1、赣州市20222023学年度第一学期期末考试高三数学(理科)试卷2023年1月本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合,则()A.B.C.D.2.函数则()A.B.0C.D.23.若数列是等比数列,且,则()A.B.C.62D.644.为了研究某班学生的右手一拃长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取了12名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为,已知,若某学生的右手一拃长为22厘米
2、,据此估计其身高为()A.175B.179C.183D.1875.若复数(a,为其共轭复数),定义:.则对任意的复数,有下列命题:;:;:;:若,则为纯虚数.其中正确的命题个数为()A.1B.2C.3D.46.程大位(15331606),明朝人,珠算发明家.在其杰作直指算法统宗里,有这样一道题:荡秋千,平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步与人齐,五尺人高曾记。仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士素好奇,算出索长有几?将其译成现代汉语,其大意是,一架秋千当它静止不动时,踏板离地一尺,将它向前推两步(古人将一步算作五尺)即10尺,秋千的踏板就和人一样高,此人身高5尺,如果这时秋千的绳索拉得很直,请
3、问绳索有多长?()A.14尺B.14.5尺C.15尺D.15.5尺7.已知过抛物线C:的焦点F的直线l被C截得的弦长为8,则坐标原点O到l的距离为()A.B.C.D.8.若展开式的各项系数和为729,展开式中的系数为()A.B.C.30D.909.直线与双曲线E:(,)交于M,N两点,若为直角三角形(其中O为坐标原点),则双曲线E的离心率为()A.B.C.D.10.已知函数,的最小值为a,则实数a的值为()A.B.C.D.111.在三棱锥中,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A.B.C.D.12.已知,则()A.B.C.D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第1321题为必考题,每个试题考生都
4、必须作答,第2223题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,均为单位向量且夹角为45,则_.14.已知tan,则_.15.如图,、是同一平面内的三条平行直线,与间的距离是1,与间的距离是2,等腰直角三角形的三顶点分别在、l2、上,则的斜边长可以是_(写出一个即可).16.斐波那契,意大利数学家,其中斐波那契数列是其代表作之一,即数列满足,且,则称数列为斐波那契数列.已知数列为斐波那契数列,数列满足,若数列的前12项和为86,则_.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、
5、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(本小题满分12分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.(1)求B的值;(2)若与边上的高之比为35,且,求的面积.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面,且,.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.19.(本小题满分12分)设有标号为1,2,3,n的n个小球(除标号不同外,其余均一样)和标号为1,2,3,n的n个盒子,将这n个小球任意地放入这n个盒子,每个盒子放一个小球,若i(,2,3,n)号球放入了i号盒子,则称该球放对了,否则称放错了.用表示放对了的球的个数.(1)当时,求的概率;(2)当时,求的分布列与数学期
6、望.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:()过点且离心率为,过点作两条斜率之和为0的直线,交C于A,B两点,交C于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在实数使得?若存在,请求出的值,若不存在,说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数(其中e为自然对数的底数),且曲线在处的切线方程为.(1)求实数m,n的值;(2)证明:对任意的,有.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
7、.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点,直线l与曲线C的交点为A,B,求的值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数的最小值为m.(1)求m的值;(2)设a,b,c为正数,且,求证:.赣州市20222023学年度第一学期期末考试高三理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案ADCCBBCDBDCA12.解:由,得,由得,即,当时,令,则,则在上单调递增,则,即,即,则.或由对数平均不等式得,即,即.二、填空题13.1;14.;15.或或(三个任选一个);16.8.16.解析:斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,.
8、(特征:每三项中前两项为奇数后一项为偶数)由得:,则,同理:,得:,则,则,则.三、解答题17.解:(1)由,由内角和定理得:1分进而得:2分解得:,(舍去)4分从而得.6分(2)由题设知,不妨设,7分由余弦定理得:8分联立得:9分即,10分故,从而的面积12分18.解:(1)连接,由题设,得.1分又,故,由余弦定理可得2分从而有3分又面且面,得4分,故面5分又面,所以面面6分(2)法一:由(1)同理可得面,6分以为坐标原点,,分别为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,7分由(1)知面,故面的一个法向量为8分设面的法向量为,由,结合,令,得9分故的一个法向量为10分记平面与平面夹
9、角为,则有12分(注:取的中点,连接,易证面,则为平面的一个法向量)法二:以为坐标原点,分别为,轴的正方向建系,可得面的一个法向量为,面的一个法向量为19.证:(1)由题设知:4分(2)的所有可能取值为0,1,2,3,55分6分7分8分9分10分故的分布列为01235P故的数学期望为12分20.解:(1)解得3分椭圆C的方程为4分(2)直线与的斜率之和为0,令直线的斜率为,则直线的斜率为,令,则的方程为,6分则,7分则直线的斜率为,令,同理:,8分,10分同理:11分,所以存在实数12分方法二(2)直线与的斜率之和为0,令直线的倾斜角为,则直线的斜率为倾斜角为5分令直线的参数方程为(t为参数)
10、6分代入得:即7分令点,对应的参数分别为,则,则9分同理:令直线的参数方程为,(为参数)代入得:即令点,对应的参数分别为,则10分则11分则,所以存在实数12分21.解:(1)由,得1分由题意知:3分4分(2)记5分则记记6分显然在上单调递增,且当时,;当时,;所以在上递减,在上递增,故7分(注:这里的符号也可以通过来说明.)又,故存在唯一,使得8分故当时,;当时,;即在与上单调递增,在上单调递减9分且,故存在唯一,使10分故当时,;当时,.所以在与单调递减,在与上递增11分故是与中的较小值,又且,故恒成立.证毕12分22.解:(1)直线l的普通方程为.2分由得,则曲线C的直角坐标方程为5分(2)直线l的普通方程为(t为参数)6分设点,对应的参数分别为,将代入得7分则,则,8分则10分23.解:(1)由题意得3分从而函数在递减,在上递增4分故,即.5分(2)由(1)知:,又a,b,c为正数,由,6分法一:7分而8分所以10分法二:由,8分得10