1、天津市南开中学2021届高三数学上学期统练3试题（含解析）一、选择题（每题4分，共36分）1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解对数不等式得集合，再由交集定义求解详解】由题意，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题2. 若，则“”是 “”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查
2、.【详解】当时，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. .C. .D. .【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果【详解】因为，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利
3、用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，若实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式可得在区间，上为增函数，进而可得在上为增函数，且；据此可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，当，时，则在区间，上为增函数，且，又由为奇函数，则在区间，上为增函数，且；故在上为增函数，解可得：，即的取值范围为；故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题5. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosAbco
4、sB，且c2a2+b2ab，则ABC的形状为（ ）A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将边化角转化acosAbcosB，逆用余弦定理转化c2a2+b2ab，即可判断三角形形状.【详解】因为acosAbcosB，故可得，即，又，故可得或；又c2a2+b2ab，即，又，故可得.综上所述，.故三角形是等边三角形.故选：.【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，属综合基础题.6. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，成
5、等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.【详解】因为，由题意得，解得，所以，则，则.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7. 函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，时，排除，当时， 时，排除，符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.8. 若函数在上的最大值为4，则的取值范
6、围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.而，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.9. 已知函数图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可【详解】可求得直线关于直线的对称直线为，当时，当时，则当时，单减，当时，单增；当时，当，,当时，单减，
7、当时，单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当与（）相切时，得，解得；当与（）相切时，满足，解得，结合图像可知，即，故选：A【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题二、填空题（每题4分，共32分）10. 复数，若复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则的虚部为_；【答案】【解析】【分析】由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：，且复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，则则的虚部为故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题11. 在的二项展开式中，的系数为_（用
8、数字作答）【答案】-80【解析】【分析】由二项定理展开式的通项，即可确定的系数.【详解】在的二项展开式中，由展开式通项可得，令，解得，所以系数为，故答案：.【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.12. 函数的单调递增区间是_【答案】【解析】【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.【详解】当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，故答案为：【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13. 已知函数，若，则实数的取值范围为_；【答案】【解析】【分析】利用导数判断单调性，结合函数奇偶性，将目标不等式进
9、行等价转化，再求一元二次不等式即可.【详解】因为，且其定义域为，故是奇函数；又，故在上单调递增.故，也即故可得，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，涉及函数奇偶性的判断，以及利用函数性质解不等式，属综合中档题.14. 已知，若，则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】根据指数与对数的关系，可得，所以，又利用基本不等式可求得，从而可得答案【详解】因为，若， 所以， 所以， 所以；又，所以，所以，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.故答案为：4.【点睛】本题考查对数的概念，考查基本不等式的应用，属于基础题15. 某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：
10、每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，.若教师甲恰好答对3个问题的概率是，则p=_，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)根据恰好答对3个问题的概率是，可以列式子，即可求出； (2)先将答对不同题目个数概率计算出来，再根据数学期望的计算方法即可计算出来.【详解】（1）教师甲恰好答对3个问题的概率是，；（2）教师甲答对题目的个数X可取值为0，1，2，3，,X的数学期望为.故答案为：（1）（2）.【点睛】本题主要考查随机事件的概率的
11、求法以及数学期望的求法，是一道基础题.16. 在锐角中，点、分别在边、上，若，且，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】将表示为，由题意得知与不垂直，由可得出，进而可求得实数的值.【详解】如下图所示：，是锐角三角形，则与不垂直，即，则，即，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量数量积求参数，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.17. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先利用导数判断出，由此化简不等式，分离常数得到，由此分别利用基本不等式和导数求得的最小值与的最大值，由此求得的取值范围.【详解】定义域为，构造函数，由于，令解
12、得，所以时，递减，时，递增，所以在上的极小值也即是最小值为，所以，也即当时，.所以由，得，可得，其中.令，.可得函数的增区间为.减区间为，可得.即.故实数的取值范围为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题（每题3分，共32分）18. 已知函数，（）求函数的最小正周期及单调递增区间；（）若为锐角且，满足，求【答案】（）， （）【解析】【分析】（）把使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间. （）化简，求出，进一步求出的正弦及余弦，令，利用两角
13、差的正弦公式代入计算即可.【详解】解：（）所以的最小正周期，令，解得，所以函数的单调递增区间为， （）由（）得， 因为为锐角，所以， 又因为，所以， 所以【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题19. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.（）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角
14、的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、.（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，二面角的正弦值为；（）依题意，由（）知为平面的一个法向量，于是所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20. 已知函数，（其中）.（1）求函数的极值；（2）若函数在区间内有两个零点，求正实数的取值范围；（
15、3）求证：当时，.（说明：是自然对数的底数，）【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1），利用导数求出其单调性，然后可得极值；（2），利用导数求出其单调性，然后可建立不等式组求解；（3）问题等价于求证；设，利用导数求出其最大值，然后证明即可.【详解】（1），由，得，由，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值.（2）函数，则，令，解得，或（舍去），当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.函数区间内有两个零点，只需，即，故实数的取值范围是.（3）问题等价于，由（1）知的最小值为.设，易知在上单调递增，在上单调递减.，故当时，【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数范围时，需要结合函数的单调性和极值分析，然后建立不等式组求解.
