1、7.3基本不等式及其应用1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab2 (a，bR).(4)2 (a，bR).3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最
2、大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab()2成立的条件是ab0.()(3)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.()(4)x0且y0是2的充要条件.()(5)若a0，则a3的最小值为2.()(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR).()2.当x1时，关于函数f(x)x，下列叙述正确的是()A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2C.函数f(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值3答案C3.若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2b22abB.ab2C.D.2答案D解析a2b22ab(ab
3、)20，A错误.对于B、C，当a0，b0，2 2.4.设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A.2B.C.1D.答案C解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.5.(2013天津)设ab2，b0，则当a_时，取得最小值.答案2解析由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以2 1，因此当a0时，的最小值是1；当a0，y0，且2xy1，则的最小值为_；(2)当x0时，则f(x)的最大值为_.思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)
4、问把中的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式.答案(1)32(2)1解析(1)x0，y0，且2xy1，332.当且仅当时，取等号.(2)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号.思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x，y满足xy1，则(y)(x)的最小值为_.(2)已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_.答案(1)4(2)3解
5、析(1)依题意知，(y)(x)1122 4，当且仅当xy1时取等号，故(y)(x)的最小值为4.(2)x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号.题型二不等式与函数的综合问题例2(1)已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A.(，1)B.(，21)C.(1,21)D.(21,21)(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围.答案(1)B(2)，)解析(1)由f(x)0得32x(k1)3x20，解得k13x，而3x2(当且仅当3x，
6、即xlog3时，等号成立)，k12，即kg(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范围是，).思维升华(1)af(x)恒成立a(f(x)max，af(x)恒成立a0恒成立，故a0.当0，即1a0时，应有f()110恒成立，故1a0.综上，a，故选C.方法二当x(0，)时，不等式x2ax10恒成立转化为a(x)恒成立.又(x)x在(0，)上是减函数，(x)min()，(x)max，a.题型三基本不等式的实际应用例3某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面
7、积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积Sxy，依题设，得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S，则S61600，即(10)(16)0，故010，从而0q0，则提价多的方案是_.答案(1)B(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y2 20.当且仅当(x0)，即x80时“”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%
8、)，方案乙：(1%)2，因为1%，且pq0，所以1%，即(1p%)(1q%)(1%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C.5D.6(2)函数y12x(x0)的最小值为_.易错分析(1)对x3y运用基本不等式得的范围，再对3x4y运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x0这个条件误用基本不等式得2x2.解析(1)由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)()2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.(2)x0，b0)等，同时还要注意不
9、等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A.B.C.D.答案B解析0x0.x(33x)3x(1x)32.当且仅当x1x，即x时取等号.2.若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A.1B.1C.3D.4答案C解析f(x)xx22.x2，x20.f(x)x222 24，当且仅当x2，即x3时，“”成立.又f(x)在xa处取最小值.a3.3.小王从甲地到乙地往返的时
10、速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A.avB.vC.vD.v答案A解析设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为，从而v.0ab，a，即，av0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是()A.B.1C.4D.8答案C解析由a0，b0，ln(ab)0得.故4.当且仅当ab时上式取“”.5.(2012福建)下列不等式一定成立的是()A.lglg x(x0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析应用基本不等式：x，yR，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选
11、项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确.二、填空题6.设x，yR，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为_.答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立.7.已知函数f(x)x(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_.答案解析由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，因为f(x)在(1，)上的最小值为4，所以214，解得p.8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每
12、次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_.答案20解析设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为2，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0x0，y0，且xy1，求的最小值.解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x).0x，5x0，5x(25x)()21，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax.(2)x0，y0，且xy1，()
13、(xy)10102 18，当且仅当，即x，y时等号成立，的最小值是18.10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米.总造价f(x)400(2x)2482x801621 296x12 9601
14、296(x)12 9601 2962 12 96038 880(元)，当且仅当x(x0)，即x10时取等号.当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知x16.设g(x)x(x16)，g(x)在，16上是增函数，当x时(此时16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296()12 96038 882(元).当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A.4B.16C.9 D.3答案B解析因为a0，b0，所以由
15、0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因为2 6，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.2.(2013山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A.0B.1C.D.3答案B解析由已知得zx23xy4y2(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.3.定义“*”是一种运算，对于任意的x，y，都满足x*yaxyb(xy)，其中a，b为正实数，已知1.答案1解析16ab)，ab.当且仅当2a3b，即a1时等号成立，所以当a1时，ab取最大值.4.(1)若正实数x、y满足2xy6xy，
16、求xy的最小值.(2)求函数y(x1)的最小值.解(1)xy2xy626，令xyt2，可得t22t60，注意到t0，解得t3，故xy的最小值为18.(2)设x1t，则xt1(t0)，yt52 59.当且仅当t，即t2，且此时x1时，取等号，ymin9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解(1)W(t)f(t)g(t)(4)(120|t20|)(2)当t1,20时，4014t4012441(t5时取最小值).当t(20,30时，因为W(t)5594t递减，所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元.
