分类讨论a=1，0a1，a1，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）f（x）=ax，（x1），g（x）=ex1曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，f（0）=g（0），ab=0b=af（x）=ax=，a=1时，f（x）=0，函数f（x）在（1，+）上单调递减，舍去a1时，x=0为f（x）的极小值点，舍去0a1时，1a10，当x（1，a1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；x（a1，0），f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（0，+）时，
32、f（x）0，函数f（x）单调递减x=0时，x=0为f（x）的极大值点因此可得：当x（1，a1）时，函数f（x）单调递减；x（a1，0），函数f（x）单调递增；当x（0，+）时，函数f（x）单调递减（2）g（x）=ex1，x0时，g（x）0，故x=0时，g（x）取得最小值0，g（x）0，即exx+1，从而xln（x+1）设F（x）=g（x）f（x）x2=ex+aln（x+1）（a+1）x1，F（x）=ex+（a+1），a=1时，x0，F（x）x+1+（a+1）=x+1+20，F（x）在0，+）递增，从而F（x）F（0）=0，即ex+ln（x+1）=2x10，g（x）f（x）+x20a1时，由得：ex+ln（x+1）2x10，g（x）=exx1xln（x+1）a（xln（x+1），故F（x）0即g（x）f（x）+x2，a1时，令h（x）=ex+（a+1），则h（x）=ex，显然h（x）在0，+）递增，又h（0）=1a0，h（1）=10，h（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，当x（0，x0）时，h（x）0，h（x）在0，x0）递减，x（0，x0）时，F（x）F（0）=0，即g（x）f（x）+x2，不合题意，综上，a（0，12016年7月25日
